НЕФОРМАЛИЗУЕМЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ.
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК.
Вводные замечания
Важно также вычислить так называемый индекс согласованности (ИС) суждений по каждой матрице
EMBED Equation.3 ,
Где n – размерность матрицы, а ?max считается следующим образом: вначале суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на вторую компоненту и т.д., затем полученные числа суммируются.
Теперь необходимо сравнить ИС с той величиной, которая получилась бы при случайном выборе суждений по нашей шкале: 1/9...9. Значения этой величины – случайной согласованности (СС) представлены в следующей таблице:
Таблица 5.2.
Определяя ИС и СС, находим отношение согласованности
EMBED Equation.3
Если для конкретной матрицы окажется, что ОС > 0.17, то можно утверждать, что суждения эксперта, на основе которых заполнена исследуемая матрица, сильно рассогласованы, и ему надлежит заполнить матрицу заново, более внимательно при этом шкалу парных сравнений.
Теперь обратимся непосредственно к принципу синтеза приоритетов. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты альтернатив перемножаются на приоритеты соответствующих критериев предшествующего уровня и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями. Приоритеты элементов второго уровня умножаются на единицу.
Использование метода МАИ может быть проиллюстрировано на следующем примере. Предположим, что некоторая крупная преуспевающая фирма ставит перед собой цель строительства своего филиала в одной из стран с так называемой “переходной экономикой”. Пусть в качестве таковых определены Египет, Турция, Хорватия, Беларусь и Россия. Цель строительства- получение доступа к зарубежным рынкам сбыта и снижение издержек производства за счёт более низкой оплаты труда в этих странах. При этом не сбрасываются со счёта и потенциальные издержки: некоторая потеря контроля за управлением, преобладание неквалифицированной рабочей силы, риск изменения политических и экономических условий в выбранной стране.
Воспользовавшись методом Саати для решения данной проблемы, надлежит в первую очередь чётко определить те потенциальные выгоды и издержки, которые необходимо учитывать. Допустим, что в результате получены следующие иерархии выгод и издержек.
Россия Беларусь Хорватия Турция Египет Надёжность транспортных коммуникаций Несущественное вмешательство государства Знание местных условий рынка Сила валюты страны-хозяина Близость к рынку Финансовая помощь страны-хозяина Дешевая рабочая сила Управленческие выгоды Экономические выгоды Иерархия выгод
Рис. 5.1.
Иерархия выгод
Россия Беларусь Хорватия Турция Египет Управленческие выгоды Экономические выгоды Иерархия издержек
Языковые и культурные барьеры Участие местных управленцев Политическая нестабильность правительства Слабая подготовка персонала Высокие тарифы на импортируемые материалы Большие местнве налоги на произведённые товары Высокая стоимость сырья
Рис. 5.2.
Иерархия издержек
После создания иерархии проблемы необходимо приступить к заполнению матриц парных сравнений. Матрица парных сравнений для второго уровня первой иерархии имеет следующий вид (предположим, что эксперт фирмы заполнил её с учётом интересов и суждений своих и руководства).
Из вида заполненной матрицы следует, что эксперт при решении проблемы отдаёт предпочтение (хотя и незначительное) достижению экономических выгод перед управленческими. После этого для данной матрице по описаной выше методике рассчитываются локальные приоритеты и её согласованность.
Приведём здесь незаполненные матрицы парных сравнений для третьего уровня – уровня критериев.
Что касается последнего – четвёртого уровня, то для него необходимо составить семь (по числу критериев – элементов вышестоящего уровня) матриц для сравнения альтернатив – государств предполагаемого строительства филиала по степени их соответствия каждому критерию:
…………………………………………………………………………………………………………………..
