ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ



Контрольная работа
По дисциплине «Финансовая Математика»







Уфа
2006г.

ЗАДАЧА 1 ЗАДАЧА 1 (ИЗ КОНТГОЛЬНОЙ РАБОТЫ)
Приведены поквартальные данные о кредитах коммерческого банка, выданных на жилищное строительство (в у. е.) за 4 года (всего 16 кварталов, первый столбец соответствует первому кварталу первого года).
Требуется
Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ?1=0.3, ?2=0.6, ?3=0.3.
Оценить точность построенной модели, вычислив среднюю относительную ошибку аппроксимации.
Проверить адекватность построенной модели на основе исследования:
- случайности остаточной компоненты по критерию числа точек поворота;
- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10, d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;
- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями 3 и 4,21.
Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
РЕШЕНИЕ:
Для построения модели Хольта-Уинтерса проведем основные вычисления в таблице 1, а вспомогательные вычисления в таблице 2.
Сначала заполним вспомогательную таблицу.
В графу Y(t) вспомогательной таблицы внесем первые 8 значений исходных данных
Во вспомогательной таблице 2 для t и Y(t) вычислим средние значения.
Проведем вычисления t-tср, Y-Yср, (t-tср)*(Y(t)-Yср), (t-tср)2 и внесем в соответствующие графы таблицы 2
Затем, для вычисленных значений сосчитаем их суммы и перейдем к вычислениям в основной таблице 1.
Таблица 2 (вспомогательная)
В столбец Y(t), строки 1-16 основной таблицы внесем исходные данные.
Значения а(0) и b(0) основной таблицы рассчитаем по формулам: EMBED Equation.3 .

Таблица 1(основная)
Во вспомогательной таблице вычислим значения Yr1(t). Для этого воспользуемся формулой Yr1(t) =a(0)+t*b(0)
Получаем линейную модель Yr1(t) = 37,607 + 0,809t
Для визуальной проверки полученных значений построим графики Y(t), Yr1(t).
Получим:
EMBED Excel.Chart.8 \s
Для исчисления F(-3) воспользуемся формулой EMBED Equation.3 ,
F(-2), F(-1), F(0) рассчитаем по аналогии.
В основной таблице 1 a(t), b(t), F(t), и Yr(t) рассчитаем по соответствующим формулам:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Мы построили мультипликативную модель Хольта-Уинтерса.
Теперь проверим нашу модель на точность, качество и адекватность. Для этого все необходимые расчеты проведем в таблице 3.
Графы Y(t) и Yr(t) заполним из таблицы 1.
Таблица 3 (проверка точности и адекватности)
Рассчитаем отклонения Е(t) = Y(t) - Yr(t) и квадрат отклонений E(t)2
Относительную погрешность рассчитаем как частное абсолютных значений отклонений Е(t) и фактических значений Y(t) выраженное в процентах.
Таким образом, средняя относительная ошибка аппроксимации это есть среднее арифметическое найденных относительных погрешностей.
Относительная ошибка аппроксимации равна 1,57 %, она не превышает 5 %, что позволяет сделать вывод о выполнении условия точности.
Проверим адекватность модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по критерию числа точек поворота
Для этого, каждый уровень ряда Е(t) сравнивается с двумя соседними. Если он больше (меньше) обоих соседних уровней, то точка считается поворотной.
В графе «Точки поворота» будем ставить 1, если точка поворотная и 0 в противном случае.
Для наглядности можно ряд Е(t) изобразить графически, экстремумы графика будут соответствовать точкам поворота:
EMBED Excel.Chart.8 \s
Вычисляем число точек поворота (в нашем примере их 10) и сравниваем с пороговым значением q.
EMBED Equation.3 = 6
Так как p > q, то условие случайности уровней выполнено.
независимости уровней ряда остатков
- по d-критерию
Вычислим величину d-критерия по формуле: EMBED Equation.3
Так как все необходимы значения мы вычислили в таблице 3, то подставив их в формулу, получим, что d-критерий равен 2,57. Так как он больше двух, то имеет место отрицательная автокорреляция и следует уточнить значение d, вычитая его из 4. Получим d' = 1,423.
Так как расчетное значение больше 1-ой границы критического интервала и больше 2, проверим независимость по первому коэффициенту автокорреляции.
- по первому коэффициенту автокорреляции
Вычислим величину r1 по формуле: EMBED Equation.3 = - 0,257
Так как ?r1? = 0,257 и он меньше критического уровня r1 = 0,32, теперь можно сделать вывод, что уровни ряда остатков независимы.
нормальности распределения остаточной компоненты
Вычислим величину RS-критерия по формуле: EMBED Equation.3 , где S – среднеквадратическое отклонение, рассчитываемое по формуле: EMBED Equation.3 =0,931
Тогда расчетный RS = 4,395.
Табличное значение границ для RS-критерия для N=16 и 5%-ого уровня значимости есть интервал от 3,00 до 4,21
Наше расчетное значение не входит в этот интервал, значит, уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению.
Для вычисления прогнозных значений Yr(t), t=17 рассчитаем по формуле:
Yr(17)=(a(16)+(t-16)*b(16))*F(t-4) = 46,71
Yr(18,19,20) рассчитаем аналогично. (см. таблица 3)
Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные значения:
EMBED Excel.Chart.8 \s ЗАДАЧА 2
Даны цены (максимальная, минимальная, закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:
- экспоненциальную скользящую среднюю,
- момент,
- скорость изменения цен,
- индекс относительной силы
- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
РЕШЕНИЕ:
Сформируем таблицу исходных данных:

