Тема 6.
Частотне представлення періодичних сигналів. Спектральна густина. Енергетичний сенс спектру сигналу.
T=?
x(t)
t
Рис. 1
Будь-який неперіодичний сигнал (рис.1) можна розглядати як періодичний, період зміни якого рівний нескінченності. В зв’язку з цим, розглянутий раніше спектральний аналіз періодичних процесів може бути узагальнений і на неперіодичні сигнали.
Розглянемо як буде змінюватися спектр періодичного сигналу при необмеженому збільшенні періоду зміни сигналу.
При збільшенні періоду Т інтервали між суміжними частотами в спектрі сигналу і амплітуди спектральних складових зменшуються і в межах EMBED Equation.3 стають нескінченно малими величинами. При цьому ряд Фур’є, який відображає спектральний розклад періодичного сигналу, перетворюється в інтеграл Фур’є, який відображає спектральний розклад неперіодичного сигналу.
Комплексна форма інтегралу Фур’є має вигляд:
де EMBED Equation.3 - спектральна густина сигналу;
EMBED Equation.3 - амплітудно-частотна характеристика сигналу;
EMBED Equation.3 - фазочастотна характеристика сигналу.
Вираз (1) називають формулою зворотного перетворення Фур’є.
Представлення неперіодичної функції інтегралом Фур’є можливо при виконанні наступних умов:
Функція EMBED Equation.3 задовольняє умови Дірихле;
Функція EMBED Equation.3 абсолютно інтегрована (цій умові відповідають практично всі реальні сигнали), тобто:
EMBED Equation.3 .
Таким чином, спектр неперіодичного сигналу на відміну спектру періодичного сигналу є суцільним і представляє собою суму нескінченного числа гармонічних складових з нескінченно малими амплітудами.
Амплітуди гармонічних складових, виходячи з (1), можуть бути представлені у вигляді:
EMBED Equation.3 ,
звідки, спектральна густина визначиться виразом:
Спектральна густина зв’язана з часовою функцією сигналу через пряме перетворення Фур’є
S(?); ?(?)
Рис. 2
?
-?
?(?)
S(?)
0
Спектральна густина однозначно відображає неперіодичний сигнал і задовольняє умовам (рис.2):
EMBED Equation.3
модуль спектральної густини є парною, а аргумент – непарною функцією частоти, тобто
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .


Енергетичний сенс спектру сигналу
Розглянемо розподіл потужності в спектрі періодичного сигналу. Для цього припустимо, що сигнал представляє собою струм EMBED Equation.3 , який протікає по резистору R (рис.3) і описується складною періодичною функцією часу з періодом Т.
EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 - квадрат діючого значення струму.
Представивши струм рядом Фур’є, отримаємо наступний вираз для квадрату діючого значення струму:
EMBED Equation.3 .
Отже, середня потужність:
Рис. 3
R
i(t)
Таким чином, середня потужність. Яка виділяється складним періодичним струмом в резисторі, рівна сумі середніх потужностей, які виділяються в цьому резисторі окремими гармоніками струму і його постійною складовою.
Розглянемо тепер розподіл енергії в спектрі неперіодичного сигналу.
Енергія, яка виділяється сигналом (струмом) в резисторі з опором 1 Ом. Визначається виразом:
Для визначення розподілу енергії по спектру неперіодичного сигналу виразимо W через модуль спектральної густини сигналу. Квадрат модуля спектральної густини можна представити у вигляді:
EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 - комплексно-спряжена функція для спектральної густини EMBED Equation.3 .
Згідно виразу EMBED Equation.3 , отримаємо:
Інтеграл від квадрату модуля спектральної густини:
Змінивши в (5) порядок інтегрування отримаємо:
EMBED Equation.3
Таким чином енергія сигналу:
SHAPE \* MERGEFORMAT
[S(?)]2
?
d?
d(W)
0
?
??
0
[S(?)]2
?k
Рис. 4
[S(?)]2
Вираз (6), який отримав назву рівності Персеваля, показує. Що енергія сигналу може бути представлена у вигляді суми нескінченно малих складових EMBED Equation.3 , які відповідають нескінченно малим ділянкам частотного спектру (рис.4). Вираз EMBED Equation.3 представляє собою енергію, яка міститься в спектральних складових сигналу, які розміщені в смузі частот EMBED Equation.3 в околі EMBED Equation.3 .
Таким чином, квадрат модуля спектральної густини характеризує розподіл по спектру енергії сигналу. Якщо задана енергія сигналу EMBED Equation.3 в околі частоти EMBED Equation.3 (рис.5), тоді модуль спектральної густини в точці EMBED Equation.3 може бути знайдений із наближеної рівності:
EMBED Equation.3