Тема 6. Частотне представлення періодичних сигналів. Спектральна густина. Енергетичний сенс спектра сигналу. Будь-який неперіодичний сигнал (рис.1) можна розглядати як періодичний, період зміни якого рівний нескінченності. В зв’язку з цим розглянутий раніше спектральний аналіз періодичних процесів може бути узагальнений і на неперіодичні сигнали. Розглянемо, як буде змінюватися спектр неперіодич- ного сигналу при необмеженому збільшенні періоду зміни сигналу. При збільшенні періоду Т інтервали між cуміжними частотами в спектрі сигналу і амплітуди спектральних складових зменшуються і в межах при Т > ? стають нескінченно малими величинами. При цьому ряд Фур’є, який відображає спектральний розклад періодичного сигналу, перетворюється в інтеграл Фур’є, який відображає спектральний розклад неперіодичного сигналу. Комплексна форма інтегралу Фур’є має вид : x(t) = , (1) де = – спектральна густина сигналу; | – амплітудно-частотна характеристика сигналу; = фазочастотна характеристика сигналу; Вираз (1) називають формулою зворотного перетворення Фур’є. Представлення неперіодичної функції інтегралом Фур’є можливо при виконанні наступних умов: функція x(t) задовільняє умовам Дірихле; функція x(t) абсолютно інтегрована (цій умові відповідають практично всі реальні сигнали), тобто
Таким чином, спектр неперіодичного сигналу на відміну від спектру нескінченного числа гармонічних складових з нескінченно малими амплітудами. Амплітуди гармонічних складових, виходячи з (1) , можуть бути представлені у вигляді: dA = , звідки спектральна густина визначається виразом: = 2? Спектральна густина зв’язана функцією сигналу через пряме перетворення Фур’є = (2) Спектральна густина одночасно відображає неперіодичний сигнал і задовольняє умовам (рис.2): ; Модуль спектральної густини є парною, а аргумент – непарною функцією частоти, тобто: = ; ?(?) = ?(-?).
Енергетичний сенс спектра сигналу Розглянемо розподіл потужності в спектрі періодичного сигналу. Для цього припустимо, що сигнал являє собою струм i(t) , який протікає по резистору R (рис.3) і описується складною неперіодичною функцією часу з періодом зміни Т. Середня потужність, яка виділяється на R: Pcp = , де = – квадрат діючого значення струму. Представивши струм рядом Фур’є отримаємо наступний вираз для квадрату діючого значення струму: І2 = 2 dt = + . Отже, середня потужність : Pcp = R (3)
Таким чином, середня потужність, яка виділяється складним періодичним струмом в резисторі, рівна сумі середніх потужностей, які виділяються в цьому резисторі окремими гармоніками струму і його постійною складовою. Розглянемо тепер розподіл енергії в спектрі неперіодичного сигналу. Енергія, яка виділяється сигналом (струмом) в резисторі в один Ом, визначається виразом: W = Для визначення розподілу енергії по спектру неперіодичного сигналу виразимо енергію W через модуль спектральної густини сигналу. Квадрат модуля спектральної густини можна представити у вигляді: = S(j?)S(-j?), (4) де S(-j?) – комплексно-спряжена функція для спектральної густини S(j?). Згідно виразу S(j?) = , отримаємо : S(-j?) = Інтеграл від квадрату модуля спектральної густини d? = = . (5) Змінивши в (5) порядок інтегрування, отримаємо: d? = = 2?dt. Таким чином, енергія сигналу: W = dt = d? = d?. (6) Вираз (6), який отримав назву рівності Парсеваля, показує, що енергія сигналу може бути представлена у вигляді суми нескінченно малих складових d?, які відповідають нескінченно малим ділянкам частотного спектру (рис.4). Вираз d? представляє собою енергію, яка міститься в спектральних складових сигналу, які розміщені в смузі частот d? в околі частоти ?. Таким чином, квадрат модуля спектральної густини характеризує розподіл по спектру енергії сигналу. Якщо задана енергія сигналу ?W у визначеній смузі частот ?? в околі частоти ? (рис.5), тоді модуль спектральної густини в точці ?к може бути знайдений із наближеної рівності: S(?к) = ;