С помощью Мастера Диаграмм построим биржевую диаграмму для набора из трех значений ( максимальной цены, минимальной цены и цены закрытия)
EMBED Excel.Chart.8 \s
СКОЛЬЗЯЩИЕ СРЕДНИЕ:
Затем рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю ЕМА по формуле: EMAi=k*Ci+(1-k)*EMAi-1. при i=6,…,10, n=5, k=2/(n+1)=1/3
Значение EMA5 принимается равным средней цене закрытия за 1-5 дни.
Результаты вычислений занесем в таблицу:
Построим графики цены закрытия и экспоненциальной средней (в одной системе координат).
EMBED Excel.Chart.8 \s
ОСЦИЛЛЯТОРЫ:
Для вычисления осцилляторов сформируем таблицу и проведем необходимые вычисления по формулам: MOMi=Ci – Ci-5, EMBED Equation.3 (i=6,7,8,9,10), Понижение и Повышение (i=2,3,…,10)
Вычислим при i=6,…,10 AU и AD, где:
AUi - суммы повышений за предшествующие 5 дней, ADi - суммы понижений за предшествующие 5 дней,), RSIi=100- EMBED Equation.3 .

Построим графики МОМ, ROC, RSI
EMBED Excel.Chart.8 \s
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ:
Для вычисления стохастических линий сформируем таблицу и произведем необходимые вычисления :
Н5 – Максимальная цена за 5 дней
L5 – Минимальная цена за 5 дней
%K=100(Ct - L5)/ (H5 - L5),
%R=100(H5 - Ct)/ (H5 - L5) или100?%K (вычисления проводятся при i=5,6,…,10),
%D (вычисления проводятся при i=7,8,9,10) равен отношению сумм цена закрытия – минимальная цена и максимальная - минимальная цена за три предшествующих дня.














ЗАДАЧА 3
Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные приведенные в таблице.

