Международный университет природы, общества и человека
«Дубна»
Кафедра высшей математики

Курсовая работа
по линейной алгебре и аналитической геометрии
студентки I курса 1033 группы
Ярмак Елены Владимировны
«Исследование кривых и поверхностей
второго порядка»


Руководители: старший преподаватель Маркова И. А.
ассистент Павлов А. С.

Дубна, 2002
Оглавление TOC \o "1-3" \h \z
HYPERLINK \l "_Toc28246427" Оглавление PAGEREF _Toc28246427 \h 2
HYPERLINK \l "_Toc28246428" Задание 1 PAGEREF _Toc28246428 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc28246429" Задание 2 PAGEREF _Toc28246429 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc28246430" Цель PAGEREF _Toc28246430 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc28246431" Задача PAGEREF _Toc28246431 \h 3
HYPERLINK \l "_Toc28246432" Исходные данные PAGEREF _Toc28246432 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc28246433" Анализ кривой второго порядка PAGEREF _Toc28246433 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc28246434" 1. Определение зависимости типа данной кривой (1) от параметра ? с помощью инвариантов PAGEREF _Toc28246434 \h 4
HYPERLINK \l "_Toc28246435" 2. Приведение уравнения кривой при ? = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей PAGEREF _Toc28246435 \h 6
HYPERLINK \l "_Toc28246436" 4. Вывод уравнения осей канонической системы координат PAGEREF _Toc28246436 \h 8
HYPERLINK \l "_Toc28246437" 5. Построение кривой в канонической и общей системах координат PAGEREF _Toc28246437 \h 9
HYPERLINK \l "_Toc28246439" Анализ поверхности второго порядка PAGEREF _Toc28246439 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc28246440" 1. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений PAGEREF _Toc28246440 \h 11
HYPERLINK \l "_Toc28246441" 2. Построение поверхности в канонической системе координат PAGEREF _Toc28246441 \h 16
HYPERLINK \l "_Toc28246442" Вывод PAGEREF _Toc28246442 \h 17
HYPERLINK \l "_Toc28246443" Список использованной литературы PAGEREF _Toc28246443 \h 18
Задание 1
1.Определить зависимость типа данной кривой от параметра ? с помощью инвариантов.
2. Привести уравнение кривой при ? = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
3. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка.
4. Написать уравнения осей канонической системы координат.
5. Построить кривую в канонической и общей системах координат.
Задание 2
Для данного уравнения поверхности второго порядка:
1. Исследовать форму поверхности методом сечений и построить полученные сечения.
2. Построить поверхность в канонической системе координат.
Цель
Целью курсовой работы является закрепление и углубление полученных студентом знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.
Задача
Определить зависимость типа данной кривой от параметра ? с помощью инвариантов. Привести уравнение кривой при ? = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка. Написать уравнения осей канонической системы координат. Построить кривую в канонической и общей системах координат.
Исследовать форму данной поверхности методом сечений и построить полученные сечения. Построить поверхность в канонической системе координат.
Исходные данные
Уравнение кривой второго порядка:
EMBED Equation.3 .
Уравнение поверхности второго порядка:
EMBED Equation.3 .
Их инварианты и классификация.
Анализ кривой второго порядка
Для данного уравнения кривой второго порядка:
EMBED Equation.3 (1)
1. Определение зависимости типа данной кривой (1) от параметра ? с помощью инвариантов
Для уравнения кривой второго порядка (1) имеем:
EMBED Equation.3
Вычислим инварианты кривой
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 .
В соответствии с классификацией кривых второго порядка:
Если I2 = 0, то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но I2 = -306-11? , следовательно, если EMBED Equation.3 , то уравнение (1) определяет кривую параболического типа. Но при этом EMBED Equation.3 , следовательно, если EMBED Equation.3 , то уравнение (1) определяет параболу.
Если I2 ? 0, то данная кривая – центральная. Следовательно, при EMBED Equation.3 данная кривая – центральная.
Если I2 > 0, то уравнение (1) определяет кривую эллиптического типа. Следовательно, если EMBED Equation.3 , то данная кривая есть кривая эллиптического типа. Но при этом I1I3 = (1-?)(4885?-306) < 0, и в соответствии с признаками кривых второго порядка (I2 > 0, I1I3 < 0) получим, что если EMBED Equation.3 , то уравнение (1) определяет эллипс.
Если I2 < 0, то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если EMBED Equation.3 , то уравнение (1) определяет кривую гиперболического типа.
