Задача № 1
Имеются следующие выборочные данные ( выборка 10 % - тная, механическая ) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб:
По исходным данным :
Постройте статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте график ряда распределения.
Рассчитайте характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли : среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие и границы, в которых будет находиться средняя сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки для доли предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Решение :
1. Сначала определяем длину интервала по формуле :
е=(хmax – xmin)/k,
где k – число выделенных интервалов.
е=(19,6 – 12,1)/5=1,5 млн.руб.
12,1-13,6; 13,6-15,1; 15,1-16,6; 16,6-18,1; 18,1-19,6.
Распределение предприятий по сумме прибыли.
Рассчитываем характеристику ряда распределения предприятий по сумме прибыли, для этого составим расчетную таблицу :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 Средняя арифметическая : = ?? xf / ?? f
получаем : = 481,5 : 30 = 16,05 млн.руб.
Среднее квадратическое отклонение :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 получаем :
EMBED Equation.3 Определяем среднее квадратическое отклонение для определения коэффициента вариации)
Коэффициент вариации : ?х = (?х * 100%) / x
получаем : ?х =1,7 * 100% : 16,05 = 10,5%
так как ?х = 10,5% < 33% то можно сделать вывод, что совокупность однородная, а средняя величина типичная ее характеристика.
EMBED Equation.3 Определяем ошибку выборки (выборка механическая) для средней суммы прибыли на одно предприятие по следующей формуле :
если Р=0,954 то t=2
ошибка выборки для средней суммы прибыли на одно предприятие ?х = 0,6
EMBED Equation.3 Средняя сумма прибыли будет находиться в границах которые мы находим по формуле :
получаем : 15,45??X ??????
EMBED Equation.3 С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средняя сумма прибыли одного предприятия заключается в пределах :
EMBED Equation.3 Доля предприятий со средней прибылью свыше 16,6 млн.руб. находится в пределах :
EMBED Equation.3 Выборочная доля составит :
EMBED Equation.3 Ошибку выборки определяем по формуле :
,где N – объем генеральной совокупности.
Также объем генеральной совокупности можно определить из условия задачи, так как выборка 10% -тная и в выборку вошло 30 предприятий:
30 предприятий – 10%
Х – 100%
10х=3000
х=300 предприятий, следовательно N=300
EMBED Equation.3 подставляем данные в формулу :
Следовательно с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля предприятий со средней прибылью > 16,6 млн. руб будет находиться в следующих пределах:
33% ????????или 16,7 ??????49,3%
Задача № 2
по данным задачи №1
Методом аналитической группировки установите наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли на одно предприятие. (результаты оформите рабочей и аналитической таблицами.)
Измерьте тесноту корреляционной связи между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли эмпирическим корреляционным отношением.
Сделайте выводы.
Решение:
EMBED Equation.3 Поскольку прибыль предприятия напрямую зависит от объема производимой продукции, то мы обозначим выпуск продукции независимой переменной Х, тогда прибыль зависимой переменной У. Поскольку в каждом отдельном случае рассматривается одно предприятие а на прибыль предприятия, кроме выпуска продукции, может влиять множество факторов в том числе и неучтенных, следовательно можно определенно сказать что связь в данном случае корреляционная. Ее можно выявить при помощи аналитической группировки. Для этого сгруппируем предприятия по выпуску продукции, интервал высчитываем по формуле :
Где К – число выделенных интервалов.
Получаем : EMBED Equation.3
В итоге у нас получаются следующие интервалы :
41 – 53; 53 – 65; 65 – 77; 77 – 89; 89 – 101
Строим рабочую таблицу.
Теперь по данным рабочей таблицы строим итоговую аналитическую таблицу:
По данным аналитической таблицы мы видим, что с приростом объема продукции, средняя прибыль на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.
Строим расчетную таблицу :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Вычисляем коэффициент детерминации по формуле :
EMBED Equation.3 Где - межгрупповая дисперсия находящаяся по формуле :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 общая дисперсия результативного признака, находится по формуле :
EMBED Equation.3 Теперь находим
EMBED Equation.3
Для каждой группы предприятий рассчитаем значение
и вносим в таблицу.
EMBED Equation.3 Находим межгрупповую дисперсию :
Для нахождения общей дисперсии, нужно рассчитать :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 где ??- количество предприятий и
получаем :
EMBED Equation.3
Рассчитываем общую дисперсию :
EMBED Equation.3
получаем :
EMBED Equation.3
Вычисляем коэффициент детерминации :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
получаем : , или 70,3 %
Следовательно, на 70,3 % вариация прибыли предприятия зависит от вариации выпуска продукции и на 29,7 % зависит от неучтенных факторов.
Эмпирическое корреляционное отношение составляет :
Это говорит о том, что корреляционная связь играет существенную роль между стоимостью произведенной продукции и суммой прибыли.
