Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову" В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль
§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки. Уравнение, которое нас будет интересовать:
При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение
Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде: Начальные условия выберем так: F 2 - степенной ряд по b 1 b 2 , m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):
Сравнивая коэффициенты при b 1 b 2 , m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3)
Решая задачи Коши, получим:
Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы
Введем обозначения ; для остальных функций аналогично Тогда (6) запишется в виде:
Если в этой системе можно b 1 b 2 представить в виде функции m так, чтобы b 1 b 2 , m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.
В нашем случае: Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f . Искомое периодическое решение может быть найдено в виде
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф( t ) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x '
Воспользуемся тем фактом, что Ф ( t ) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:
Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и x , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом ; аналогичным образом можно показать, что (11) Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m
будем искать в виде: (12) Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим:
Начальные условия для А о , В о , …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим
Для В ' о и В о аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:
(14)
Решение (13) можно найти при помощи квадратур:
(15)
Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:
S 1 , S 2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф ( t ). a 1 , a 2 - характеристические показатели Если все , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:
=0 (16) Полагаем ;
Тогда определитель будет:
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R e ( a ), или что все равно ÷ l ÷ . Если ÷ l ÷ < 1 имеет место устойчивость ÷ l ÷ = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷ l ÷ > 1 имеет место неустойчивость При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р 2 ; q < р 2 ; В первом случае l -комплексные; ½ l 2 ½ = q ; (20) если q <1; устойчивость q >1 - неустойчивость Случай второй - l - действительные: ; (21) устойчивость соответствует p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12)
(22) Если принять во внимание (15)
(22 a )
(23)
Мы видим, что при достаточно малом m и w ¹ n ; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b , если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость В нашем случае b имеет вид: (23 a )
§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса. Тогда l = m l о ; w 2 = 1+ a о m , (24) ( a о , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при a о ¹ 0) Тогда исследуемое уравнение имеет вид :
(25)
При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26) Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:
(27);
Начальные условия возьмем как и раньше:
Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b 1 b 2 , m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A , B , C , D , E , F . Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27)
(29)
Запишем условия периодичности для (27):
Делим на m :
( 30 a )
Необходимым условием существования периодического решения является:
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :
(31)
Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1)
D , Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b 1, b 2 , в виде рядов по степеням m . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда
(33)
P , Q -определяются формулами (31) (32)
§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса
Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33)
Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв :
Из формул (22) (34) , тогда D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:
(36)
; Тогда, зная функцию f , мы можем вычислить D в виде функции P , Q и a о Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:
; (37)
Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m )
1) p 2 - q < 0 2) p 2 - q > 0 В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0 Во втором случае (*) последнее может быть выполнено только, если b