Если I2 < 0 и I3 = 0, то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
EMBED Equation.3
Следовательно, если EMBED Equation.3 , то уравнение (1) определяет две пересекающиеся прямые.
Если I2 < 0 и I3 ? 0, то данная кривая – гипербола. Но I3 ? 0 при всех EMBED Equation.3 за исключением точки EMBED Equation.3 . Следовательно, если EMBED Equation.3 , то уравнение (1) определяет гиперболу. Используя полученные результаты, построим таблицу:
2. Приведение уравнения кривой при ? = 0 к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей
При ? = 0 уравнение (1) принимает следующий вид:
EMBED Equation.3 (2)
Согласно таблице, это гипербола. Приведем уравнение кривой (2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая – центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.
а) Совершим параллельный перенос начала координат в точку EMBED Equation.3 . При этом координаты x, y произвольной точки М плоскости в системе координат xOy и координаты x’, y’ в новой системе координат x’O’y’ связаны соотношениями:
EMBED Equation.3 .
Подставляя эти выражения для x и y в уравнение (1), получим:
EMBED Equation.3 .
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида
EMBED Equation.3
В этом уравнении коэффициенты при x’ и y’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
которая определяет координаты центра исходной кривой. Следовательно, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - решение данной системы и точка О’(2, 4) – центр данной кривой. Подставим найденные значения EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 в уравнение (2), получим
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (3)
б) Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол ?.
При повороте осей координат на угол ? координаты x’, y’ произвольной точки М плоскости в системе координат х’O’y’ и координаты Х, Y в новой системе координат XO’Y связаны соотношениями:
EMBED Equation.3 . (4)
Подставляя (4) в уравнение кривой (3), получим:
EMBED Equation.3 .
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим уравнение вида:
EMBED Equation.3 (5)
Выберем угол ? такой, что в уравнении (5) коэффициент при произведении X?Y равен нулю:
EMBED Equation.3
Это требование эквивалентно уравнению:
EMBED Equation.3 (6)
Решая уравнение (6), получим:
EMBED Equation.3
Tg?=k, k – угловой коэффициент оси О’Х. Он определяется формулой:
EMBED Equation.3
?1 – корень характеристического уравнения данной кривой, совпадающий со знаком I3. Характеристическое уравнение для данной кривой (1) имеет вид
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Следовательно, EMBED Equation.3
Тогда получим, что EMBED Equation.3 , через tg? найдем sin? и cos?:
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
Подставляя эти значения в уравнение (5), получим:
EMBED Equation.3
т. е. преобразование уравнения будет иметь вид
EMBED Equation.3
и, соответственно, уравнение
EMBED Equation.3
- это каноническое уравнение исходной гиперболы с центром в точке O’(2, 4) и полуосями EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 .
3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситета и асимптот (если они есть) данной кривой второго порядка
Найдем фокусы гиперболы. Коoрдинаты F1,2 равны (?с, 0), с определяется по формуле:
EMBED Equation.3 ,
Следовательно, точки EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 - фокусы данной гиперболы.
Найдем эксцентриситет гиперболы:
EMBED Equation.3 .
Найдем директрисы гиперболы:
D1: EMBED Equation.3 D2: EMBED Equation.3 .
Найдем асимптоты гиперболы:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
4. Вывод уравнения осей канонической системы координат
Напишем уравнения осей канонической системы координат. Из задания 2 известно, что точка О’(2, 4) – центр данной кривой. Оттуда же известен угловой коэффициент оси O’X EMBED Equation.3 . Напишем уравнения осей новой системы координат XO’Y в исходной системе координат xOy. Так как система XO’Y – каноническая для данной гиперболы, то ее центр находится в центре кривой – точке О’(2, 4), т е. оси О’X и O’Y проходят через точку О’. Уравнение прямой, проходящей через данную точку EMBED Equation.3 , с заданным угловым коэффициентом k имеет вид: EMBED Equation.3 Следовательно, ось О’X в системе координат xOy имеет уравнение EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3
Так как ось О’Y перпендикулярна оси О’X, то ее угловой коэффициент EMBED Equation.3 Следовательно, ось О’Y имеет уравнение EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 .



