Верифікація закону всесвітнього тяжіння

Встановлені за результатами астрономічних спостережень руху планет закони [8] Й. Кеплера відіграли основну роль у відкритті І. Ньютоном формули [8] для сили EMBED Equation.DSMT4 всесвітнього тяжіння:
EMBED Equation.DSMT4 . (1)
Тут EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 – маси точкових тіл, EMBED Equation.DSMT4 – вектор, який вказує на їхнє взаємне розташування в просторі, а EMBED Equation.DSMT4 – ґравітаційна стала. Взаємні впливи інших планет призводять до порушення [8] законів Кеплера. Знаходження форми траєкторії планет було тим пробним каменем, на якому відточувалися теорії ґравітації.
1. Рух об’ємного тіла в центральному полі
Нехай точкова маса EMBED Equation.DSMT4 нерухома в інерційній системі відліку. Тоді початок EMBED Equation.DSMT4 системи координат можна розмістити в EMBED Equation.DSMT4 . У процесі розрахунків, розглядаючи лише геометричні аспекти задачі, напруженість EMBED Equation.DSMT4 ґравітаційного поля зручніше характеризувати не посиланням на масу EMBED Equation.DSMT4 , яка це поле створює, а її ґравітаційним радіусом [11]:
EMBED Equation.DSMT4 . (2)
Таким чином, формулу (1) можна переписати у вигляді:
EMBED Equation.DSMT4 . (3)
Тут EMBED Equation.DSMT4 – фундаментальна швидкість, а EMBED Equation.DSMT4 – одиничний вектор уздовж радіус-вектора EMBED Equation.DSMT4 . Використання в (3) ґравітаційного радіуса має технічний характер і зовсім не пов’язане з підходами ЗТВ [11].
Нехай у ґравітаційному полі маси EMBED Equation.DSMT4 рухається точкове тіло масою EMBED Equation.DSMT4 . Якщо зв’язана з масою EMBED Equation.DSMT4 система відліку є інерційною, рівняння динаміки цієї матеріальної точки матиме вигляд [10]:
EMBED Equation.DSMT4 . (4)
Помноживши (4) векторно на EMBED Equation.DSMT4 , отримуємо рівняння обертального руху маси EMBED Equation.DSMT4 навколо точки EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 . (5)
Можна довести [8], що ґравітаційне поле сферично-симетричного тіла збігається з полем точкової маси, поміщеної в центрі симетрії, а самі тіла взаємодіють за тими ж законами, що й точкові. Однак, якщо для матеріальної точки перехід від рівняння (4) до (5) не викликає жодних заперечень, то для об’ємного тіла згадана процедура виглядає сумнівною. Справді, рівняння (4) описує поступальних рух, а (5) – обертальний. Поступальний же рух по орбіті навколо силового центра EMBED Equation.DSMT4 , згідно з теоремою Л.Ейлера, складається [1] з двох обертальних рухів – орбітального та власного. При поступальному русі частота обертання навколо власної осі з точністю до знака збігається з частотою EMBED Equation.DSMT4 орбітального руху. Таким чином, рівняння (4) та (5) для об’ємного тіла нееквівалентні, бо (5) не враховує зумовленого орбітальним рухом кутового прискорення тіла навколо власної осі.
Пояснимо, як узгодити рівняння (4) поступального руху та рівняння обертального руху. Позначивши орбітальний момент імпульсу тіла через EMBED Equation.DSMT4 , а власний – через EMBED Equation.DSMT4 , згідно з законом збереження
EMBED Equation.DSMT4 (6)
у замкненій системі, матимемо:
EMBED Equation.DSMT4 . (7)
Застосовуючи для конкретизації характеристик обертального руху тіла навколо власної осі основний закон динаміки [8] обертального руху, отримаємо вираз для моменту сили (фіктивного), який діє на тіло:
EMBED Equation.DSMT4 . (8)
Тут EMBED Equation.DSMT4 – момент інерції тіла відносно власної осі. Для однорідного сферичного тіла діаметром EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 , де EMBED Equation.DSMT4 . (9)
Породжуючою причиною моменту сили EMBED Equation.DSMT4 є орбітальний рух, тому при переході від (4) до рівняння динаміки обертального руху вираз (5) необхідно доповнити моментом сили згідно з (7) та (8):
EMBED Equation.DSMT4 . (10)
Напрям момента сили EMBED Equation.DSMT4 перпендикулярний до площини орбіти, тому остання і надалі залишатиметься плоскою. Таким чином, при розгляді законів руху об’ємного тіла в центральному полі необхідно записувати [3]:
EMBED Equation.DSMT4 ; (11)
EMBED Equation.DSMT4 (12)
Інтегруючи співвідношення (12), одержимо вираз:
EMBED Equation.DSMT4 . (13)
Для планет Сонячної системи числове значення співмножника EMBED Equation.DSMT4 близьке до одиниці (найбільше його відхилення від одиниці є в Юпітера – EMBED Equation.DSMT4 ), і його реєстрація практично неможлива. Зате вплив розміру планет накопичується у низці ефектів, наприклад, призводить до повороту перицентра орбіти.
