Реферат на тему:
Динаміка обертового руху матеріальної точки Зміст
Основні теоретичні дані
Будемо розглядати динаміку руху матеріальної точки по колу, та задачі, що виникають у зв’язку з розглядом цього питання. По-перше, згадаємо, що динаміка – це такий розділ механіки, який вивчає з’вязок між рухом досліджуємих тіл та силами, що діють на ці тіла. Тобто беруться до уваги причини, за яких цей рух відбувається. Машина, наприклад, рухається до гори, завдяки силі, що “надає” їй мотор.
В елементарній фізиці розглядається рух матеріальної точки – так називають тіла, розмірами яких можна знехтувати, по відношенню до розмірів системи, довжини траєкториїї, тощо. Рух такого тіла можна зв’язати з рухом точки, що відповідає центру мас цього тіла. Наприклад, при розгляданні руха Землі навколо Сонця, Землю вважають матеріальною точкою, т.я. розміри Землі набагато менші відстані від неї до Сонця. А саме: радіус Землі EMBED Equation.3 м, а відстань до Сонця EMBED Equation.3 м. Тоді EMBED Equation.3 , тобто радіус Землі більш ніж в 24 000 разів менше відстані до Сонця, і знехтування її розмірами очевидне.
Зв’язок між параметрами руху досліджуємого тіла та силами, що на це тіло діють, математично виражає ІІ закон Ньютона:
EMBED Equation.3 (1), де
EMBED Equation.3 - сумарний добуток усіх сил, що діють на тіло, EMBED Equation.3 - маса, а EMBED Equation.3 - прискорення тіла.
При рівномірному обертанні матеріальної точки по колу її прискорення є доцентровим і виражається формулою:
EMBED Equation.3 (2), де R – радіус кола,
а EMBED Equation.3 - лінійна швидкість матеріальної точки.
Зв’язок між такими параметрами обертального руху, як
EMBED Equation.3 – колова швидкість руху;
EMBED Equation.3 – частота руху;
EMBED Equation.3 – період руху;
надають формули:
EMBED Equation.3 (3)
EMBED Equation.3 (4)
EMBED Equation.3 (5)
У разі обертання з прискоренням до доцентрового прискорення додається ще так зване тангенциальне таким чином, що:
EMBED Equation.3
Тангенціальне прискорення EMBED Equation.3 зв’язане з кутовим прискоренням EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3
Як видно з останньої рівності при рівномірному обертанні ( EMBED Equation.3 =0) тангенціальне прискорення EMBED Equation.3 дорівнює нулеві.
Обертальний рух планет та штучних супутників описується за допомогою закону всесвітнього тяжіння, який виражає залежність сили тяжіння EMBED Equation.3 від мас притягаємих один до одного тіл, та відстані між цими тілами:
EMBED Equation.3 (6),
де EMBED Equation.3 - гравітаційна стала: EMBED Equation.3
Класифікація
Задачі на динаміку обертального руху мат. точки в загальному випадку можна класифікувати наступним чином:
1. Рух у горизонтальній площині.
До цього класу задач можна віднести рух автомобіля або велосипедиста по колу. Рух зі зміною радіуса обертання для тіла, що лежить на крузі. А також конічний маятник. Та ін.
2. Рух у вертикальній площині.
Тут розглядаються питання обертання тіла на нитці та на стержні. Рух по опуклому мосту у вигляді напівкола. Та ін.
3. Рух планет та супутників по коловій орбіті.
Методика розв’язку
Рух у горизонтальній площині
Спочатку, після аналізу умови задачі, треба нарисовати рисунок. Кажуть, що добрий рисунок – це пів вирішеної задачі. В цьому дійсно є сенс, т.я. тоді рух тіла можна уявити в максимально реалістичному плані, що надає впевненості в розв’язку.
На рисунку обов’язково треба нанести вектори всіх тіл, що діють на тіло. Зауважимо, що на рисунку можливо відобразити тільки якесь миттєве положення обертального руху. Тому осі координат треба у кожний момент часу обирати “наново”, окремо. Але це буде виконуватись у кожний момент часу одним і тим самим чином:
початок координат краще сумістити з самим тілом як мат. точкою; вісь абцис (ОХ) – спрямувати до центра кола, яке описує тіло під час обертання.
