Задача 1. 1.6. Финансовый консультант фирмы «АВС» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси». Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цены на акции: «Дикси – Е» - 5$ за акцию; «Дикси –В» - 3$ за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного наименования должно быть не более 5000 штук. По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси – Е» - 1,1$; «Дикси – В» - 0,9$. Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций. Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему? Решение Пусть X1 – кол-во акций «Дикси-Е», X2 – кол-во акций «Дикси-В». Тогда стоимость акций будет задаваться целевой функцией:
Вид дохода Наименования акций Запас средств
Дикси-Е Дикси-В
Стоимость 1 акции 5 3 25000
Прибыль от инвестиции акций в следующем году 1,1 0,9
Рекомендации Х1 Х2
Экономико-математическая модель задачи имеет вид:
Ограничения по необходимому максимуму кол-ва акций:
Для получения решения графическим методом строим прямые:
X1 5000 200
X2 0 8000
Решением является замкнутый многоугольник ОАВС любая точка этого многоугольника внутри и на границе является решением или рекомендацией допустимой задачи. Чтобы из бесконечности множества возможных рекомендаций найти ту или те которые достаточны для функции цели max значение. Надо найти расположение всех точек в которых функция цели принимает одно какое-нибудь определенное значение, т.е. строим линию равных значений (линия уровня) , все линии уровня параллельны между собой поэтому проведем еще одну параллельную через точку (0,0). Х1 Х2
0 6667
5455 0
Построим векто-градиент перпендикулярный линии уровня , и двигаться в направлении вектора-градиента до крайней точки через которую он «покидает» многоугольник системы ограничений.
Точка С (3500;2500)
Если решать задачу на min то надо двигаться по линии вектора-градиента в обратном направлении линии уровня и иксы поменяют друг с другом свои значения. Ответ: максимальная прибыль в следующем году: 6100$ При покупке акций Дикси-Е (Х1)=3500 (шт.), Дикси-В (Х2)=2500 (шт.). Задача 2. 2.6. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции. Вид сырья Наименование расхода сырья на ед. продукции Запасы сырья
А Б В
I II III
18 6 5
15 4 3
12 8 3
360 192 180
Цена изделия 9 10 16
Требуется: Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи; - определить, как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 4,5 кг, а II – уменьшить на 9 кг; - оценить целесообразность включения в план изделия «Г» ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья. Решение 1) Пусть необходимо изготовить х1 единиц продукции A, х2 единиц продукции Б и х3 единиц продукции В. Прямая оптимизационная задача на максимум выручки от реализации готовой продукции имеет вид:
Оптимальный план выпуска продукции будем искать с помощью настройки «Поиск решения» MS Excel. Сначала занесем исходные данные: A B C D E F
Теперь будем искать оптимальное решение с помощью настройки «Поиск решения»:
В результате будет получена следующая таблица: 2 A B C D E F
3
X1 X2 X3
4 Значения переменных 0 8 20 ЦФ
5 Коэф. целевой ф-ии 9 10 16 400
6
7 Ограничения
Левая часть Правая часть
8 I 18 15 12 360 360
9 II 6 4 8 192 192
10 III 5 3 3 84 180
Таким образом, чтобы получить максимум выручки в размере 400 ден.ед. необходимо изготовить 0 единиц продукции А, 8 единицы продукции Б и 20 единиц продукции В. 2) Строим двойственную задачу в виде:
Запишем двойственную задачу:
Найдем решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности. Проверим выполнение системы неравенств прямой задачи:
Так как третье неравенство выполняется как строгое, то у3 = 0 Так как х2 ? 0 и х3 ? 0, то получаем систему уравнений:
Решение системы: y1=2/9, y2=5/3, y3=0.
3) В прямой задаче Х1=0, так как при достаточно высоких затратах производство продукции I приносит небольшую прибыль. В двойственной задаче у3=0, так как III вид сырья является избыточным и не расходуется полностью на производство продукции. 4) а) Наиболее дефицитным является II вид сырья, так как его двойственная оценка (у2 = 5/3) является наибольшей. б) При увеличении запасов сырья I вида на 45 кг. и уменьшении запасов сырья II вида на 9 кг. изменение выручки составит: 2/9*45–5/3*9 = -5 ден.ед. И она будет равна: 400-5 = 395 ден.ед. Определим изменение плана выпуска аз системы уравнений:
То есть оптимальный план выпуска будет иметь вид: X1=0 X2=11 X3=20 max f(x) = 395 (ден.ед) в) оценим целесообразность включения в план изделия Г вида ценой 11ед., если нормы затрат сырья 9, 4 и 6 кг. Затраты на изготовление единицы изделия Г составят:
Так как затраты на производство изделия меньше, чем его стоимость (? = 8 < 11), то включение в план изделия Г целесообразно, так как оно принесет дополнительную прибыль. Ответ: =400 ден.ед, включение в план изделия Г целесообразно. Задача 4. Задача 4.6. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временн