После того, как все эти матрицы будут заполнены, будет проверена согласованность суждений эксперта при заполнении каждой из них и в случае удовлетворительного значения ОС по этим матрицам будут рассчитаны локальные приоритеты сравниваемых объектов. Зная локальные приоритеты всех элементов иерархии, можно переходить к этапу синтеза глобальных приоритетов. Таким образом будут получены глобальные приоритеты стран-альтернатив с точки зрения выгод строительства в них филиала фирмы.
Повторяя описанные выше действия для иерархии издержек, получим глобальные приоритеты стран-альтернатив с точки зрения возможных издержек строительства филиала. И, наконец, вычислив отношения приоритетов выгод к приоритетам издержек по каждой из стран, определим ту страну, для которой это отношение является максимальным. Это и будет та страна, которая в наибольшей степени удовлетворяет требованиям фирмы.
Данный подход, основанный на методе МАИ, опирается на рассмотрение доходов и издержек одновременно. Это выгодно отличает его от подходов, опирающихся в основном лишь на учёт доходов. Но единственный критерий величины доходов – не очень подходящая основа для сравнения, поскольку чем больше ресурсов будет потрачено, тем больше могут быть доходы. Однако ресурсы в большинстве случаев ограничены. С другой стороны, если специалисты по планированию, оценивая возможные проекты, выбирают лишь те из них, которые требуют минимальных инвестиций, то можно скатиться к подходу “ничего неделания” или, что более реально, производить незначительные действия, не способствующие существенным прогрессивным сдвигам.
Рассмотрим в качестве примера ещё одну проблему. Допустим, что перед неким правительственным комитетом, в ведении которого находится проблема строительства мостов и туннелей, встал вопрос: построить или нет туннель или мост через крупную реку, на которой в настоящее время работает частный паром. Допустим, что эксперты комитета, комплексно подходя к решению данной проблемы, опираясь на метод МАИ, сумели разработать следующие иерархии.
Выгоды пересечения реки
Выгоды среды Экономические выгоды Социальные выгоды
Эстетика Повышение статуса Связи Безопасность и надёжность Работы по строительству Торговля в окрестностях Доход Время Комфорт и доступность
Существующий паром Мост Туннель
Издержки пересечения реки
Социальные издержки Экономические издержки Издержки среды
Повышение вредных выбросов Загрязнение воды из-за моста Размещение людей Разъединение людей Изменение стиля жизни Прекращение паромного бизнеса Управление и эксплуатация Капитальные вложения
Существующий паром Мост Туннель
После применения процедуры метода Саати решение может быть рекомендовано к принятию после сравнения выгод и издержек по каждому из возможных решений. Уточним понимание конкретных выгод и издержек, приведенных в иерархиях.
Выгоды. Экономические факторы, влияющие на выбор, содержат выгоды, связанные с выигрышем по времени при передвижении по новому мосту или туннелю, по сравнению со временем переправы на пароме. Увеличение транспортного потока в районе может также принести ощутимый доход от эксплуатации дорог при введении платы за проезд, что положительно должно сказаться на местном бюджете. Более интенсивное движение будет способствовать и развитию торговли как в окрестностях моста, так и вдоль всей дороги, будут построены новые бензоколонки, магизины и рестораны. Возникнет также возможность дополнительного привлечения местного населения на строительные работы. Нельзя сбрасывать со счетов и социальные выгоды проекта: мост или туннель может обеспечить большую безопасность и надёжность переправы по сравнению с паромом, а также будет способствовать большему количеству пересечений реки для посещения родственников, друзей, в целях посещения музеев, выставок и т.д.; строительство моста или туннеля может привести также к повышению статуса населённого пункта. Выгоды среды напрямую связаны с социальными выгодами и большим психологическим комфортом жителей.
Издержки. Как и выгоды, издержки, связанные с выбором той или иной альтернативы переправы через реку, включают факторы экономического и социального плана, а также факторы среды. Основные экономические издержки: капитальные вложения на строительство, затраты на управление и эксплуатацию, а также последствия свёртывания уже налаженного паромного бизнеса. При планировании социальных последствий следует просчитать возможность отрицательного влияния последствий разрушения сужествующего стиля жизни. Издержки, связанные со средой, должны учитывать возможный вред, причиняемый экосистеме каждой из альтернатив.