Осі координат обираються для того, щоб потім було зручно на них спроєктувати сили, що входять до рівняння руху.
Надалі треба записати ІІ закон Ньютона (1) векторно і в проекціях, з урахуванням формули (2).
Зауважемо, що можно не обираючи систему координат просто проектувати сили на напрямок до центра кола, яке описує тіло під час обертання, та на дотичну до цього кола. (при рекомендованому обранні осей координат це буде те саме).
Для кращого розуміння проблеми розглянемо деякі приклади.
Приклад 1. Рух конічного маятника
Визначити колову частоту (кутову швидкість) конічного ваятника EMBED Equation.3 , якщо відома його маса EMBED Equation.3 та відстань від точки підвису до площини коливання - EMBED Equation.3 . Маятник обертається зі сталою швидкістю.
Y X O EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 R l h Конічним маятником є точкове тіло на закріпленій одним кінцем нитці, яке оберається у горизонтальній площині. Нитку вважаємо нерозтяжною.
На кульку діє сила тяжіння EMBED Equation.3 , та сила натягу нитки EMBED Equation.3 . Т.я. при рівномірному обертанні по коловій траекторії прискорення є доцентровим, ІІ закон Ньютона набуде вигляду:
EMBED Equation.3
Спроектуємо сили на осі координат і перепишемо ІІ закон Ньютона у проекціях:
OX: EMBED Equation.3 (1.1)
OY: EMBED Equation.3 (1.2)
Отже, і це видно по формулі (1.2), сила тяжіння буде компенсуватися силою натягу нитки. Точніше, її вертикальною складовою. Тому руху в вертикальній площині не буде.
З формул (2) та (5) витікає:
EMBED Equation.3 (1.3), звідки
EMBED Equation.3 (1.4)
Виражаючи з рівняння (1.2) силу натягу і підставляючи її до рівняння (1.1), маємо:
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 (1.5)
Підставляючи у (1.3), отримаємо:
EMBED Equation.3
Як видно з рисунку
EMBED Equation.3 , тоді
EMBED Equation.3 (1.6)
Ми отримали формулу для колової або циклічної частоти конічного маятника залежно від відстані між точкою закріплення та площиною обертання – від EMBED Equation.3 . Цікавим є те, що ця частота не залежить від маси EMBED Equation.3 тіла, що обертається. Тепер, використовуючи тригонометричні формули, можна з’ясувати залежність від R, l чи EMBED Equation.3 , т.я. ці параметри зв’язані з EMBED Equation.3 у прямокутному трикутнику. Зауважемо, що R, l і EMBED Equation.3 будуть входити в залежність (1.6) тільки парою, по двоє одночасно. У цьому розумінні EMBED Equation.3 є найбільш інформативним параметром даної системи – конічного маятника.
За допомогою формули (1.5) та формул кінематики обертального руху, можна знайти й інші обертальні параметри конічного маятника. А з системи рівнянь (1.1)-(1.2) можна знайти силу натягу нитки. Наприклад, з рівняня (1.2) отримаємо: EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Рух мотоцикліста по колу
З якою макс. швидкістю може їхати мотоцикліст, роблячи поворот по колу радіуса EMBED Equation.3 , якщо коежіцієнт тертя - EMBED Equation.3 ?
Визначити кут нахилу мотоцикліста до горизонтальної поверхні.
Розв’язуючи першу частину задачі, можна розглядати мотоцикліста як мат. точку (довжина мотоцикла значно менше довжини кола, яке описує мотоцикліст при русі).
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ? О
Сила тертя спокою у загальному випадку EMBED Equation.3 (2.1)
За ІІ законом Ньютона:
EMBED Equation.3
Вибравши осі координат як показано на попередньому рисунку, запишемо ІІ закон Ньютона у проекціях:
OX: EMBED Equation.3 (2.2)
OY: EMBED Equation.3 (2.3)
Враховуючи формулу (2), підставимо (2.3) та (2.2) у (2.1) й отримаємо нерівність:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , або
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Отже, максимально можлива швидкість мотоцикліста:
EMBED Equation.3 (2.4)
Дійсно, з останньої формули випливає, що за відсутності тертя ( EMBED Equation.3 ) мотоцикліст рухатися не може. Так і є насправді.
