EMBED MSPhotoEd.3
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
по дисциплине
ЭКОНОМЕТРИКА
Вариант №24







Архангельск, 2007
Таблица данных
Требуется:
I
определить наличие тренда Y(t);
построить линейную модель Y(t) = a0 + a1t, параметры которой оценить с помощью МНК;
оценить адекватность построенных моделей на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков по d - критерию (в качестве критических используйте уровни d1 = 1.08 и d2 = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r(1) = 0,36;
нормальности распределения остаточной компоненты по R/S - критерию с критическими уровнями 2,7 – 3,7;
для оценки точности модели используйте среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку;
построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P = 70% используйте коэффициент t?,? = 1.11).
II
постройте матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X1(t) и X2(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с переменной Y(t);
построить линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t) = a0 + a1t;
оценить качество построенной модели, исследовав ее адекватность и точность;
для модели регрессии рассчитать коэффициент эластичности и ?–коэффициент;
построить точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности P = 70% используйте коэффициент ? = 1.11). Прогнозные оценки фактора X(t) на два шага вперед получить на основе среднего прироста от фактически достигнутого уровня.
III
Отобразить на графиках фактические данные, результаты расчетов (I – 1, 3, 4, 6; II – 2, 5) и прогнозирования по всем моделям.
Задание I
Определяем наличие тренда Y(t).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 где EMBED Equation.3 S = 7.
EMBED Equation.3 где EMBED Equation.3 d = 7.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
При n < 10, ?????,???, ?1 = 1,288, ?2 = 1,964.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
? = 0,05; n = 9.
t?;(n-2)(табл) = t(?=0,05;8) = 2,36,
tS > t?;(n-2)(табл), тенденция в дисперсии есть.
td > t?;(n-2)(табл), тренд есть.
Строим линейную модель Y(t) = a0 + a1t, параметры которой оценим с помощью МНК.

a0 = 14,2 a1 = 3,3.
Yрасч(t) =14,2 + 3,3*t – линейное уравнение трендовой модели
Оцениваем адекватность построенной модели.
Проверяем свойства остатков:
а) Случайность значений остатков (критерий поворотных точек или пиков).
EMBED Equation.3 где m – количество поворотных точек или пиков.
m = 5,
EMBED Equation.3
5>2, неравенство выполняется, ряд остатков можно считать случайными, т.е. он не содержит регулярную компоненту.

б) Проверяем отсутствие автокорреляции или независимость значений остатков ( критерий Дарвина-Уотсона).
EMBED Equation.3
dрасч = 0,95,
d1 = 1,08,
d2 = 1,36,
dрасч < d1 , то свойство не выполняется, остатки зависимы, автокорреляция есть
в) Нормальный закон распределения остатков (R/S-критерий).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Emax =3,0, Emin = -2,5, SE = 2,048.
R/S =2,76 . (2,7 – 3,7).
2,7 < 2,76< 3,7, свойство выполняется, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.
Модель адекватна с вероятностью 0,95, т.к. рядом остатков выполняются все свойства.
Оцениваем точность модели (используя среднеквадратическое отклонение и среднюю по модулю относительную ошибку).
а) Стандартная ошибка отклонений:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Sy = 2,19.
б) Средний модуль остатков:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
в) Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3
S = 6,05 %,
5% < S < 10%, модель приемлема для анализа.
в) Проверка равенства (М/Е)=0
tp= EMBED Equation.3
tp=2,35
t EMBED Equation.3 (0,01;8)=3,36
2,35<3,36, свойство выполняется, следовательно модель адекватна с вероятностью 0,99
Строим точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед (для вероятности P = 70% используйте коэффициент t?,? = 1.11).
Точечный прогноз:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 где n – количество наблюдений, k – период упреждения (прогноза).
Интервальный прогноз:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 где (n – p) – число степеней свободы.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
t(n+k) = n + k.
а) n = 9, k = 1.
EMBED Equation.3 – точечный прогноз.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Нижняя граница – 44,192
Верхняя граница – 50,208.
(44,192 – 50,208) – интервальный прогноз.
б) n = 9, k = 2.
EMBED Equation.3 – точечный прогноз.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Нижняя граница – 47,314,
Верхняя граница – 53,686.
(47,314 – 53,686) – интервальный прогноз.







Задание II
1) Строим матрицу коэффициентов парной корреляции Y(t) с X1(t) и X2(t) и выбрать фактор, наиболее тесно связанный с переменной Y(t).
r (y,x1) = 0,912, связь тесная и прямая.
r (y,x2) = -0,960, связь тесная и обратная.
r (х1,x2) = -0,963 связь тесная и обратная,
0,963 > 0,8, факторы коллинеарные, т.е. линейно зависимы, включать в модель вместе нельзя.
Проверка значимости коэффициентов парной корреляции по критерию Стьюдента.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 то ryx – значим.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – значим, т.е. связь между переменными y и x1 существует.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – значим, т.е. связь между переменными y и x2 существует.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 – значим, т.е. связь между переменными x1 и x2 существует.
Для построения модели выбираем фактор х2, т.к. EMBED Equation.3
Yрасч = F(x2).
Фактор х2 обозначим через Х.
Yрасч(Х) = а0+а1*Х.
2) Строим линейную однопараметрическую модель регрессии Y(t) = a0 + a1t.

