АНАЛИЗ ЦЕПИ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕННЫХ СОСТОЯНИЯ ПРИ ПОСТОЯННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ Дано: Для схемы: U 0 (t)= U 0 =const U 0 =5 В i 0 (t)=I 0 d 1 (t) I 0 =2 A Составить уравнения состояния для цепи при t і 0. Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С 1 и С 4 . Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа: (1) Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:
(2) Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad: 1.2 Найти точные решения уравнений состояния Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния: Общий вид точных решений уравнений состояния: Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:
Начальные условия (находятся из схемы): Для нахождения постоянных интегрирования A 1 , A 2 , A 3 , A 4 требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации
При t=0: Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния: Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:
При t=0: Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их: Точные решения уравнений состояния:
Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов. Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера: Подставляя выражения производных из уравнений состояния: h – шаг расчета =2*10 -6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий 1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ) e (A)t = a 0 + a 1 (A) e (A)t = (X) = [e (A)t -1][A] -1 [B][V]
1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния
Часть 2 Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии Анализу подлежит следующая цепь: Параметры импульса: U m =10 В t u =6*10 -5 c Форма импульса: 2.1 Определить функцию передачи: воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U 0 (s)=1/s Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:
Решаем эту систему: Таким образом: Функция передачи: 2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты. Полюсы:
Нули: Плоскость комплексной частоты: 2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения. Импульсная характеристика: Выделим постоянную часть в H U (s): Числитель получившейся дроби: Упрощенное выражение H U (s): Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя: Коэффициенты разложения: Оригинал импульсной характеристики:
Переходная характеристика: Этим же методом находим оригинал характеристики:
2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса Изабражение по Лапласу фукции f(t): Входной импульс представляет собой функцию Поэтому изображение входного сигнала будет
2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя H U (s) Изображение выходного сигнала: Найдем отдельно оригиналы части выражения при и при части, не имеющей этого множителя: Для части выражения при ,используя теорему о разложении: Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему о разложении: Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:
2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом – входной и выходной сигналы Переходная h 1 (t) и импульсная h(t) характеристики Входной и выходной сигналы
Часть 3 Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии 3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи H U (s) амплитудно-фазовая характеристика:
амплитудно-частотная характеристика: фазо-частотная характеристика: График АЧХ: График ФЧХ: 3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707 Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с -1 3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1 Амплитудный спектр входного сигнала: Фазовый спектр входного сигнала: График амплитудного и фазового спектра входного сигнала: Ширина спектра с -1 3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*10 4 с -1 , где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис 3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала Получаются по формулам:
3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина. Вещественная характеристика:
Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции График вещественной характеристики: Тогда: График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2
Часть 4 Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии Дано: T=18*10 -5 c. U m =10 В. t u =6*10 -5 c форма сигнала u 0 (t): 4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры. Коэффициенты ряда Фурье для u 0 (t) найдём из следующего соотношения:
где w 1 = 2 p /Т , k=0, 1, 2, ... w 1= 3.491*10 4 с. Значения A k и a k приведены в табл. ,на рис. , построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u 0 (t). k A k a k
0 0 0
1 2.067 0.524
2 3.308 -0.524
3 2.774 -1.571
4 2.363 -2.618
5 1.034 2.618
6 0 1.571
7 0.413 -2.618
8 0.301 2.618
9 0 1.571
Таким образом, в соответствии с шириной спектра
4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3 4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье. Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений k w 1 , k=0, 1, 2, ..., 8. Тогда