5. Построение кривой в канонической и общей системах координат
На основе полученной информации, нарисуем кривую в канонической и общей системах координат: EMBED Word.Picture.8







Рис. 1. Кривая в общей и канонической системах координат.
EMBED Word.Picture.8


Рис. 2. Кривая в канонической системе координат.


Анализ поверхности второго порядка
Для данного уравнения поверхности второго порядка:
EMBED Equation.3 (7)
1. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
1) Для того чтобы исследовать поверхность методом сечений, сначала приведем уравнение (7) к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота осей координат.
Совершим параллельный перенос начала координат в точку EMBED Equation.3 . При этом координаты x, y, z произвольной точки М плоскости в системе координат Oxyz и координаты x’, y’, z’ в новой системе координат O’x’y’z’ связаны соотношениями:
EMBED Equation.3 .
Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение (7), получим:
EMBED Equation.3 Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение вида
EMBED Equation.3 (8)
В уравнении (8) коэффициенты при x,’ y’, z’ приравняем к нулю. Получим систему уравнений относительно EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
которая определяет координаты центра исходной поверхности. Следовательно, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - решение данной системы и точка EMBED Equation.3 – центр данной поверхности. Подставим найденные значения EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 в уравнение (8), получим
EMBED Equation.3 . (9)
Дальнейшее упрощение уравнения (3) достигается при помощи поворота осей координат на угол ?. При повороте осей координат O’Y и O’Zна угол ? координаты y’, z’ произвольной точки М плоскости yOz в системе координат O’х’y’z’ и координаты Y, Z в новой системе координат O’XYZ связаны соотношениями:
EMBED Equation.3 . (10)
Подставляя (10) в уравнение поверхности (9) с последующим раскрытием скобок и приведением подобных членов, получим уравнение вида:
EMBED Equation.3 (11)
Выберем угол ? такой, что в уравнении (11) коэффициент при произведении Y?Z равен нулю:
EMBED Equation.3 .
Получим, что EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . Чтобы выбрать нужный ?, решим характеристическое уравнение для эллипса EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Отсюда вычислим угловой коэффициент поворота осей k:
EMBED Equation.3
Следовательно, cos? = sin? = ? EMBED Equation.3 .
Подставляя эти значения в уравнение (11), получим:
EMBED Equation.3 ,
т. е. уравнение
EMBED Equation.3 (12)
– это каноническое уравнение для данной поверхности, которое задает эллипсоид с полуосями EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Т. к. a=b, то эллипсоид называется сплюснутым.
2) Данное каноническое уравнение (12) задает эллипсоид.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостями Z=h (h=const). Эти линии определяются системой уравнений:
EMBED Equation.3
Решая эту систему, получаем:
EMBED Equation.3 (13)
где h – любое вещественное число. Уравнения (13) – это уравнения окружностей с радиусом EMBED Equation.3 , уменьшающимся с увеличением ?h?, с центрами на оси O’Z в точках C(0, 0, h). Плоскость XO’Y (h=0) пересекает эллипсоид по окружности:
EMBED Equation.3
Эта окружность будет наибольшей, как видно из выражения радиуса. При EMBED Equation.3 получаем уравнение:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При EMBED Equation.3 получаем отрицательное число под корнем, т. е. при таких значениях h плоскость XO’Y не пересекает данный эллипсоид. При EMBED Equation.3 получаем окружность:
EMBED Equation.3
Изобразим полученные сечения:





Рис. 3. Сечение плоскостью Z=h.
Рассмотрим линии, полученные в сечениях эллипсоида плоскостью X=h:
EMBED Equation.3
Решая эту систему, получаем:
EMBED Equation.3 (14)
где h – любое вещественное число. Уравнения (14) – это уравнения эллипсов с полуосями:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
уменьшающимися с увеличением ?h?, с центрами на оси O’X в точках C(h, 0, 0) и осями, параллельными плоскости YO’Z.
Плоскость YO’Z (h=0) пересекает эллипсоид по эллипсу
EMBED Equation.3
Этот эллипс будет наибольшим, как видно из выражения полуосей. При EMBED Equation.3 получаем уравнение
EMBED Equation.3
т. е. сечения в таких значениях h будут представлять собой точки в центре координат полученных сечений. При EMBED Equation.3 получаем
EMBED Equation.3
т. е. при таких значениях h плоскость YO’Z не пересекает данный эллипсоид. При EMBED Equation.3 получаем эллипс:
EMBED Word.Picture.8
EMBED Equation.3
Изобразим полученные сечения:




Рис. 4. Сечение плоскостью X=h.
Аналогичная картина получаются при сечении эллипсоида плоскостью XO’Z.
2. Построение поверхности в канонической системе координат
Проанализировав каноническое уравнение эллипсоида (12) и на основе данных исследований методом сечений плоскостями, построим эллипсоид:





Рис. 5. Эллипсоид.
Вывод
Мы научились приводить уравнения кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот осей, строить их, исследовать поверхность методом сечений. Также мы приобрели навыки оформления текстовых документов.

Список использованной литературы
Ильин В. А., Позняк Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1974
Ефимов А. В., Демидович Б. П. Сборник задач по математике для ВТУЗов (4 части). – М.: Наука, 1993.