n*a0+( EMBED Equation.3 Х)*а1= EMBED Equation.3 у
EMBED Equation.3 Х*а0+( EMBED Equation.3 Х EMBED Equation.3 )*а1= EMBED Equation.3 (Х*У)
9*а0 +634*а1=277 *634
634*а0+45192*а1=18931 *9
5706 *а0+401956*а1=175618
5706*а0+406728*а1=170379
-4772*а1=5239
а1=-1,0979
9*а0+634*(-1,0979)=277
а0= 108,12
y = -1,0979x + 108,12-уравнение парной регрессии
а1=-1,1 показывет % изменение результата У, если один из факторов увеличить на 1% , то есть если У увеличить на 1%, то Х уменьшится на 1,1
а)Оценка качества модели регрессии
ryх=а1* EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 7,675
EMBED Equation.3 8,778
rух =-1,1* EMBED Equation.3 -0,962
rух <0, следовательно, связь обратная и очень тесная (Х увеличивается, а У уменьшается)
r EMBED Equation.3 ух =0,925 или 92,5 % вариации У происходит за счет фактора Х, включенного в модель.
б) Проверяем значимость уравнения регрессии по критерию Фишера (дисперсионный анализ).
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
F расч= EMBED Equation.3 86,33
EMBED Equation.3 , К1 = m, К2 = n-m-1.
К1=1
К2=9-1-1=7
EMBED Equation.3 , т.е. уравнение регрессии значимо, то есть адекватно
в) Проверяем значимость параметров уравнения регрессии (критерий Стьюдента).
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 , m – количество факторов в модели.
уср=277/8=30,77
хср=634/9=70,44
У1 расч=108,1-1,1*82=17,9
У2 расч=108,1-1,1*79=21,2 и т.д.
Sу= EMBED Equation.3 =2,796
Sa0=2,796* EMBED Equation.3 =8,6
ta0=108,1/8,6=12,6
EMBED Equation.3 ;
ta0>t EMBED Equation.3 , следовательно параметр a0 значим
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 2,796
Sa1=2,796/ EMBED Equation.3 =0,12
ta1=(-1,1)/0,12=9,2
EMBED Equation.3 , параметр a1 значим.
Интервальная оценка параметров:
a0: EMBED Equation.3 , 108,1 EMBED Equation.3
a1: EMBED Equation.3 , -1,1 EMBED Equation.3
a0 =87,8 EMBED Equation.3 значим, т.к. 0 не входит в интервал.
a1 =-1,4 EMBED Equation.3 -0,8, значим, т.к. 0 не входит в интервал.
3. Оценка качества модели (адекватность и точность)
1) Точность модели.
Стандартная ошибка отклонений:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Sy == EMBED Equation.3 .
Средний модуль остатков:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 17,5/9=1,944
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
EMBED Equation.3
S = (1/9)*0,65=7,2%,
S < 10% , модель считается точной
2) Проверка модели на адекватность:
а) случайность значений остатков- критерий поворотных точек
EMBED Equation.3
m = 5,
EMBED Equation.3

5>2, неравенство выполняется, ряд остатков можно считать случайными
б) Отсутствие автокорреляции в ряду остатков (критерий Дарбина –Уотсона)
EMBED Equation.3
d1 = 1,08,
d2 = 1,36,

d расч=96,05/54,73=1,75
1,36< 1,75<2, то свойство выполняется, остатки независимы, автокорреляции нет
в) Нормальный закон распределения остатков (R/S-критерий).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Emax =5,9 , Emin = -2,9,
SE = EMBED Equation.3 2,61
R/S =(5,9+2,9)/2,61=3,37
2,5 < 3,37< 3,9, свойство выполняется, гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается.
г)Проверка равенства (М(Е)=0)
tp= EMBED Equation.3
tp= EMBED Equation.3 =0,19
t EMBED Equation.3 (0,05;8)= 2,36
0,19<2,36, свойство выполняется
Модель адекватна с вероятностью 0,95, т.к. рядом остатков выполняются все свойства.
4) Для модели регрессии рассчитаем коэффициент эластичности и ?–коэффициент.
Коэффициент эластичности:
EMBED Equation.3 ;
Хср=70,44
Уср=30,77
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =-2,51%, или на 2,51 % в среднем уменьшится значение результативного признака y, если фактор x1 увеличить на 1 % при неизменном значении других факторов.
?–коэффициент:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
Sy = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =9,31;
EMBED Equation.3 ;
Sх1 = EMBED Equation.3 =8,14;
EMBED Equation.3 , если фактор Х2 увеличить на 8,14, то результат Y уменьшится на 8,94
5) Построим точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед по модели регрессии (для вероятности P = 70%, используйте коэффициент ? = 1,11).
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Точечный прогноз:
EMBED Equation.3 где n – количество наблюдений;
k – период упреждения;
EMBED Equation.3 – средний абсолютный прирост.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =-2,875
Ширина доверительного интервала:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Стандартная ошибка отклонений:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Sy = EMBED Equation.3 2,796.
а) n = 9, k = 1.
Точечный прогноз:
EMBED Equation.3 59+1*(-2,875)=56,125
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 108,1-1,1*56,125=46,36 точечный прогноз.
Ширина доверительного интервала:
EMBED Equation.3 2,796* EMBED Equation.3 =3,42
EMBED Equation.3 1,11*3,42=3,80
46,36 EMBED Equation.3 3,80
Нижняя граница – 42,56,
Верхняя граница –50,16.
(42,56 -50,16) – интервальный прогноз.
б) n = 9, k = 2.
Точечный прогноз:
EMBED Equation.3 56,125+1*(-2,875)=53,25
EMBED Equation.3 108,1-1,1*53,25= 49,53– точечный прогноз.
Ширина доверительного интервала:
EMBED Equation.3 2,796* EMBED Equation.3 =3,61;
EMBED Equation.3 1,11*3,61=4,01
49,53 EMBED Equation.3 4,01
Нижняя граница –45,52,
Верхняя граница –53,54.
(45,52-53,54) – интервальный прогноз.

Дата выполнения « » марта 2007 г. Подпись ________