Задача № 3
Динамика капитальных вложений характеризуется следующими данными, в сопоставимых ценах, млрд. руб. :
Для изучения интенсивности изменения объема капитальных вложений вычислите :
Абсолютные приросты, темпы роста и прироста ( цепные и базисные ) общего объема капитальных вложений. Результаты представьте в таблице.
Для общего объема капитальных вложений, в том числе производственного и непроизводственного назначения :
а) средний уровень ряда динамики;
б) среднегодовой темп роста и прироста.
Осуществите прогноз капитальных вложений на ближайший год с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.
Определите основную тенденцию развития общего объема капитальных вложений методом аналитического выравнивания, осуществите прогноз на ближайший год.
Изобразите динамику капитальных вложений на графике. Сделайте выводы.
Решение :
Поскольку в данном нам динамическом ряду каждый уровень характеризует явление за определенный отрезок времени, то этот ряд будет интервальным.
Для расчета абсолютного прироста цепной используем формулу :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Для расчета базисного прироста используем формулу :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Для расчета EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 темпа роста цепной используем формулу :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Для расчета темпа роста базисной используем формулу :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Для расчета темпа прироста цепной используем формулу :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Для расчета темпа прироста базисной используем формулу :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Теперь представим в таблице выше рассчитанные показатели :
Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные) общего объема капитальных вложений.
По данным таблицы можно сделать вывод, что общий объем капитальных вложений имеет тенденцию к снижению.
EMBED Equation.3 а) Поскольку ряд динамический и интервальный, то для расчета среднего уровня ряда динамики мы будем использовать следующую формулу :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Для общего объема капитальных вложений :
Производственного назначения :
Непроизводственного назначения :
EMBED Equation.3 б) Рассчитываем среднегодовые темп роста и темп прироста по формулам :
EMBED Equation.3 Среднегодовой темп роста :
EMBED Equation.3 для общего объема капитальных вложений :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 производственного назначения :
непроизводственного назначения :
Среднегодовой темп прироста :
EMBED Equation.3 для общего объема капитальных вложений :
(следовательно в среднем общий объем капитальных вложений за 5 лет снизился на 18%.)
EMBED Equation.3 производственного назначения :
(следовательно в среднем объем капитальных вложений производственного назначения снизился на 20%)
EMBED Equation.3 непроизводственного назначения :
(следовательно в среднем объем капитальных вложений непроизводственного назначения снизился на 15%)
EMBED Equation.3 Для расчета прогноза капитальных вложений с помощью среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста мы будем использовать следующие формулы :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Подставив соответствующие значения получим :
Следовательно в ближайший год в среднем общий объем капитальных вложений сократится на 18,66 млрд. руб. и составит сумму от43,6 млрд. руб. до 51 млрд. руб.
4. А теперь мы при помощи метода аналитического выравнивания заменим эмпирический динамический ряд условным теоретическим динамическим рядом, так как он наиболее подходяще выглядит к формулам на основе прямой.
Показатель теоретического ряда рассчитывается при помощи метода наименьших квадратов.
EMBED Equation.3 Уравнение прямой имеет вид : y(t)=a+bt,
а = 470,66 : 5 = 94,1 b = -186,65 : 10 = -18,7
EMBED Excel.Sheet.8 уравнение имеет вид : y(t) = 94,1 – 18,7 t
По данным графика можно сделать вывод, что общий объем капиталовложений имеет тенденцию к снижению.
Расчет прогноза проведен с помощью следующих этапов :
значение верхней границы подсчитан по формуле среднего темпа роста.
значение нижней границы выявлено следующим образом : в уравнение прямой y(t) = 94,1 - 18,7t подставили значение t =3 потому что прогноз выполнялся на год вперед, значит tусл= 3
прогнозируемое значение рассчитали по формуле среднего абсолютного прироста.
Задача № 4
Имеются следующие данные по двум предприятиям отрасли :
Определите :
Уровни и динамику производительности труда рабочих каждого предприятия.
Для двух предприятий вместе :
индекс производительности труда переменного состава;
индекс производительности труда фиксированного состава;
индекс влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда;
абсолютное и относительное изменение объема реализации продукции во 2 квартале (на одном из предприятий ) в результате изменения :
численности рабочих;
уровня производительности труда;
двух факторов вместе.
Покажите взаимосвязь между исчисленными показателями.
Решение :
1. Построим расчетную таблицу, где реализованную продукцию в первом квартале обозначим V0, а во втором как V1 и среднесписочную численность как S0 и S1.
EMBED Equation.3 2. (а) Для расчета индекса производительности труда переменного состава EMBED Equation.3 используем следующую формулу :
получаем : Jw=6,08 : 4,95=1,22
Индекс показывает изменение среднего уровня производительности труда в однородной совокупности под влиянием двух факторов :
изменение качественного показателя W (производительности труда) у отдельных предприятий;
изменение доли, с которой каждое значение W входит в общий объем совокупности.
EMBED Equation.3 (б) Для расчета индекса производительности труда фиксированного состава используем следующую формулу :
EMBED Equation.3 получаем :
Индекс показывает изменение среднего уровня только под влиянием изменения индивидуальных значений качественного показателя в постоянной структуре.
