Контрольная работа
Вариант №5
Задача №1
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн.руб.)от объема капиталовложений (Х, млн.руб.).
Требуется:
Для характеристики Y от Х построить следующие модели:
- линейную,
- степенную,
- показательную,
- гиперболическую.
2. Оценить каждую модель, определив:
- индекс корреляции,
- среднюю относительную ошибку,
- коэффициент детерминации,
- F-критерий Фишера.
3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. рассчитать прогнозные значения результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.
Задание к задаче№1

Решение:
Построение линейной модели парной регрессии
Для расчетов нам понадобятся некоторые расчетные значения, которые приведены в следующей таблице:
Определим коэффициент парной корреляции по следующей формуле:
________________
ry,x = ?(y-yср)*(х-хср)/v ?(y-yср)2*(х-хср)2
ry,x = 0,805
Можно сказать что связь между объемом капиталовложений Х и объемом выпуска продукции Y обратная, достаточно сильная.
Уравнение линейной регрессии имеет вид: урасч = a + b*x
Параметры a и b рассчитываются по формулам:
___ _ _ _ _2
b =( у*х – у*х)/(х2 – х ); b = 0,53
_ _
а = у – b*х ; а = 4,64
Уравнение линейной регрессии имеет вид: урасч = 4,64 + 0,53*x
Рассчитаем коэффициент детерминации R2
R2 = r2y,x
R2 =0,648
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 64,8 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
R2 *(n-2)
Fрасч = 1- R2
Fрасч = 9,201
Fтабл = 6,608 для ?=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=5
Fрасч > Fтабл
Уравнение регрессии с вероятностью 0.95 в целом статистически значимо т.к. Fрасч > Fтабл.
Определим среднюю относительную ошибку:
Еотн = 1/ n *? | Ei/у|
Еотн = 8,5
В среднем расчетные значения урасч для линейной модели отличаются от фактических значений на 8,5%
Построение степенной модели парной регрессии
Уравнение степенной модели имеет вид: урасч = a*xb
Для построения этой модели необходимо провести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg yрасч = lg a + b lg x.


Обозначим Y = lg y; X = lg x; A = lg a.
Тогда уравнение примет вид Y = A + b*X – линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры используя следующую таблицу:
____ __ __ __ __2
b =( Y*X – Y * X )/(X2 – X ); b = 0,999
_ _
A = Y – b*Y ; а = -0, 229
Уравнение регрессии имеет вид: Yрасч = -0,229 + 0,999*X
Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения.
урасч = 10-0,229 *х0,999
Получим уравнение степенной модели урасч = 0,591* х0,999


?y,x = 0,8
Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.
Рассчитаем коэффициент детерминации R2
R2 = ?2y,x
R2 =0,64
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 64 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
R2 *(n-2)
Fрасч = 1- R2
Fрасч = 8,886
Fтабл = 6,608 для ?=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=5
Fрасч > Fтабл
Уравнение регрессии с вероятностью 0.95 в целом статистически значимо т.к. Fрасч > Fтабл.
Определим среднюю относительную ошибку:
Еотн = 1/ n *? | Ei/у|
Еотн = 8,095
В среднем расчетные значения урасч для степенной модели отличаются от фактических значений на 8,09%
Построение показательной функции
Уравнение степенной модели имеет вид: урасч = a*bx
Для построения этой модели необходимо провести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lg yрасч = lg a + x lg b.
Обозначим Y = lg y; B = lg b; A = lg a.
Тогда уравнение примет вид Y = A + B*x – линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры используя следующую таблицу:
____ __ __ __ _2
B =( Y*x – Y * x )/(x2 – x ); B = 0,0054
_ _
A = Y – B*x ; A = 1,23
Уравнение регрессии имеет вид: Yрасч = 1,23 + 0,0054*x
Перейдем к исходным переменным х и у, выполнив потенцирование данного уравнения.
x
урасч = 101,23 *10 0,0054
Получим уравнение показательной модели урасч = 17,102* 1,0126 x
SHAPE \* MERGEFORMAT
?y,x = 0,7651
Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.
Рассчитаем коэффициент детерминации R2
R2 = ?2y,x
R2 =0,5854
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 64 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
R2 *(n-2)
Fрасч = 1- R2
Fрасч = 7,059
Fтабл = 6,608 для ?=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=5
Fрасч > Fтабл
Уравнение регрессии с вероятностью 0.95 в целом статистически значимо т.к. Fрасч > Fтабл.
Определим среднюю относительную ошибку:
Еотн = 1/ n *? | Ei/у|
Еотн = 8,781
В среднем расчетные значения урасч для показательной модели отличаются от фактических значений на 8,78%
Построение гиперболической функции
Уравнение степенной модели имеет вид: урасч = a+b/x
Проведем линеаризацию модели путем замены Х = 1/х.
В результате получим линейное уравнение у = a + b*X.
Рассчитаем его параметры используя следующую таблицу:

