Интегральные преобразования.
Операционное исчисление и некоторые его приложения.
Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :
EMBED Equation.3
Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).
Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0?0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t
Рассмотрим функцию f(t)?e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).
EMBED Equation.3 (1)
Применим к этому соотношению формулу Эйлера :
EMBED Equation.3
Проинтегрировав это равенство получим :
EMBED Equation.3 (2)
Оценим левую часть равенства (2) :
EMBED Equation.3
А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t
EMBED Equation.3
В случае если a>S0 имеем :
EMBED Equation.3
Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).
Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :
EMBED Equation.3 (3)
Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.
f(t) ? F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.
EMBED Equation.3 - это оператор Лапласа.
Смысл введения интегральных преобразований.
Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.
Теорема единственности: если две функции ?? t???и???t? имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.
Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.
Изображение функций ?0(t), sin (t), cos (t).
Определение: EMBED Equation.3 называется единичной функцией.
Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :
EMBED Equation.3
Изображение единичной функции EMBED Equation.3
Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :
EMBED Equation.3
интегрируя по частям получим :
EMBED Equation.3 т.е. EMBED Equation.3
Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию EMBED Equation.3 в области преобразований. Откуда : EMBED Equation.3
Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.
EMBED Equation.3 где а – константа.
Таким образом : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3
Свойства линейности изображения.
Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.
EMBED Equation.3
Если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3
Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(?+p) является изображением функции e-?t f(t) (4)
Доказательство :
Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)
EMBED Equation.3
Что и требовалось доказать.
Таблица основных изображений:
Изображение производных.
Теорема. Если EMBED Equation.3 , то справедливо выражение :
EMBED Equation.3 (1)
Доказательство :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (2)
EMBED Equation.3 (3)
Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :
EMBED Equation.3
Что и требовалось доказать.
Пример: Решить дифференциальное уравнение :
EMBED Equation.3 Если x(0)=0 и x’(0)=0
Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 - решение в области изображений.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Изображающее уравнение :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Теорема о интегрировании оригинала. Пусть EMBED Equation.3 находится в области оригиналов, EMBED Equation.3 , тогда EMBED Equation.3 также оригинал, а его изображение EMBED Equation.3 .
Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.
Теорема о интегрировании изображений : Пусть EMBED Equation.3 – функция оригинал, которая имеет изображение EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 также оригинал, а EMBED Equation.3 - является сходящимся интегралом, тогда EMBED Equation.3 .
Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ? в области изображений.
Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.
Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :
EMBED Equation.3 (1)
Свертка обозначается следующим образом :
EMBED Equation.3 (1’)
Равенства (1) и (1’) идентичны.
Свертка функции подчиняется переместительному закону.
Доказательство:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Теорема о умножении изображений. Пусть EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , тогда произведение изображений EMBED Equation.3 представляется сверткой оригиналов EMBED Equation.3 .
Доказательство :
Пусть изображение свертки EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (1)
Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и ? . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и ? входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.
EMBED Equation.3
Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).
Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.
Теорема Эфроса. Пусть функция EMBED Equation.3 находится в области оригиналов, EMBED Equation.3 , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что EMBED Equation.3 , тогда EMBED Equation.3 .
В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда
EMBED Equation.3 (2)
Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.
Обратное преобразование Лапласа.
EMBED Equation.3 - Это прямое преобразование Лапласа.
Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :
EMBED Equation.3 , где s – некоторая константа.
Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.
Теоремы разложения.
Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.
Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде EMBED Equation.3 , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, EMBED Equation.3 , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : EMBED Equation.3 .
Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией EMBED Equation.3 . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни ?1, ?2, …, ? n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (3)
Например :
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.
Преобразование Лапласа имеет вид :
EMBED Equation.3 (1)
На f(t) наложены условия :
f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-? ; ? )
f(t)?? 0 , t ? (- ? ;0)
При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me S0t
Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :
EMBED Equation.3 (2)
Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.
Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа.
Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.
EMBED Equation.3 (4)
EMBED Equation.3 (5)
и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.
Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :
Должна быть определена на промежутке (-? ; ? ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.
Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.
Функция абсолютно интегрируема : EMBED Equation.3 , это условие выполняется, если |f(t)|<Me S0t
Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C
EMBED Equation.3
Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :
EMBED Equation.3 т.к. EMBED Equation.3
Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.
Если f(t) ? 0, t<0
EMBED Equation.3 (6)
EMBED Equation.3
Обозначим EMBED Equation.3
Очевидно, что EMBED Equation.3 (6’)
Функция (6) называется спектральной плотностью
EMBED Equation.3
В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :
Вычисление интеграла (5)
Использование преобразования Лапласа или Фурье.
Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.
Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной
EMBED Equation.3 (7)
|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, ? (u) – фазовый угол.
В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)
EMBED Equation.3 (8)
EMBED Equation.3 (9)
Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол ? (u).
Пример.
Найти спектральную плотность импульса : EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
откуда EMBED Equation.3 , далее
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.
Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.
Прямое преобразование Фурье необходимо :
Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.
Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:
Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.
Спектральной плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iu?) абсолютно интегрируемой функции.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3