Министерство образования и науки РФ
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Кафедра бух. учета, аудита и статистики


Контрольная работа
по дисциплине:
«Статистика»
Вариант № 18







Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc198550206" Задание 1. Исследование структуры совокупности PAGEREF _Toc198550206 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc198550207" Задание 2. Выявление наличия корреляционной связи между признаками, установление направления связи и измерение ее тесноты. PAGEREF _Toc198550207 \h 10
HYPERLINK \l "_Toc198550208" Задание 3. Применение выборочного метода в финансово-экономических задачах PAGEREF _Toc198550208 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc198550209" Задание 4. Использование рядов динамики в финансово-экономических задачах PAGEREF _Toc198550209 \h 19
HYPERLINK \l "_Toc198550210" Литература PAGEREF _Toc198550210 \h 22

Имеются следующие выборочные данные о деятельности коммерческих банков (выборка 5%-ная механическая), млн. руб.:
Таблица 1
Исходные данные
Задание 1. Исследование структуры совокупности
Постройте статистический ряд распределения коммерческих банков по признаку – прибыль, образовав, пять групп с равными интервалами.
Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.
Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.
Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения.
Сделайте выводы по результатам выполнения задания.
Решение:
Постройте статистический ряд распределения коммерческих банков по признаку – прибыль, образовав, пять групп с равными интервалами.
По колонке «Прибыль» построим интервальный вариационный ряд. Для построения интервального ряда распределения определим величину интервала h по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где xmax и xmin – максимальное и минимальное значение признака, k – число групп.
При заданных EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 величина интервала равна:
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
При EMBED Equation.3 определим границы интервалов ряда распределения (табл. 2).
Таблица 2
Границы интервалов ряда распределения
Для определения числа коммерческих банков в каждой группе строим разработочную таблицу 3.
Таблица 3
Разработочная таблица для построения интервального ряда распределения и
аналитической группировки
На основе групповых итоговых строк «Всего» формируем итоговую таблицу 4, представляющую интервальный ряд распределения коммерческих банков по прибыли.
Таблица 4
Распределение коммерческих банков по прибыли
Вывод: Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности коммерческих банков показывает, что распределение банков по прибыли не является равномерным: преобладают банки с уровнем прибыли от 170 до 230 млн. руб. (12 банков, доля которых составляет 40%); самая малочисленная группа коммерческих банков имеет прибыль от 290 до 350 млн. руб., которая включает 2 банка, что составляет 6,6% от общего числа коммерческих банков.
Постройте графики полученного ряда распределения. Графически определите значения моды и медианы.
Для определения моды графическим методом строим по данным таблицы 4 (графы 2 и 3) гистограмму распределения коммерческих банков по изучаемому признаку (рис. 1).
Мода
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 1. Гистограмма распределения организаций по уровню цен
Для определения медианы графическим методом строим по данным таблицы 4 (графы 2 и 5) кумуляту распределения банков по изучаемому признаку (рис. 2).
Медиана
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 2. Определение медианы графическим методом
Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, моду и медиану.
Мода EMBED Equation.3 – значение признака, повторяющееся в выборке с наибольшей частотой.
Определим модальный интервал, используя табл. 4 (графы 2 и 3). Наибольшее число коммерческих банков – 12, имеют прибыль от 170 до 230 млн. руб. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.
Определим значение моды по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 – нижняя граница модального интервала ( EMBED Equation.3 );
EMBED Equation.3 – величина модального интервала ( EMBED Equation.3 );
EMBED Equation.3 – частота модального интервала ( EMBED Equation.3 );
EMBED Equation.3 – частота интервала, предшествующая модальному интервалу ( EMBED Equation.3 );
EMBED Equation.3 – частота интервала, последующая за модальным интервалом ( EMBED Equation.3 ).
Подставляя данные в формулу, найдем:
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
Вывод: Большинство коммерческих банков имеют прибыль, равную 202,727 млн. руб.
Медиана EMBED Equation.3 – значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда выборочных данных.
Определяем медианный интервал, используя табл. 4 (графы 2 и 5). Сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений EMBED Equation.3, соответствует интервалу 170 – 230 млн. руб. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 – нижняя граница медианного интервала ( EMBED Equation.3 )
EMBED Equation.3 – величина медианного интервала ( EMBED Equation.3 ),
EMBED Equation.3 – половина суммы частот ряда EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу ( EMBED Equation.3 );
EMBED Equation.3 – частота медианного интервала ( EMBED Equation.3 ).