____ __ __ __ _2
b =( y*X – y * X )/(X2 – X ); b = -3255,7
_ _
a = у – b*X ; а = 88,6
Уравнение гиперболической модели имеет вид: урасч = 88,6 – 3255,7/x
SHAPE \* MERGEFORMAT
?y,x = 0,858
Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.
Рассчитаем коэффициент детерминации R2
R2 = ?2y,x
R2 =0,736
Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 64 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).
Рассчитаем F-критерий Фишера:
R2 *(n-2)
Fрасч = 1- R2
Fрасч = 13,939
Fтабл = 6,608 для ?=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=5
Fрасч > Fтабл
Уравнение регрессии с вероятностью 0.95 в целом статистически значимо т.к. Fрасч > Fтабл.
Определим среднюю относительную ошибку:
Еотн = 1/ n *? | Ei/у|
Еотн = 7,056
В среднем расчетные значения урасч для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 7,05%
Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов:

Все модели имеют примерно одинаковые но большее значение F-критерия Фишера и большее значение коэффициента детерминации R2 имеет гиперболическая модель. Ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.
Расчет прогнозного значения результативного признака
5. Расчет прогнозного значения
Прогнозное значение результативного признака (объема выпуска продукции) определим по уравнению гиперболической модели подставив в него планируемую (заданную по условию)величину объема капитальных вложений:
хпр = хср*1,1
хпр = 85,01
упр = a+b/хпр
упр = 50,30215
Фактические, расчетные и прогнозные значения по лучшей модели отобразим на графике.
EMBED Excel.Chart.8 \s Рис.1. Прогноз по лучшей модели

Задача №2
По десяти кредитным учреждениям получены данные, характеризующие зависимость объема прибыли (Y) от среднегодовой ставки по кредитам (Х1), ставки по депозитам (Х2) и размера внутрибанковских расходов (Х3).
Требуется:
Осуществить выбор факторных признаков для построения двухфакторной регрессионной модели.
Рассчитать параметры модели.
Для характеристики модели определить:
- линейный коэффициент множественной корреляции,
- коэффициент детерминации,
- средние коэффициенты эластичности,
- бетта-, дельта — коэффициенты. Дать их интерпретацию.
Осуществить оценку надежности уравнения регрессии.
Оценить с помощью t-критерия Стьюдента статистическую значимость коэффициентов уравнения множественной регрессии.
Построить точечный и интервальный прогнозы результирующего показателя.
Отразить результаты расчетов на графике.
Выполнение задач отразить в аналитической записке, приложить компьютерные распечатки расчетов.
Задание к задаче №2
n=10
m=3
Выбор признаков для построения двухфакторной модели
С помощью MS Excel проведем корреляционный анализ

Анализ матрицы коэффициентов парной корреляции показывает что Y имеет тесную связь со всеми факторами но между факторами Х1 и Х3 связь теснее а значит можно говорить о мультиколлинеарности этих факторов поэтому мы выбираем фактор Х2
Выбор вида модели и оценка ее параметров
С помощью MS Excel проведем регрессионный анализ
4.5

Уравнение регрессии зависимости объема прибыли от Ставки по кредитам и Ставки по депозитам можно записать в следующем виде:
у=33,295+0,767х1+0,017х2
Оценка качества модели
В таблице 4.8 приведены вычисленные по модели значения Y и значения остаточной компоненты.
EMBED Excel.Chart.8 \s Рис.2. График остатков
Вычислим для модели коэффициент детерминации.
Этот коэффициент уже вычислен нами и находится в таблице 4.5
R2 = 0,855
Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 86% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.
Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:
Fтабл мы вычисляем с помощью функции FРАСПОБР
Fтабл = 4,737
Fрасч уже вычислено и находится в таблице 4.6
Fрасч = 20,621
Поскольку .Ррасч > Ртабл, уравнение регрессии следует признать адекватным.
Учитывая, что коэффициент регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности (Э) и бета-коэффициент, которые соответственно рассчитываются по формулам:
Эj = аj*xср j / yср
? = ai * Sxi / Sy

Э1 = 0,767*42,4/68,6 = 0,474
Э2 = 0,017*160,8/68,6 = 0,040
? = 0,767 * 304,7111 / 205,3778 = 1,138
? = 0,017 * 123,7333 / 205,3778 = 0,010
Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент.
Бета-коэффициент с математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.
Оценка статистической значимости
Расчетные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов уравнения регрессии а,, а2 приведены в четвертом столбце таблицы 4.7
Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЫОДРАСПОБР
tтабл= 2,36462256
tрасч=0,704
tрасч =4,604 критерий статистически значим
tрасч =0,066

Точечный и интервальный прогноз
EMBED Excel.Chart.8 \s
EMBED Excel.Chart.8 \s