РЕШЕНИЕ:
3.1. Банк выдал ссуду, размером S руб. Дата выдачи ссуды - Тн, возврата - Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i % годовых. Найти:
точные проценты с точным числом дней ссуды;
обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;
обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Формула расчета процентов по простой процентной ставки S = p(1 + ni), где S – сумма к получению, p – вложенная сумма, i – процентная ставка, n – срок вклада в годах.
Таким образом:
S = 2000 000*( 1 + 0,25*57/365) = 2078082,19 руб.
Следовательно проценты будут равны 2078082,19 – 2000 000= 78082,19 руб.
S = 2000 000*( 1 + 0,25*57/360) = 2079166,67 руб.
Следовательно проценты будут равны 2079166,67 – 2000 000= 79166,
67 руб.
S = 2000000*( 1 + 0,25*59/360) = 2081944,44 руб.
Следовательно проценты будут равны 2081944,44 – 2000000= 81944,44 руб.

3.2. Через Тдн дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?
Первоначальную сумму р можно найти из формулы простых процентов:
EMBED Equation.3
, где n - срок вклада в годах
Таким образом р = 2000 000/ ( 1 + 180/360 *0,25) = 1777777,78 руб.
Сумма дисконта считается как разница между уплаченной в конце и в начале суммой:
D = S – P
D = 2000000– 1777777,78 = 222222,22 руб

3.3 Через Тдн дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.
Находим сумму дисконта D = Sni, где n - срок вклада в годах, который можно найти как:
EMBED Equation.3

D = 2000 000* 180/360 * 0,25 = 250 000 руб.
Таким образом, полученная предприятием сумма по векселю составит :
Р = S – D = 2000 000 – 250 000 = 1750 000 руб.
3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на Тлет лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.
Формула расчета по сложной процентной ставке S = p(1 + i)n, где S – сумма к получению, p – вложенная сумма, i – процентная ставка, n – срок вклада в годах.
Таким образом, сумма к получению составит:
S = 2000 000 * (1 + 0,25)4 = 4882812,5 руб
Сумма процентов по вкладу составит 4882812,5 – 2000 000 = 2882812,5 руб.
3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на Тлет. Проценты сложные, ставка - i% годовых. Проценты начисляются m раз в году. Вычислить наращенную сумму.
Воспользуемся формулой для исчисления номинальной процентной ставки:
EMBED Equation.3
где S – сумма к получению, p – вложенная сумма, i(m) – процентная ставка выплачиваемая m раз в год, n – срок вклада в годах.
Таким образом, сумма к получению составит:
S = 2000 000 (1 + 0,25/2)2*4 = 5131569,03 руб.
Сумма процентов по вкладу составит 5131569,03 - 2000 000 = 3131569,03руб.
3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.
Для вычисления воспользуемся формулой:
EMBED Equation.3
Таким образом, эффективная процентная ставка составит ( 1 + 0,25/2)2 – 1 = 0,2656 или 26,56 %
3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.
Преобразуем формулу для исчисления эффективной ставки и получим:
EMBED Equation.3

Таким образом, номинальная ставка будет равна 2[(1+0,25)0,5 – 1] = 0,2361 или 23,61 %

3.8. Через Тлет„ предприятию будет выплачена сумма S руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.
Воспользуемся формулой S = p(1 + i)n для расчета по сложной процентной ставке, и преобразовав её получим формулу:
EMBED Equation.3
Таким образом, современная стоимость вклада будет равна:
р = 2000 000/ (1 + 0,25)4 = 819200 руб.
3.9. Через Тлет по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.
Воспользуемся формулами: P = S(1 – d)n и D = S – P, где S – сумма к получению, p – вложенная сумма, d – процентная ставка
Получим:
Первоначальная сумма составит 2000 000( 1- 0,25)4 = 632812,5 руб.
Дисконт равен 2000 000 – 632812,5 = 1367187,5 руб.
3.10. В течение Тлет лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i %. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Имеем поток платежей постнумерандо, где R = 2000 000 руб.
Конечная сумма определяется по формуле: S = Rsn?iэф, где sn?iэф = ((1 + iэф)n-1) / iэф
Эффективную процентную ставку возьмём из задачи 3.6. Она равна 26,56 %
Таким образом, получим:
S = 2000 000 * ((1+ 0,2656)4-1)/ 0,2656 = руб.