Допустим, что при вычислении приоритетов альтернативных проектов экономические факторы имели больший приоритет и глобальные приоритеты по выгодам и издержкам следующие:
В предыдущем примере при выборе проектов мы опирались на критерий “стоимомть – эффективность”, определяя проект с наибольшим отношением выгод к издержкам. В данной задаче таким проектом является строительство моста. Однако, поскольку паромная переправа уже существует, то представляется также важным учесть критерий сравнения приращения выгод (0.57 - 0.07) с приращением издержек (0.36 – 0.05), т.е. имеем 0.5/0.31 > 0.07/0.05. Таким образом и с точки зрения этого подхода строительство моста – наиболее предпочтительная из всех альтернатив.
Для решения более сложных проблем, иерархия которых не может быть сведена к 3-х или 4-х уровневой структуре, возможна следующая их декомпозиция по иерархии.
В вершине иерархии устанавливается единственный элемент – фокус – формулировка исследуемой проблемы.
Во второй (не обязательной) уровень следует включать различные экномические, политческие и социальные силы, влияющие на исход.
Третий уровень – акторы, которые реально влияют на ситуацию путём манипулирования этими силами.
Четвёртый уровень – преследуемые цели каждого актора.
Пятый уровень (не обязательный) включает политики акторов, посредством которых они пытаются достичь своих целей.
Шестой уровень – альтернативные возможные сценарии или исходы, за которые берётся каждый актор ради достижения своих целей.
Седьмой уровень – обобщённый исход как результат реализации и взаимодействия возможных альтернативных сценариев развития проблемы.
Методы ЭЛЕКТРА, Подиновского и порядковой оптимизации
в задачах экспертного выбора.
Как уже отмечалось, выделение множества Парето при решении многокритериальных задач довольно часто является лишь предварительным этапом процесса принятия решений, поскольку при достаточно большом исходном множестве вариантов множество Парето также оказывается недопустимо большим для того, чтобы ЛПР мог осуществить окончательный выбор без затруднений окончательно. Следовательно, выделение множества Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, и налицо проблема дальнейшего сокращения этого множества. Собственно говоря, те методы многокритериальной оптимизации, которые нами уже рассматривались ранее, также посвящены проблеме сужения множества Парето. В данном разделе рассмотрим методы оптимизации, основанные на построении бинарного отношения предпочтения, более сильного, чем отношение Парето.
Методы ЭЛЕКТРА. Группа методов ( ЭЛЕКТРА I, ЭЛЕКТРА II, ЭЛЕКТРА III ) была разработана коллективом французских ученых, возглавляемым профессором Б. Руа. В этих методах бинарное отношение предпочтения, более сильное, чем отношение Парето, строится следующим образом.
Для каждого из n критериев ( предполагается, что критерии числовые ) определяется вес- число, характеризующее важность соответствующего критерия, которое тем больше, чем важнее для ЛПР соответствующий критерий. Эти веса могут быть определены либо ранжированием, либо, например, по методу Саати. Для того, чтобы определить, превосходит альтернативный вариант EMBED Equation.3 вариант EMBED Equation.3 ( где EMBED Equation.3 - значения i-того критерия, сообщаемые ему вариантами EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 соответственно), производятся следующие действия.
Множество I критериев разбивается на три подмножества:
- EMBED Equation.3 критерии, по которым EMBED Equation.3 превосходит EMBED Equation.3 ;
- EMBED Equation.3 критерии, по которым EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 имеют одинаковые оценки;
EMBED Equation.3 критерии, по которым EMBED Equation.3 превосходит EMBED Equation.3 .
Далее определяется относительная важность EMBED Equation.3 каждого из этих подмножеств.