Следовательно, EMBED Equation.3 (млн. руб.).
Вывод: Первая половина исследуемых коммерческих банков имеют прибыль до 200 млн. руб., а другая половина свыше 200 млн. руб.
Для расчета характеристик ряда распределения средней арифметической, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации на основе табл. 4 строим вспомогательную таблицу 5 ( EMBED Equation.3 - середина интервалов).
Таблица 5
Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения
Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
Определим дисперсию EMBED Equation.3 выборочной совокупности:
EMBED Equation.3
Рассчитаем среднее квадратическое отклонение EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
Найдем размах вариации (R), устанавливающий предельное значение амплитуды колебаний признака:
EMBED Equation.3 .
Рассчитаем коэффициент вариации:
EMBED Equation.3
Вывод: Анализ полученных значений показателей EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 говорит о том, что средняя величина прибыли банков составляет 198 млн. руб., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 62,9 млн. руб. (или 31,77%), наиболее характерный уровень прибыли находится в пределах от 135,1 до 260,9 млн. руб. (диапазон EMBED Equation.3 ).
Значение EMBED Equation.3 не превышает 33%, следовательно, вариация прибыли в исследуемой совокупности коммерческих банков незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 незначительно (EMBED Equation.3 млн. руб., EMBED Equation.3 млн. руб., EMBED Equation.3 млн. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности коммерческих банков. Таким образом, найденное среднее значение уровня прибыли (198 млн. руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности банков.
Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните ее с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения.
Для расчета средней арифметической по исходным данным применяется формула средней арифметической простой:
EMBED Equation.3 ,
где xi – значение признака,
n – число коммерческих банков.
Следовательно,
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
Вывод: Средняя арифметическая по исходным данным и для интервального ряда распределения равна 198 млн. руб.
Задание 2. Выявление наличия корреляционной связи между признаками, установление направления связи и измерение ее тесноты.
По исходным данным (табл. 1):
Установите наличие и характер связи между признаками прибыль и собственный капитал, образовав заданное одинаковое число групп по обоим признакам с равными интервалами, методами:
аналитической группировки;
корреляционной таблицы.
Измерьте тесноту корреляционной связи между признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.
Сделайте выводы по результатам выполнения задания.
Решение:
По условию задания 2 факторным является признак Прибыль, результативным – признак Собственный капитал.
Установите наличие и характер связи между признаками прибыль и собственный капитал, образовав заданное одинаковое число групп по обоим признакам с равными интервалами.
Применение метода аналитической группировки.
Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение EMBED Equation.3 результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения EMBED Equation.3 систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.
Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х – Прибыль и результативным признаком Y – Собственный капитал. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 6):
Таблица 6
Макет аналитической таблицы
Групповые средние значения EMBED Equation.3 получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7:
Таблица 7
Зависимость собственного капитала от прибыли
Вывод: Анализ данных таблицы 7 показывает, что по мере увеличения EMBED Equation.3 увеличиваются значения EMBED Equation.3 , следовательно, можно говорить, что чем больше прибыль, тем больше собственный капитал, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.
Применение метода корреляционных таблиц.
Корреляционная таблица строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j-ой строки и k-ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j-ый интервал по признаку X и в k-ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками – прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная – по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.
Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Для факторного признака Х – Прибыль эти величины известны из табл. 3 Определяем величину интервала для результативного признака Y – Собственный капитал при EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (млн. руб.), EMBED Equation.3 (млн. руб.):
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
При EMBED Equation.3 определим границы интервалов ряда распределения результативного признака Y (табл. 8).

Таблица 8
Границы интервалов ряда распределения
Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее банков, получаем интервальный ряд распределения результативного признака (табл. 9).
Таблица 9
Интервальный ряд распределения банков по собственному капиталу
Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (табл. 10).
Таблица 10
Корреляционная таблица зависимости собственного капитала от прибыли
Вывод: Анализ данных табл. 10 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между прибылью и собственным капиталом.
Измерьте тесноту корреляционной связи между признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.
Коэффициент детерминации EMBED Equation.3 характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии EMBED Equation.3 в общей дисперсии EMBED Equation.3 результативного признака:
EMBED Equation.3,
где – общая дисперсия признака Y,
– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.