Для того, щоб мотоцикліст не впав, він повинен під час руху утворювати кут з горизонтальною площиною. Утворювати так, щоб результуюча сила сили тяжіння та сили реакції сидіння мотоцикла була напрямлена до центра кола, яке описує мотоцикліст при русі. Більш того, повинна виконуватись рівність:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
З рисунку видно, що:
EMBED Equation.3
Але EMBED Equation.3 , тому
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (2.4)
Отже, щоб мотоцикліст міг здійснювати обертальний рух зі швидкістю EMBED Equation.3 , йому необхідно нахилитися на кут EMBED Equation.3 , що визначається за формулою (2.4)
Приклад 3 Рух тіла на диску, що обертається
Тіло масою EMBED Equation.3 лежить на горизонтальному диску на відстані EMBED Equation.3 від осі. Диск починає настільки повільно обертатися, що радіальна складова сили тертя набагато більша тангенціальної. Визначити залежність сили тертя від кутової швидкості обертання диска EMBED Equation.3 . Коефіцієнт тертя між диском і тілом – EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 О О' Y X R За умови задачі обертальний рух можна розглядати як рівномірний. Отже зобразимо момент процесу обертання на рисунку, та позначимо сили, що діють на досліджуване тіло.
За ІІ законом Ньютона:
EMBED Equation.3
Вибравши осі координат як показано на попередньому рисунку, запишемо ІІ закон Ньютона у проекціях:
OX: EMBED Equation.3 (3.1)
OY: EMBED Equation.3 (3.2)
За формулою (1.3) рівність (3.1) можна переписати у вигляді:
EMBED Equation.3 (3.3)
Тобто EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ? EMBED Equation.3 . Але ми знаємо, що EMBED Equation.3 . Отже маємо усі необхідні дані для побудови залежності EMBED Equation.3 :
OX: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (3.4)
OY: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (3.5)
Покажемо схематичний графік залежності:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 O EMBED Equation.3 Звідси одразу видно якою буде ”максимальна” швидкість обертання диску, – при якому тіло буде ще лежати на диску:
EMBED Equation.3
З’ясуємо, що відбудеться при EMBED Equation.3 . Тоді сила тертя досягне свого максимального значення EMBED Equation.3 й буде вже не в змозі компенсувати відцентрову силу і тіло почне рухатися від центра. Тобто при EMBED Equation.3 тіло почне ковзати по диску.
Отже ми розглянули основні приклади розв’язання задач на динаміку обертального руху в горизонтальній площині. Як же буде виглядати картина, якщо повернути площину обертання на 90о? Це питання розглядається в наступному розділі.
Рух у вертикальній площині
Підхід до розв’язку задач цього типу схожий з попереднім. Вісь абцис тут краще вибирати спрямовану до центра кола обертання, вісь ординат – по дотичній. Причому осі треба обирати в кожний момент часу “наново”. Особливістю задач на обертальний рух в вертикальній площині є те, що при обертанні постійно змінюється кут між силою тяжіння та силою, що напрямлена до чи від центра кола обертання (наприклад, при обертанні груза на нитці сила натягу нитки напрямлена до центра, а при русі автомобіля по опуклому чи увігнотому мосту сила реакціїї опори – від центра). Як це впливає на розв’язок тієї чи іншої задачі – розглянемо на прикладах.
Приклад 4. Рух шайби по сфері.
З вершини напівсфери починає ковзати шайба без тертя. Довести, що шайба відірветься не доходячи до краю сфери.
Х EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 R h ? ? R О Y По-перше, нарисуємо рисунок і виразимо умову задачі математичною мовою.
Тобто треба довести, що існує така висота EMBED Equation.3 , що як тільки шайба її досягне, то відразу відірветься від поверхні моста. Одразу ж відмітимо, що коли шайба відірвалася від моста, на неї перестає діяти сила реакціїї опори, тобто:
EMBED Equation.3 (4.1)
Спрямувавши осі, як показано на рисунку, запишемо ІІ закон Ньютона векторно, та в проекціїї на вісь ОХ:
EMBED Equation.3
ОХ: EMBED Equation.3 (4.2)
Отже, врахувавши рівності (2) та (4.1), запишемо рівняння руху в момент відриву:
EMBED Equation.3 , звідки
EMBED Equation.3 (4.3)
З рисунка видно:
EMBED Equation.3 або, підставляючи (4.3):
EMBED Equation.3 (4.4)
З (4.4) видно, що EMBED Equation.3 . На цій висоті на шайбу перестає діяти сила реакції опори. А це означає, що шайба відірветься від напівсфери не доходячи до землі.