Устанавливается также некоторый порог и считается, что вариант EMBED Equation.3 превосходит вариант EMBED Equation.3 только в том случае, когда некоторая функция, называется индексом согласия, удовлетворяет условию
f EMBED Equation.3 (5.3)
Вид функции f определяется по своему для каждой модификации метода ЭЛЕКТРА.
Условие (5.3) является необходимым, но не достаточным условием превосходства х над у. В методах ЭЛЕКТРА формулируются дополнительные условия, предназначенные учитывать не только порядок следования оценок х и у по критериям, но и значения модулей разностей EMBED Equation.3 . Эти условия, называемые индексом несогласия, могут быть записаны в виде
EMBED Equation.3 , (5.4)
где d – пороговое значение индекса несогласия EMBED Equation.3 для каждой модификации метода ЭЛЕКТРА определяется по-своему.
Таким образом, отношение предпочтения EMBED Equation.3 определяется следующим образом:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 f EMBED Equation.3 . (5.5)
Особенность методов ЭЛЕКТРА состоит в том, что в них несколько отступают от традиционных методов выделения подмножества недоминируемых вариантов. Следуя теории игр, их создатели предлагают несколько расширить это подмножество путем выделения в исходном множестве некоего ядра, все элементы которого несравнимы между собой, а любой вариант, в ядро не вошедший, доминируется хотя бы одним элементом ядра.
Выделение ядра на множестве исходных вариантов является заключительным этапом метода ЭЛЕКТРА. Дальнейшее сужение ядра может быть достигнуто заданием других, более жестких ограничений в условиях (5.3) и (5.4), т.е. увеличением первого значения индекса согласия С и уменьшением порогового значения индекса несогласия d .
Опишем более конкретно применение данного метода.
Во всех модификациях метода ЭЛЕКТРА на первом этапе с помощью ЛПР определяются веса критериев – положительные действительные числа, кoторые тем болше, чем важнее для ЛПР соответствующий критерий. Такой подход, конечно, имеет существенный недостаток – неоднозначность определения весовых коэффициентов. Однако полностью избежать субъективных оценок в процедуре принятия решений невозможно, следует лишь с большой тщательностью подходить определению весов. Здесь можно воспользоваться, например, процедурой описанного выше метода Саати. Так, в примере из [ ] при назначении весов критериям, по которым предстоит выбрать автомобиль, от ЛПР получена следующая информация: цена (критерий 1) важнее комфортности (критерий 2), а та, в свою очередь, важнее скоростных качеств (критерий 3) и внешнего вида автомобиля (критерий 4). Кроме того, критерий 3 и критерий 4 имеют одинаковую важность, а, рассматриваемые совместно, имеют большую важность, чем критерий 1 (цена). Таким образом, ЛПР сообщил информацию о критериях качественного типа и на её основе необходимо назначить веса критериев EMBED Equation.3 (i=1, 2, 3, 4) так, чтобы выполнялись соотношения:
EMBED Equation.3
Ясно, например, что решение, предложенное [ ]:
EMBED Equation.3
далеко не единственное. И хотя описанную неоднозначность при переводе чисто качественной информации критериях в числовую полностью устранить невозможно, использование метода Саати будет способствовать более корректному выбору весов критериев.
Далее определяются важности групп критериев EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 для каждой пары сравниваемых альтернатив х и у :
EMBED Equation.3 * EMBED Equation.3 {+, -, =}.
В качестве условия (5.3) в методе ЭЛЕКТРА I предлагается рассматривать выражение вида :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (5.6)
В методе ЭЛЕКТРА II – выражение вида :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . (5.7)
Следует отметить, что условие (5.6) можно применять лишь тогда, когда сравнение альтернатив происходит в строгих шкалах (тогда множество EMBED Equation.3 пусто) или когда число совпадающих оценок у различных вариантов достаточно мало по сравнению с n. В противном случае отношение предпочтения может оказаться симметричным : x лучше у (х EMBED Equation.3 у) и у лучше х (у EMBED Equation.3 х) одновременно. Поэтому, если используются нестрогие шкалы, то лучше пользоваться условием (5.7).