Общая дисперсия EMBED Equation.3 характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 – индивидуальные значения результативного признака;
– общая средняя значений результативного признака Y;
n – число единиц совокупности.
Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 – групповые средние;
– общая средняя признака Y;
EMBED Equation.3 – число единиц в j-ой группе;
k – число выделенных групп.
Для расчета показателей EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 необходимо знать величину общей средней EMBED Equation.3 , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:
EMBED Equation.3 .
Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
Для расчета общей дисперсии EMBED Equation.3 применяется вспомогательная таблица 11.
Таблица 11
Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии
Рассчитаем общую дисперсию:
EMBED Equation.3 .
Для расчета межгрупповой дисперсии EMBED Equation.3 строится вспомогательная таблица 12. При этом используются групповые средние значения EMBED Equation.3 из табл. 7 (графа 5).

Таблица 12
Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии
Рассчитаем межгрупповую дисперсию:
EMBED Equation.3 .
Определим коэффициент детерминации:
EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 .
Эмпирическое корреляционное отношение EMBED Equation.3 оценивает тесноту связи между факторным (группировочным) и результативным признаками и вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 .
Рассчитаем показатель EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 .
Вывод: Коэффициент детерминации показывает, что на 73,5 % вариация собственного капитала обусловлена различиями в прибыли и на 26,5 % - влиянием прочих факторов.
Поскольку эмпирическое корреляционное отношение равно 0,735, (0,7 < 0,735 <0,9), следовательно, по шкале Чэддока связь между прибылью и собственным капиталом является тесной.
Задание 3. Применение выборочного метода в финансово-экономических задачах
По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,683 определите:
Ошибку выборки средней прибыли и границы, в которых будет находиться средний размер прибыли в генеральной совокупности.
Ошибку выборки доли банков с прибылью 230 и более млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Решение:
С вероятностью 0,683 определить ошибку выборки средней прибыли и границы, в которых будет находиться средний размер прибыли в генеральной совокупности.
Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину EMBED Equation.3 .
Принято вычислять два вида ошибок выборки – среднюю EMBED Equation.3 и предельную EMBED Equation.3 .
Для расчета средней ошибки выборки EMBED Equation.3 применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.
Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка EMBED Equation.3 для выборочной средней EMBED Equation.3 определяется по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 – общая дисперсия изучаемого признака;
N – число единиц в генеральной совокупности;
n – число единиц в выборочной совокупности.
Предельная ошибка выборки для средней EMBED Equation.3 определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 – выборочная средняя,
EMBED Equation.3 – генеральная средняя.
Предельная ошибка выборки EMBED Equation.3 кратна средней ошибке EMBED Equation.3 с коэффициентом кратности t (коэффициентом доверия):
EMBED Equation.3 .
Коэффициент кратности t зависит от значения доверительной вероятности p, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал EMBED Equation.3 , называемый доверительным интервалом.
Наиболее часто используемые доверительные вероятности p и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 15):
Таблица 13
Значения функции Лапласа
По условию выборочная совокупность насчитывает 30 банков, выборка 5%-ная механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 600 банков. Выборочная средняя EMBED Equation.3 , дисперсия определены в задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 14.
Таблица 14
Вспомогательная таблица для определения средней ошибки выборки, предельной
ошибки выборки, доверительного интервала
Рассчитаем среднюю ошибку выборки:
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
Рассчитаем предельную ошибку выборки для средней:
EMBED Equation.3 (млн. руб.).
Определим доверительный интервал для генеральной средней:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Вывод. На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности коммерческих банков средняя величина прибыли находится в пределах от 186,807 до 209,193 млн. руб.
С вероятностью 0,683 определить ошибку выборки доли банков с прибылью 230 и более млн. руб. и границы, в которых будет находиться генеральная доля.
Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой:
EMBED Equation.3 ,
где m – число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
n – общее число единиц в выборочной совокупности.
Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки EMBED Equation.3 доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле:
EMBED Equation.3 ,
где EMBED Equation.3 – средняя ошибка выборки для доли;
t – нормированное отклонение ( EMBED Equation.3 , т.к. EMBED Equation.3 );
EMBED Equation.3 – доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
EMBED Equation.3 – доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,
N – число единиц в генеральной совокупности,
n – число единиц в выборочной совокупности.
Предельная ошибка выборки EMBED Equation.3 определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих исследуемым признаком:
EMBED Equation.3 .
