Контрольная работа №2
Вариант №9
Задание №1
Найти неопределенные интегралы:
1) EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3
Решение:
Для нахождения интеграла EMBED Equation.3 применяем метод замены переменной.
Получим EMBED Equation.3 тогда EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 найденные значения подставляем в интеграл
EMBED Equation.3 возвращаемся к х EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3 .
Задание №2
Найти неопределенные интегралы:
EMBED Equation.3
Решение:
Для нахождения интеграла EMBED Equation.3 воспользуемся методом интегрирования по частям.
Получим u=(2-x) dv= EMBED Equation.3 находим du=-dx
EMBED Equation.3 .
По формуле интегрирования по частям EMBED Equation.3 получаем EMBED Equation.3 Ответ: искомый интеграл равен EMBED Equation.3 .
Задание №3
Вычислить определенные интегралы:
EMBED Equation.3
Решение:
Для вычисления интеграла y= EMBED Equation.3 применим замену переменной.
Примем EMBED Equation.3 и dx=2t*dt. Если х=4, то t=2, если х=9, то t=3.
После замены переменной получаем EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Задание №4
Вычислить определенные интегралы:
EMBED Equation.3
Решение:
EMBED Equation.3 представим EMBED Equation.3 тогда
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Ответ: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Задание №5
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями:
EMBED Equation.3 .
Решение:
Для схематического построения фигуры ограниченной указанными линиями проведем анализ графиков EMBED Equation.3 .
Кривая EMBED Equation.3 является параболой с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат.
EMBED Equation.3 - так же парабола координату х вершины кривой EMBED Equation.3 найдем из уравнения EMBED Equation.3 , 4-2х=0, EMBED Equation.3 . Ордината вершины определяется из EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 координаты вершины А(2;4).
Точки пересечения кривой EMBED Equation.3 с осью х определяется из о=4х- EMBED Equation.3 .
Две точки х=0 и х=4 то есть О(0;0) и B(4;0).
Общие точки пересечения кривых определяется из совместного решения уравнений EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Таким образом, пересечение линий EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 происходит в начале координат и в вершине параболы EMBED Equation.3 в точке А(2;4).
Из построенного графика определяем, что объем тела образуется вращением плоской фигуры вокруг оси Oy ограниченной с низу осью х справа кривой EMBED Equation.3 от точек А до В , слева линией EMBED Equation.3 от точки А до точки О то есть плоской фигуры ОАВ.
SHAPE \* MERGEFORMAT

Задание №6
Пользуясь разложением подынтегральной функции в ряд Маклорена, вычислить интеграл EMBED Equation.3 с точностью до 0,001. Вычислить этот же интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Сравнить полученные результаты.
Решение:
Ряд Маклорена представлен формулой:
EMBED Equation.3
В данном случае f(x)=ln(1+x).
При x=0 функция f(0)=ln(1+0), f(0)=ln1, а ln1=0 получаем f(0)=0.
Находим производные от функции f(x)=ln(1+x) и определяем их значения при x=0,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 при х=0,
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3
Для ясности выпишем значения производных при х=0 значение f(0)^
EMBED Equation.3
Эти значения подставим в формулу ряда Маклорена:
EMBED Equation.3
Окончательно получаем разложение функции ln(1+x) так как остальные члены разложения от n и далее n+1 отброшены:
EMBED Equation.3
Вычисляем интеграл:
EMBED Equation.3
Вычислим каждый интеграл по отдельности:
EMBED Equation.3
Заменим результаты вычисления вряд:
EMBED Equation.3
По условию задачи погрешность задана EMBED Equation.3 .
Для достижения заданной погрешности последние члены суммы ряда можно отбросить и первый отброшенный член ряда с которого отбрасываются все последующие остальные, будет пятый (ибо погрешность не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена).
0,00052083<0.001
Окончательно
EMBED Equation.3 ,
а) EMBED Equation.3 .
Вычисляем этот же интеграл другим способом без разложения вряд по формуле Ньютона-Лейбница.
Дано EMBED Equation.3 .
Решение:
Применяем интегрирования по частям.
Пусть EMBED Equation.3 тогда EMBED Equation.3 v=x.
Применим формулу по частям получаем
EMBED Equation.3 .
Для нахождения интеграла EMBED Equation.3 делаем подстановку 1+x=t тогда dx=dt, x=t-1 .
Находим новые пределы интегрирования: если х=0, то t=1; если х=0,5, то t=1.5
EMBED Equation.3 .
Вычислим EMBED Equation.3 определяем значение интеграла EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
б) EMBED Equation.3 с заданной погрешностью сравнивая результаты вычислений интегралов а и б получим 0,1082-0,1078=0,0004.
Ответ: При вычислении интеграла EMBED Equation.3 методом приближенных вычислений получаем результат с данной точностью: y=0,1078.
При вычислении интеграла по формуле Ньютона-Лейбница получаем результат y=0,1082.
Расхождения составляет EMBED Equation.3 .
Точный без погрешностей результат EMBED Equation.3 .