Использование порядковых отношений, т.е. отношений, основанных лишь на порядковой информации о сравниваемых альтернативных вариантах, связанно с двумя существенными проблемами.
Первая, присущая всему классу порядковых отношений, - это то, что незначительный выигрыш по одному критерию может сопутствовать большому проигрышу по другому критерию. Например, если n = 5, х = (10, 10, 10, 1, 1), у = (9, 9, 9, 10, 10) и все критерии имеют одинаковую важность, то при EMBED Equation.3 =1 вариант х превосходит у по (5.7), хотя преимущество х над у по первым трем критериям весьма незначительно, а по двум последним критериям х значительно уступает у. Чтобы как-то избежать подобных ситуаций в ЭЛЕКТРА и используется условие (5.4). Используя это условие, мы определяем некоторую область несравнимости – область несогласия D, такую, что для любых вариантов х и у из того, что (х, у) EMBED Equation.3 D, следует, что х и у – не сравнимы. Если, например,
EMBED Equation.3
то это означает, что у не может доминировать х, если уступает ему более пяти единиц хотя бы по одной компоненте (критерию).
Вторая сложность, возникающая при использовании порядковых отношений и их модификаций, связана с возможностью появления циклов, т.е. таких ситуаций, когда EMBED Equation.3 лучше, чем EMBED Equation.3 лучше, чем EMBED Equation.3 лучше, чем EMBED Equation.3 , а вот EMBED Equation.3 , в свою очередь, лучше EMBED Equation.3 . В связи с этим, при использовании порядковых отношений необходимо помнить о возможности возникновения подобных ситуаций и избегать их. В методах ЭЛЕКТРА данная проблема не рассматривается. Если говорить о методе Саати, то наличие процедуры проверки согласованности матриц парных сравнений как раз и нацелено на то, чтобы избежать подобных ситуаций.
В заключение описания метода ЭЛЕКТРА приведем иллюстративный пример. Пусть в исходном множестве альтернативных вариантов, сравниваемых по пяти критериям, определены следующие семь недоминируемых по Парето :
EMBED Equation.3 = (5, 3, 2, 7, 2) EMBED Equation.3 =(1, 6, 6, 4, 5)
EMBED Equation.3 =(4, 3 ,2 ,5, 1) EMBED Equation.3 =(2, 7, 5, 2, 6)
EMBED Equation.3 =(3, 4, 1, 6, 3) EMBED Equation.3 =(6, 5, 6, 3, 4)
EMBED Equation.3 =(7, 1, 4, 1, 7)
Применим метод ЭЛЕКТРА для того, чтобы, получив у ЛПР дополнительную информацию, сократить число вариантов, которое будет предложено ему для окончательного выбора.
1-й этап. От ЛПР получается информация о сравнительной важности критериев. Пусть ЛПР сообщил, что :
критерии 1 и 2 имеют одинаковую важность,
критерии 3, 4 и 5 имеют также одинаковую важность,
каждый из двух критериев важнее каждого из оставшихся.
Пусть в соответствии с этой информацией критериям назначены веса :
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
2-й этап. Строим матрицу 7 х 7, в которой элемент EMBED Equation.3 определяется следующим образом :
EMBED Equation.3
Допустим, что в качестве порогового значения индекса согласия выбрано на основе консультаций с ЛПР EMBED Equation.3 =1.25. Как видно из таблицы, приведенной ниже, любой из семи вариантов доминируется хотя бы одним из остальных.
? 6 1.3 0.75 0.75 0.75 0.17
0.17 ? 0.75 0.75 0.75 0.75 0.17
0.75 1.3 ? 0.75 0.75 0.75 0.17
1.3 1.3 1.3 ? 0.75 0.75 0.75
1.3 1.3 1.3 1.3 ? 0.4 1.3
1.3 1.3 1.3 1.3 2.5 ? 0.75
6 6 6 1.3 0.75 1.3 ?