Приклад 5 Обертання тіла на стержні.
Тіло обертається у вертикальній площині на стержні довжиною EMBED Equation.3 , при чому вісь обертання проходить через один з його кінців. Стержень обертають з кутовою швидкістю EMBED Equation.3 . Розрахувати якої максимальної маси може бути тіло, якщо стержень витримує навантаження EMBED Equation.3 ?
За ІІ законом Ньютона:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 R O` O X EMBED Equation.3 (5.1)
Виберемо вісь ОХ спрямовану до центра кола, тоді (5.1) у проекціїї на обрану вісь прийме вигляд:
EMBED Equation.3 (5.2)
Тут була урахована рівність (1.3).
Стержень діє на тіло силою EMBED Equation.3 , тоді за ІІІ законом Ньютона на стержень діє відцентрова сила, за модулем рівна EMBED Equation.3 . При сталій кутовій швидкості EMBED Equation.3 залежність EMBED Equation.3 згідно (5.2) приймає вигляд:
EMBED Equation.3 (5.3), тобто
T? cos?
Отже, сила Т, що діє на стержень, буде максимальною, коли cos? - максимальний. Але EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 .Тому
EMBED Equation.3 (5.4)
Стержень не розірветься за умови:
EMBED Equation.3 (5.5)
Аналагічно розмірковуючи, можемо знайти найменшу силу Т – тоді EMBED Equation.3 , що відповідає EMBED Equation.3 З (5.3) маємо:
EMBED Equation.3 (5.6)
Підставляючи граничне значення з нерівності (5.5) у формулу (5.4), отримаємо значення максимально допустимої маси груза:
EMBED Equation.3 (5.7)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Також зазначимо,що при:
EMBED Equation.3 (5.8)
в рівності (5.6) сила, що діє на стержень може бути “від’ємна”. Насправді є від’ємною проекція сили. Тобто за умови (5.8) у наіверхній точці траекторії груз буде давити на стержінь. Отже до умови нерозривності стержня в загальному випадку треба додасти ще умову “незламності”:
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (5.9)
Звідки знаходимо:
EMBED Equation.3 (5.10), за умови (5.8)
Тобто:
EMBED Equation.3 (5.11)
Аналізуючи обидва графіки бачимо, що якщо стержень не розірвався внизу, то він не зламається наверху. Тобто справджується формула для максимальної маси (5.7). Такого висновку можна дійти і аналітично, порівнюючи формули (5.7) і (5.10).
Як бачимо обертальний рух в горизонтальній та вертикальній площинах дещо відрізняється один від одного. Але загальним в них є те, що в обох випадках обертальний рух виникає завдяки силам, що їх викликають тіла, які безпосередньо контактують з досліджуючим тілом. В наведених прикладах при русі у горизонтальній площині це сили тертя, у вертикальній – сили натягу нитки тощо. У наступному типі задач доцентрові сили виникають завдяки тілам, що знаходяться на досить великих відстанях. Отже, перейдемо до розгляду обертального руху тіл в умовах всесвітнього тяжіння.
Рух планет та супутників по коловій орбіті
В елементарній фізиці траекторія руху планет по орбіті розглядається як колова. Рух планет та спутників по коловій орбіті виконується завдяки силі всесвітнього тяжіння. Оскільки ця сила завжди напрямлена до центра кола обертання, то вона і є тією доцентровою силою, завдяки якій здійснюється обертальний рух. Тобто в загальному випадку, ІІ закон Ньютона набуде вигляду:
EMBED Equation.3 (7)
Тут EMBED Equation.3 - сили, що діють на тіло за винятком гравітаційних. Яким чином вибирати EMBED Equation.3 – залежить від конкретної задачі. Доречі, поняття прискорення вільного падіння тісно зв’язане саме з обертальним рухом Землі. Розглянемо приклад, ілюструючий картину цього зв’язку.
Приклад 6 Вага тіла на різних широтах Земної кулі.