По условию задания 3 исследуемым свойством банков является равенство или превышение прибыли величины 230 млн. руб.
Число банков с данным свойством определяется из табл. 3 (графа 3):
EMBED Equation.3 .
Рассчитаем выборочную долю:
EMBED Equation.3 .
Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли:
EMBED Equation.3 .
Определим доверительный интервал генеральной доли:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 .
Вывод: С вероятностью 0,683 можно утверждать, что в генеральной совокупности коммерческих банков доля банков с прибылью 230 млн. руб. и более будет находиться в пределах от 21,8% до 38,2%.
Задание 4. Использование рядов динамики в финансово-экономических задачах
Имеются следующие данные о динамике задолженности организаций по кредитам банков (табл. 15):
Таблица15
Данные о задолженности организаций по кредитам банков
Определите:
Среднегодовую задолженность организаций по кредиту.
Абсолютные и относительные изменения задолженности (цепные и базисные абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста).
Рассчитанные показатели представить в таблице.
Среднегодовые темпы роста и прироста задолженности.
Осуществить прогноз задолженности организаций по кредитам банков при условии, что среднегодовой темп сохранится на прежнем уровне еще в течение двух лет.
Постройте график динамики задолженности
Сделайте выводы.
Решение:
1. Среднегодовая задолженность организаций по кредиту, млрд. руб.:
EMBED Equation.3 .
2. Абсолютные и относительные изменения задолженности:
Абсолютное изменение характеризует увеличение или уменьшение уровня ряда за определенный промежуток времени. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста.
Абсолютный прирост (цепной): EMBED Equation.3 , абсолютный прирост (базисный): EMBED Equation.3 ,
где yi – уровень сравниваемого периода;
yi-1 – уровень предшествующего периода;
y0 – уровень базисного периода.
Для характеристики интенсивности, т.е. относительного изменения уровня динамического ряда за какой-либо период времени исчисляют темпы роста (снижения).
Темп роста (цепной): EMBED Equation.3 , темп роста (базисный): EMBED Equation.3 .
Относительную оценку скорости измерения уровня ряда в единицу времени дают показатели темпа прироста (сокращения).
Темп прироста (сокращения) показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень больше или меньше уровня, принятого за базу сравнения.
Темп прироста (цепной): EMBED Equation.3 , темп прироста (базисный): EMBED Equation.3 .
Рассчитанные показатели представим в таблице 16.
Таблица16
Динамика задолженности организаций по кредитам банков
3. Среднегодовые темпы роста и прироста задолженности:
EMBED Equation.3 или 144,6%
EMBED Equation.3 .
4. Прогноз задолженности организаций по кредитам банков при условии, что среднегодовой темп сохранится на прежнем уровне еще в течение двух лет.
Прогнозирование осуществим методом экстраполяции. Составим уравнение прямой, представляющее собой трендовую модель: EMBED Equation.3 .
Расчетные значения представим в виде таблице 17.

Таблица17
Расчетная таблица
Следовательно EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Таким образом, уравнение трендовой модели, будет иметь вид: EMBED Equation.3 .
На основе уравнения EMBED Equation.3 при t =6 и t = 7 можно определить ожидаемую задолженность в течение следующих двух лет, млрд. руб.:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 .
5. График динамики задолженности (рис. 3).
EMBED Excel.Chart.8 \s
Рис. 3. График динамики задолженности
Вывод: Исходя из полученнного графика можно утверждать что задолженностьорганизаций по кредитам банков имеет положительную тенденцию.
Литература
Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.
Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2004.
Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – М.: ИФРА-М, 2004.
Общая теория статистики: Статистическая методология в изучении коммерческой деятельности: Учебник / под ред. О.Э. Башиной, А.А. Спирина. – М.: Финансы и статистика, 2005.
Практикум по статистике: Учеб. Пособие для вузов / под ред. В.М. Симчеры; ВЗФЭИ. – М.: Финстатинформ, 1999.
Практикум по теории статистики: Учеб. Пособие / под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2004.
Сироткина Т.С., Каманина А.М. Основы теории статистики: Учеб. Пособие для вузов / ВЗФЭИ. Под ред. проф. В.М. Симчеры. – М.: АО «Финстатинформ», 1996.
Статистика: Учебник / под ред. В.С. Мхитаряна. – М.: Экономистъ, 2005.