13. Устойчивость Для каждого указанного пользователем загружения (или комбинации загружений) SCAD позволяет определить: коэффициент запаса устойчивости; первую форму потери устойчивости (без анализа кратности); свободные длины стержневых элементов. 13.1 Постановка задачи Задача устойчивости решается в классической постановке для упругой системы и в предположении, что все приложенные к системе внешние нагрузки (следовательно, и внутренние силы) растут пропорционально одному и тому же параметру (. То значение параметра (, при котором матрица жесткости системы А(() впервые перестает быть положительно определенной, является критическим, а соответствующее значение ( — коэффициентом запаса устойчивости (КЗУ). Матрица жесткости А(() = Ao - B(() состоит из “обычной” матрицы жесткости Ao и матрицы “толкающих” реакций B((), которые определяются сжимающими силами в стержнях, напряжениями сжатия в конечных элементах оболочечного типа и т.п. Напоминаем, что положительная определенность матрицы жесткости означает, что при любых значениях узловых перемещений и поворотов u потенциальная энергия системы положительна (это значит, что для деформирования системы необходимо затратить энергию и, следовательно, она оказывает сопротивление деформированию, она является отпорной). Если система теряет устойчивость, она теряет отпорность и ее матрица жесткости становится вырожденной (с нулевым детерминантом), а в закритическом состоянии система получает отрицательную отпорность (при ее принудительном деформировании выделяется ранее накопленная потенциальная энергия “толкающих” реакций) и ее матрица жесткости становится знаконеопределенной. Таким образом, задача оценки устойчивости равновесия сводится к проверке положительной определенности матрицы жесткости при пробном значении коэффициента (. Необходимо отметить, что с помощью проверок матрицы жесткости можно отыскать только те критические состояния, при которых потеря устойчивости происходит по форме, когда узловые перемещения и повороты не все вместе равны нулю (это так называемая явная форма потери устойчивости). Нужно еще проверить, что при пробном значении ( не может произойти так называемая скрытая форма потери устойчивости, которая реализуется в пределах одного конечного элемента и не вызывает узловых перемещений и поворотов. Поскольку для всех типов конечных элементов соответствующие критические величины (кр известны (они вычисляются по простым формулам), то это значит, что следует, кроме всего прочего, проверить неравенство ( > (кр для всех конечных элементов. 13.2 Поиск коэффициента запаса устойчивости Поиск коэффициента запаса устойчивости (КЗУ) ведется в интервале [0,(], где ( число, заданное пользователем, (оценка того значения КЗУ, которое считается уже безразличным для оценки качества системы) и с точностью (, которая также задается пользователем. При этом решается задача определения минимального (, при котором происходит вырождение матрицы А((). Матрица А(() составляется из матриц устойчивости отдельных конечных элементов. Если в системе нет ни одного элемента, способного терять устойчивость (например, в стержневой системе все стержни растянуты), то выдается сообщение, что система "абсолютно устойчива". Далее проверяется устойчивость системы при ( = ( (т.е. положительная определенность матрицы А(()). Если это условие выполнено, то выдается сообщение о том, что КЗУ больше заданного максимума. Если условие положительной определенности А(() не выполнено (об этом свидетельствуют отрицательные значения на главной диагонали матрицы жесткости, преобразованной в процессе решения системы уравнений), производится анализ положительной определенности матрицы А((/2),..., т.е. используется стандартный метод половинного деления. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не найден интервал ((1, (2) такой, что (2 - (1 ( ( и матрица А((1) положительно определена, а матрица А((2) этим свойством не обладает. При этом величина (1 считается КЗУ. При составлении матрицы устойчивости для каждого конечного элемента (способного терять устойчивость) вычисляется значение (кр, которое приводит к потере устойчивости КЭ. Если min (кр < (, интервал поиска сокращается, а номер элемента, для которого достигается min (кр, сообщается в протоколе. 13.3 Форма потери устойчивости В предположении, что определенный на первом этапе коэффициент запаса устойчивости является точным, SCAD производит решение задачи об определении собственного вектора при известном собственном значении задачи (A - B((1)) u = 0. (а) Заметим, что правые части системы равны нулю, т.е. отыскиваются такие значения узловых перемещений и поворотов u, которые вызываются только внутренними сжимающими напряжениями и усилиями. Поперечные нагрузки, как известно, не влияют на значения критических сил и вид формы потери устойчивости. Поскольку уравнение (а) решено при нулевой правой части, то форма потери устойчивости определена лишь с точностью до множителя. Ее уменьшение или увеличение в любое число раз не нарушает условие (а). 13.4 Свободные длины Если в системе имеются стержневые элементы, то можно определить их свободные длины, т.е. длины таких же, но шарнирно опертых стержней, у которых критическая сила Nкр совпадает с продольным усилием в стержне системы в момент потери устойчивости (Nкр=(1*N). Поскольку по формуле Эйлера Nкр = (2EJ / l2, свободная длина будет lo = ((1N / (2EJ )1/2, где EJ жесткости стержней в главных плоскостях инерции (для пространственной задачи по две для каждого стержня). 13.5 Ввод данных
Ввод данных для проверки устойчивости выполняется в одноименном диалоговом окне (рис. 13.5.1), которое вызывается из раздела Специальные исходные данные в Дереве проекта. Для ввода данных необходимо выполнить такие операции: с помощью комбинаторных кнопок задать режим проверки вычисление коэффициента запаса устойчивости, форм потери устойчивости и свободных длин стержневых элементов; в полях Масштабный множитель и Точность вычислений следует ввести соответствующие значения (по умолчанию приняты 2 и 0.01); активизировать опции, определяющие вид данных, для которых выполняется проверка устойчивости: по загружениям или по комбинациям загружений, для всех загружений (комбинаций) или только для выбранных; в последнем случае выбор нужных данных выполняется в списке загружений (комбинаций). Масштабный множитель параметр используется для ограничения интервала поиска коэффициента запаса устойчивости. Если его значение больше заданного, система считается устойчивой. Точность вычислений - параметр задает критерий окончания итерационного процесса поиска коэффициента запаса устойчивости. При очень малых значениях этого параметра время расчета может существенно увеличиться. Для удаления подготовленных данных и отказа от анализа устойчивости используется кнопка Удаление данных. Рис. 13.5.1. Диалоговое окно Проверка устойчивости