Вагу одного й того самого тіла виміряли на екваторі й на полюсі за допомогою однакових динамометричних вагів. Визначити співвідношення показів вагів, якщо середній радіус Землі: EMBED Equation.3 м, а її маса М = 6?1024 кг.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Користуючись формулою (7) для обох випадків (екватора і полюса) запишемо:
EMBED Equation.3
О Запишемо це рівняння у проекціях окремо для полюса та екватора, вибираючи вісь проектування з початком у центрі мас тіла й спрямовану до центра земної кулі – до точки О. Тоді, враховуючи, що EMBED Equation.3 – відстань до осі обертання Земної кулі, отримаємо:
полюс: EMBED Equation.3
екватор: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (6.1)
EMBED Equation.3 (6.2)
Розділивши рівняння (6.2) на рівняння (6.1), отримаємо шукане відношення ваги на екваторі та на полюсі:
EMBED Equation.3 (6.3)
Кутову швидкість обертання EMBED Equation.3 можемо знайти знаючи період обертання Землі навколо своєї осі: Т = 24 години = 24?60?60=86400 с. Маємо:
EMBED Equation.3
Отже (6.3) набуде кінцевого вигляду:
EMBED Equation.3 (6.4)
Підставляючи у (6.4) числові знічення параметрів Земної кулі, отримаємо:
EMBED Equation.3
Отже бачимо, що вага на екваторі Землі буде незначно більшою, ніж вага на плюсі.
Приклад 7 Перша космічна швидкість
Щоб супутник, чи космічний корабель вийшов на колову орбіту навколо Землі, йому необхідно надати в горизонтальному напрямку певну швидкість, яку називають першою космічною швидкістю. Знайдіть цю швидкість.
На поверхні Землі сила всесвітнього тяжіння між спутником маси EMBED Equation.3 та Землею буде дорівнювати добре відомій нам силі тяжіння EMBED Equation.3 . Тому формула (7) набуде вигляду:
EMBED Equation.3 (7.1)
Звідки знаходимо першу космічну швидкість:
EMBED Equation.3 (7.2)
В дійсності супутник не може обертатися над самою поверхнею, у зв’язку з цим постає задача, наведена у наступному прикладі.
Приклад 8 Лінійна швидкість супутника
За допомогою ракети супутник піднято на висоту EMBED Equation.3 від поверхні Землі. Яку лінійну швидкість треба надати супутнику, щоб він почав рухатися по коловій орбіті?
Після надання супутнику лінійної швидкості EMBED Equation.3 , на нього діє тільки сила всесвітнього тяжіння. Отже запишемо формулу (7) для даного випадку:
EMBED Equation.3 (8.1),
де EMBED Equation.3 - маса супутника; EMBED Equation.3 - радіус Землі, а EMBED Equation.3 - її маса.
Біля поверхні Землі сила тяжіння:
EMBED Equation.3 , звідки
EMBED Equation.3 (8.2)
Підставляючи (8.2) у (8.1), отримаємо вираз для лінійної швидкості супутника:
EMBED Equation.3 (8.3)
При EMBED Equation.3 ця формула переходить в формулу (7.2).
Заключення і висновки
Отже, ми розглянули методику розв’язку основних класів задач на динаміку рівномірного обертального руху матеріальної точки. Побачили на прикладах, специфіки розв’язку окремих класів. Але скрізь простежується дещо спільне для всіх задач на динаміку обертального руху. Насправді, можна виділити загальний підхід до їх розв’язку. Цей підхід реалізуємо у вигляді алгаритму.
Загальний алгоритм розв’язку:
Проаналізувати умову задачі, де необхідно (в більшості випадків) нарисовати рисунок у якийсь фіксований момент часу.
Записати рівняння руху у вигляді ІІ закону Ньютона у векторній формі.
Вибрати вісь ОХ таким чином, що початок осі буде співпадати з центром мас тіла, що обертається, а напрямок буде напрямлений до центра кола обертання. Вісь ОУ вибрати з огляду зручності.
Записати ІІ закон Ньютона у проекціях на осі. Іноді достатньо лише проекції на вісь ОХ.
З’ясувати як буде математично визначатися питання задачі. Може з’явитися ще одне рівняння.
Розв’язати отримане рівняння або систему й отримати відповідь.
Проаналізувати, чи відповідь повна, або чи має зайву інформацію.
