Методы принятия решений в задачах векторной оптимизации.
Принятие решений, как правило, предполагает достижение некоторой цели или, по крайней мере, последовательное приближение к некоторому, наиболее предпочтительному состоянию или поведению. Только в простейших случаях удается указать шкалу- целевую функцию, значения которой измеряют качество решения. В более сложных случаях качество решения не может быть оценено единственной функцией. Необходимость принимать решения, для которых не удается полностью учесть предопределяющие их условия, а также последующее их влияние (так называемый эффект неопределенности) встречается во всех областях техники, экономики и социальных наук. Планирование всегда более или менее связано с подобными факторами неопределенности. Тем не менее, именно в подобных ситуациях ответственность за принимаемые решения велика. Поэтому необходимо стремиться к оптимальному использованию имеющейся информации, чтобы, взвесив имеющиеся варианты, выбрать наилучший. Такая тенденция требует строгой математической формализации процесса принятия решений.
При решении большинства задач проектирования, планирования и управления техническими, биологическими и экономическими системами возникает необходимость оптимизации этих систем по совокупности противоречивых критериев эффективности их функционирования.
Такая оптимизация получила название векторной или многокритериальной.
В качестве примера рассмотрим задачу выбора исполнителя для ремонта помещения.
?Первым шагом в применении методов векторной оптимизации является выделение набора критериев, по которым затем будут сравниваться альтернативные решения.
В нашем случае это могут быть запрашиваемая цена услуг, сроки выполнения, предлагаемый спектр услуг, репутация фирмы (наличие рекомендаций), стиль общения с заказчиком.
?Вторым шагом является определение способа численной оценки значений критериев. Если цена услуг и сроки выполнения работ имеют объективные единицы измерения, например, рубли и дни соответственно, то для других критериев способы их численной оценки необходимо определить. Часто приходится пользоваться безразмерной шкалой, присваивая каждому из вариантов решений значения каждого критерия от 1 до 10.
Результаты можно свести в таблицу .

Метод выделения главного критерия.
Определяется главный критерий (предположим f1(x)) и задача (4.1) преобразуется в следующую:
f1(x)?max (или min).
fi(x)? fi*,i=2,r
fi(x)? fi*,i=r+1,n
x?G c Rm
В нашем примере выберем в качестве главного критерия- цену. Для оптимального решения этот критерий должен принимать минимальное значение. Для остальных критериев потребуем выполнения следующих условий:
EMBED Equation.3 ?30, EMBED Equation.3 ?5, EMBED Equation.3 ?9, EMBED Equation.3 ?8

- варианты решений, удовлетворяющие заданным условиям;
варианты решений, "выбывающие" из рассмотрения на очередном шаге;
варианты решений, "выбывшие" из рассмотрения ранее.

- выбранное (оптимальное) решение
Метод последовательных уступок
Критерии эффективности располагаются в порядке уменьшения степени важности: fi1, fi2….,fin. Допустим, что соответствующая нумерация была осуществлена в самом начале при постановке задач (4.1) и, кроме того, допустим, что для всех i: fi(x)?max. Алгоритм получения решения, сводится к следующему. Вначале находится решение, обращающее в максимум главный критерий f1. Затем из практических соображений назначается некоторая «уступка» ?f1. Требуя выполнение неравенства:
f 1? f1*- ?f1, где f1*=max f1
находим такое решение x, при котором f2(x)?max. Далее снова назначается "уступка" по критерию f2, с помощью которой можно максимизировать f3 и т.д.
Пример:
1. Шаг1.
max EMBED Equation.3 =10, i=1,5. Назначим уступки:
? EMBED Equation.3 =2; ? EMBED Equation.3 =2; ? EMBED Equation.3 =2; ? EMBED Equation.3 =5; ? EMBED Equation.3 =5;

- max
- с учетом назначенной уступки
! Может оказаться, что в результате первого шага решение не найдено, т.к. требования по различным критериям оказались несовместимы. В таком случае необходимо пересмотреть уступки и/или ввести в рассмотрение дополнительные варианты решений.
Можно пересмотреть относительную важность критериев.
2. Шаг 2.
Назначим новые уступки
? EMBED Equation.3 =3; ? EMBED Equation.3 =3; ? EMBED Equation.3 =3; ? EMBED Equation.3 =5; ? EMBED Equation.3 =5;

! Могут понадобиться дополнительные шаги, уточняющие требования ЛПР.
Метод "составного" критерия
ЛПР определяет важность каждого критерия fi, которая выражается весом критерия ?i . Затем формулируется составной критерий.
U(x)= EMBED Equation.3 i EMBED Equation.3 i(x)?max.
EMBED Equation.3
где ?i вес i-го критерия, ?i?0 если fi (x) ?max , ?i?0, если fi(x)?min.

? Пример расчета значений составного критерия U1(x) (оценки Пети).
Катя: 0,3*10+0,2*7 + 0,2*10+0,1*5+0,2*1=7,1
Маша: 0,3*8 +0,2*10+0,2*5 + 0,1*7+0,2*6=7,3
Даша: 0,3*5 +0,2*5 +0,2*9+ 0,1*10+0,2*8=6,9
Наташа: 0,3*5+0,2*5 + 0,2*7 + 0,1*7 +0,2*10=6,6
>Достоинствами "составных" критериев, несомненно, являются их удобство и универсальность. Недостатки связаны с произволом в выборе весов ?i ,а также с тем фактом, что недостатки эффективности по одним критериям могут компенсироваться за счет преимуществ по другим критериям.
Нормативные методы векторной оптимизации.
Нормативные методы являются своего рода обобщением рассмотренных выше методов и состоят в предварительном получении нормативов ?fi, i=1,2,…,n на основе приближенного решения многоцелевой задачи и приближения к этим нормативам по некоторой заданной метрике ?(f(x),?f)?min, где ?(f(x),?f) может быть определено различными способами, например:
EMBED Equation.3 2(f(x),?f)= EMBED Equation.3 [fi(x) ) - ?fi]2
EMBED Equation.3 (f(x),?f)= EMBED Equation.3 |fi(x) ) - ?fi|
EMBED Equation.3 (f(x),?f)= max |fi(x) ) - ?fi|