Поэтому без учета индекса несогласия подмножество оптимальных вариантов оказалось бы пустым.
3-й этап. С помощью ЛПР устанавливается индекс несогласия.
Пусть
EMBED Equation.3
В этом случае один из вариантов - EMBED Equation.3 - оказывается недоминируемым, оптимальным будет считаться также и вариант EMBED Equation.3 , который не сравним с EMBED Equation.3 .
Таким образом, применение метода ЭЛЕКТРА позволило более полно учесть мнение ЛПР и сократить исходное множество недоминируемых по Парето решений до двух элементов. Следует, однако, отметить, что группа методов ЭЛЕКТРА не лишена традиционных недостатков, присущих многим современным методам многокритериальной оптимизации.
Метод Подиновского. Метод Подиновского также имеет своей целью построение более сильного, нежели паретовское, бинарного отношения предпочтения. Как и в ЭЛЕКТРА, для этого используется дополнительная информация о сравнительной важности критериев. Однако основное и существенное отличие метода Подиновского состоит в том, что качественная информация о критериях, получаемая от ЛПР, не преобразуется в количественную. Автору метода впервые в практике многокритериальной оптимизации удалось освободиться от необходимости ввода весовых коэффициентов важности критериев, вносящих большую неопределенность в решение задачи.
Информация о сравнительной важности критериев задается совокупностью сообщений ЛПР типа:
критерий i важнее, чем критерий j (i B j);
критерии i и j равноценны (i S j);
набор критериев ( EMBED Equation.3 , …, EMBED Equation.3 ) важнее, чем набор ( EMBED Equation.3 , …, EMBED Equation.3 );
наборы критериев ( EMBED Equation.3 , …, EMBED Equation.3 ) и ( EMBED Equation.3 , …, EMBED Equation.3 ) равноценны по важности.
Построение на основании информации о важности критериев бинарное отношение предпочтения позволяет существенно сузить множество Парето. Так, если имеется информация о том, что все n критериев равноценны, то при большом число сравниваемых вариантов это позволяет сузить паретовское множество приблизительно в n! раз.
Рассмотрим применение метода Падиновского для решения описанной выше задачи в наиболее благоприятном случае, когда все критерии для ЛПР равноценны. Тогда, следуя методу Падиновского, нам необходимо упорядочить оценки каждого из альтернативных вариантов (например, по убыванию) и среди полученных векторов выбрать в качестве оптимальных недоминируемые по Парето. Упорядочив оценки, получаем:
EMBED Equation.3 = (7, 5, 3, 2, 2) EMBED Equation.3 =(6, 6, 5, 4, 1)
EMBED Equation.3 =(5, 4, 3, 2, 1) EMBED Equation.3 =(7, 6, 5, 2, 2)
EMBED Equation.3 =(6, 4, 3, 3, 1) EMBED Equation.3 =(7, 6, 5, 4, 3)
EMBED Equation.3 =(7, 7, 4, 1, 1)
Среди вновь образованных упорядоченных векторов оценок недоминируемыми по Парето оказались векторы EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Следовательно, руководствуясь методом Падиновского, в качестве эффективных решений при равнозначности критериев рекомендуются варианты EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
Метод Падиновского в описанном виде может быть применен только в случае однородности критериев, т.е. критериев, значения которых принадлежат одному и тому же множеству. Примером однородных критериев может служить, например, множество суждений одинаково компитентных экспертов, оценивающих варианты по одной и той же шкале. В этом случае действительно может быть непринципиально, получил вариант х оценки экспертов EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Сложности появляются, когда критерии оказываются неоднородными, что бывает довольно часто. При неоднородных критериях определение их сравнительной важности сводится по существу к определению коэффициентов важности критериев. Это является основным недостатком метода Подиновского и в этом случае чаще целесообразнее использовать методы ЭЛЕКТРА.