(в) Для расчета индекса влияния структурных изменений в численности рабочих на динамику средней производительности труда используем следующую формулу :
получаем : Jw(d)=4,86 : 4,95 = 0,98
EMBED Equation.3 Рассчитанные выше показатели взаимосвязаны между собой количественно, это определяется формулой :
получаем : Jw=6,08 : 4,95=1,22
(г) Произошедшее абсолютное и относительное изменение объема продукции во 2-м квартале зависело от следующих факторов :
численность рабочих :
? ?q(S) = (S1-S0)W0
получаем : ?q(S) = (80 – 100) * 5,4 = -108
уровень производительности труда :?
?????????????????????????????????????????q(W) = (W1-W0)S1
получаем : ?q(W) = (6,8 – 5,4) * 80 = 112
обоих факторов вместе :
?????????????????????????????????????????q = ?q(S) +??q(W)
получаем : ?q = -108 + 112 =4
Вывод : Поскольку индекс производительности труда переменного состава равен 1,22 или 122%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 22%. Индекс производительности труда фиксированного состава равен 1,25 или 125%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям возросла на 25%. Индекс структурных сдвигов равен 0,98 или 98%, значит, средняя производительность труда по двум предприятиям снизилась на 2% за счет изменения структуры.
При условии, что произошедшие изменения производительности труда не сопровождались бы структурными перераспределениями среднесписочной численности рабочих в 1-м и 2-м квартале, то средняя производительность труда по двум предприятиям возросла бы на 25%. Изменение численности рабочих привело к снижению производительности труда на 2%. Но одновременное воздействие двух факторов увеличило среднюю производительность труда по двум предприятиям на 22%.
Задача № 5
Средние запасы материала на предприятии, составившие в первом квартале 200 м2, сократились во втором на 30%. При этом, если ранее расход материала в среднем за сутки составлял 40 м2,то теперь он снизился до 32 м2.
Определите :
За каждый квартал :
а) коэффициенты оборачиваемости производственных запасов;
б) продолжительность одного оборота в днях;
в) относительные уровни запасов (коэффициенты закрепления)
За второй квартал в сравнении с первым :
а) ускорение (замедление) оборачиваемости запасов в днях;
б) величину среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости.
Решение :
(а) Для расчета коэффициента оборачиваемости производственных запасов
EMBED Equation.3 используем формулу :
Для нахождения средних запасов во втором квартале мы воспользуемся данными задачи :
СЗ0 = 200
iсз =1 - 0,3 = 0,7
СЗ1 = ?
СЗ1 = iсз * СЗ0 =0,7 * 200 = 140 кв.м.
Коэффициент оборачиваемости за I квартал :
40*90=3600 кв.м. – квартальный расход материалов.
Кобор= 3600 : 200 = 18 оборотов.
Коэффициент оборачиваемости за II квартал :
32*90=2880 кв.м. – квартальный расход материалов.
= 2880 : 140 = 20,6 оборотов.
(б) Для расчета продолжительности одного оборота в днях используем формулу :
Д = Период : Кобор
В 1-ом квартале : Д = 90 : 18 = 5 дней.
Во 2-ом квартале : Д = 90 : 20,6 = 4,37 дней.
(в) Для расчета относительных уровней запасов (коэффициент закрепления) воспользуемся формулой :
Кзакреп= Средние запасы за период : Расход материала за период.
В 1-ом квартале : Кзакреп= 200:3600=0,055 кв.м. запасов на 1 руб расход. матер.
Во 2-ом квартале : Кзакреп= 140:2880=0,0486 кв.м. запасов на 1 руб расход. матер.
2. (а) Для расчета ускорения (замедления) оборачиваемости запасов в днях используем формулу :
Дотч. - Дбаз.=если знак « - » то произошло ускорение оборачиваемости.
« + » то произошло замедление оборачиваемости.
Произведем вычисления : 4,37 – 5 = -0,63 дня, следовательно произошло ускорение оборачиваемости.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (б) Для расчета величины среднего запаса высвободившегося (осевшего, закрепившегося) в результате ускорения (замедления) его оборачиваемости используем следующие формулы :
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Произведем вычисления :
Аналитическая таблица.
Вывод : При условии что оборачиваемость производственных запасов не изменится, то во 2-ом квартале расход материалов составит 2880 кв.м., но в следствие того, что оборачиваемость возросла ( 20,6 : 18 = 1,144) на 14,4% то производственных запасов понадобилось на 20 кв.м. меньше.
Список использованной литературы.
« Общая теория статистики » Учебник М.Р. Ефимова, Е.В. Петрова, В.Н. Румянцев. Москва «Инфра-М» 1998г.
« Теория статистики » В.М. Гусаров. Москва «Аудит» « ЮНИТИ» 1998г.
« Теория статистики » Учебник под редакцией профессора Р.А. Шамойловой. Москва «Финансы и статистика» 1998г.
