Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Всероссийский заочный финансово-экономический институт Кафедра экономико-математических методов и моделей КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Финансовая математика» Вариант № 6
Исполнитель: Специальность: Группа: № зачетной книжки: Руководитель: МОСКВА 2008 Задание 1 В табл. 1.1 представлены следующие данные Таблица 1.1 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Y(t) 85 81 78 72 69 70 64 61 56
Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации; Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: случайности остаточной компоненты по критерию пиков; независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32; нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. Построить точечный прогноз на 4 шага вперед. Отобразить на графиках фактические, расчетные и прогнозные данные. Решение Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к значениям Y(t). Линейная модель имеет вид:
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения по формулам:
Таблица 1.2
t y(t)
1 85 -4 16 14,3333 205,4444 -57,3333
2 81 -3 9 10,3333 106,7778 -31,0000
3 78 -2 4 7,3333 53,7778 -14,6667
4 72 -1 1 1,3333 1,7778 -1,3333
5 69 0 0 -1,6667 2,7778 0,0000
6 70 1 1 -0,6667 0,4444 -0,6667
7 64 2 4 -6,6667 44,4444 -13,3333
8 61 3 9 -9,6667 93,4444 -29,0000
9 56 4 16 -14,6667 215,1111 -58,6667
Сумма 45 636 0 60 0,0000 724,0000 -206,0000
Среднее 5 70,6667
Произведем расчет:
Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Для сопоставления фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t) составим таблицу (табл. 1.3). Таблица 1.3 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Зависимость между компонентами тренд – сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид: , где k – период упреждения; - расчетное значение экономического показателя для t-го периода; - коэффициенты модели; - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; - период сезонности. Уточнение коэффициентов модели производится с помощью формул: a(t) = ?1 * Y(t)/F(t-L) + (1-?1) * [a(t-1)+b(t-1)]; b(t) = ?3 * [a(t)-a(t-1)] + (1-?3) * b(t-1); F(t) = ?2 * Y(t)/a(t) + (1-?2) * F(t-L) Параметры сглаживания равны: ?1 = 0,3 ?2 = 0,6 ?3 = 0,3 Построение модели Хольта-Уинтерса.
t Y(t) a(t) b(t) F(t) Yp(t)
-3
0,99184
-2
1,02081
-1
1,00456
0
87,817 -3,43 0,99101
1 85 84,78076 -3,31187 0,99829 84,387
2 81 80,83280 -3,50270 1,02081 80,957
3 78 77,42478 -3,47429 1,00456 77,527
4 72 73,56131 -3,59105 0,99101 74,097
5 69 69,71471 -3,66771 0,99829 70,667
6 70 66,80475 -3,44039 1,02081 67,237
7 64 63,46785 -3,40934 1,00456 63,807
8 61 60,50698 -3,27480 0,99101 60,377
9 56 56,89137 -3,37704 0,99829 56,947
10
54,628
11
50,366
12
46,3398
13
43,3089
Сумма 45 636
Среднее 5 70,66667
Проверка качества модели. Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 1.4. Таблица 1.4 Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
t E(t) Точка поворота E(t)2 [E(t)-E(t-1)] [E(t)-E(t-1)]2 E(t)*E(t-1)
Проверка точности модели. Рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации Таблица 1.5
t Y(t) Yp(t) Е(t) Абс.Ошибка Относ.Ошибка,%
1 85 84,387 0,613 0,613 0,7212
2 81 80,957 0,043 0,043 0,0531
3 78 77,527 0,473 0,473 0,6064
4 72 74,097 -2,097 2,097 2,9125
5 69 70,667 -1,667 1,667 2,4159
6 70 67,237 2,763 2,763 3,9471
7 64 63,807 0,193 0,193 0,3016
8 61 60,377 0,623 0,623 1,0213
9 56 56,947 -0,947 0,947 1,6911
Сумма 45 636
-0,003 9,419 13,6702
Среднее 5 70,6667
1,0466 1,51891
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%* abs{E(t)}/ Y(t) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей составляет 13,6702, что дает среднюю величину 13,6702/9 = 1,51891%, что не превышает 5%. Следовательно, условие точности выполнено. Проверка условия адекватности. Для того чтобы модель была адекватна исследуемому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения. Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты (гр. 3 табл. 1.4) проводим на основе критерия поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда Е сравниваем с двумя соседними. Если он больше (либо меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной и в гр. 4 табл. 1.4 для этой строки ставится 1, в противном случае в гр. 4 ставится 0. В первой и в последней строке гр. 4 табл. 1.4 ставится прочерк или иной знак, так как у этого уровня нет двух соседних уровней. Общее число поворотных точек в нашем примере равно р=6. Рассчитаем значение :
Функция int означает, что от полученного значения берется только целая часть. При N = 9.
Так как количество поворотных точек р=6 больше q=2, то условие случайности уровней ряда остатков выполнено. Проверка независимости уровней ряда остатков (отсутствия автокорреляции). Проверку проводим по d-критерию критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,10 и d2=1,37):
Так как полученное значение больше 2, то величину d уточним:
d2<d<2, таким образом в нашем примере 1,37<1,838<2, следовательно уровни ряда остатков являются независимыми. Это значение не попадает в критический интервал, ряд остатков не коррелирован. Предпосылка выполнена. Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS-критерию. Рассчитаем значение RS: , где - максимальное значение уровней ряда остатков ; - минимальное значение уровней ряда остатков ; S – среднее квадратическое отклонение. ;
Так как 3,00<3,3603<4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению. Таким образом, все условия адекватности и точности выполнены, и можно утверждать, что данная модель является качественной.
Расчет прогнозных значений экономического показателя. Составим прогноз на четыре шага вперед (т.е. с t=10 по t=13). Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты и определяется количеством исходных данных и равно 9. Рассчитав значения и (см. табл. 1.4) по формуле: , где k – период упреждения; - расчетное значение экономического показателя для t-го периода; - коэффициенты модели; - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; - период сезонности. Определим прогнозные значения экономического показателя Yp(t) для: t = 10, 11, 12 и 13.
На нижеприведенном рисунке проводится сопоставление фактических и расчетных данных. Здесь же показаны прогнозные значения на 4 шага вп