Перейшовши в (11) від параметра EMBED Equation.DSMT4 до полярного кута EMBED Equation.DSMT4 , заміною змінних
EMBED Equation.DSMT4 (14)
із використанням зв’язку (13) рівняння (11) зведемо до вигляду:
EMBED Equation.DSMT4 . (15)
Будемо шукати розв’язок (15) за умови EMBED Equation.DSMT4 . У лінійному наближенні, приймаючи що [3]
EMBED Equation.DSMT4 , (16)
із (15) отримаємо рівняння гармонічного осцилятора
EMBED Equation.DSMT4 , (17)
відносна частота коливань якого відрізняється від одиниці. Фактично це означає, що перицентр орбіти об’ємної планети зміщується в прямому напрямі з частотою:
EMBED Equation.DSMT4 . (18)
Частота EMBED Equation.DSMT4 набагато менша від EMBED Equation.DSMT4 . Порівняємо EMBED Equation.DSMT4 з усередненою частотою повертання перицентра, формулу для якої дає ЗТВ [9]:
EMBED Equation.DSMT4 . (19)
Обчислене для планет Сонячної системи відношення
EMBED Equation.DSMT4 (20)
наведене в табл.1.
Таблиця 1
Із табл.1 видно, що для планет-гігантів складова швидкості зміщення перицентра орбіти, пов’язана з неточковістю планети, співмірна з обчисленою методами ЗТВ для точкових тіл. Навіть для Меркурія зміщення в 0", 4 за 100 років, як це випливає з (18), вже піддається реєстрації сучасними приладами.
У [3] знайдено формулу для обчислення швидкості зміщення перицентра в релятивістській механіці. Зважаючи, що тут нас цікавить не сама форма траєкторії, а лише швидкість повертання перицентра, ми пропонуємо знайдену за результатами цифрового моделювання розв’язку рівняння (39) евристичну формулу для обчислення останньої:
EMBED Equation.DSMT4 . (21)
Розбіжності між (19) та (21) зумовлені головним чином заміною EMBED Equation.DSMT4 на EMBED Equation.DSMT4 .
Миттєва швидкість EMBED Equation.DSMT4 повертання перицентра настільки мала в порівнянні з EMBED Equation.DSMT4 , що спостерігати її безпосередньо немає можливості. Астрономічні прилади дозволяють визначати лише її середні значення на великих проміжках часу. Тому що середнє за період EMBED Equation.DSMT4 обертання планети навколо Сонця значення EMBED Equation.DSMT4 , вираз (21) для обчислення усередненої швидкості EMBED Equation.DSMT4 повертання перицентра при EMBED Equation.DSMT4 за формою нагадує вираз (19). Такий результат підтверджує збудження власних обертальних рухів тіла відносно двох незалежних ступенів вільності.
У формулі (21) циклічна частота EMBED Equation.DSMT4 не є сталою, тому при обчисленні середнього значення EMBED Equation.DSMT4 необхідно враховувати періодичні зміни EMBED Equation.DSMT4 , коли ексцентриситет EMBED Equation.3 не є нульовим. Із формули (21) обчислимо середню за період EMBED Equation.DSMT4 руху по орбіті частоту повертання перицентра:
EMBED Equation.DSMT4 (22)
Аналіз причин відмінностей у формулах (19) та (22) для обчислення EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 – тема окремого дослідження. Вкажемо лише, що в ЗТВ повертання перицентра є суто нелінійним ефектом і отримати вираз для обчислення швидкості повертання перицетра технічно складніше, ніж у релятивістській механіці, де перше наближення EMBED Equation.DSMT4 трактується як розв’язок лінійного диференціального рівняння.
2. Релятивістська задача двох тіл
У релятивістській механіці маси EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 тіл є функціями швидкостей руху (змінюються згідно з формулою Лоренца-Ейнштейна), тому зв’язана з центроїдом система відліку не буде інерційною. Проте, використовуючи розроблений Г.Г.Коріолісом підхід [8], можна зробити оцінку похибки, яка виникає при використанні припущення про інерційність зв’язаної з центроїдом системи відліку.
Уведемо поняття центра інерції (центроїда) з радіусом-вектором
EMBED Equation.DSMT4 , (23)
як показано на мал.1.
Рис 1. Центроїд мас EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
EMBED PBrush



Диференціюючи (23) за часом EMBED Equation.DSMT4 , обчислимо швидкість руху центроїда:
EMBED Equation.DSMT4 (24)
Тут
EMBED Equation.3 (25)
– імпульс системи двох тіл. Серед різноманіття інерційних систем відліку можна вибрати таку, в якій сумарний імпульс системи тіл був би нульовим:
EMBED Equation.DSMT4 (26)
де EMBED Equation.DSMT4 – нуль-вектор. Таку систему відліку називатимемо ізодромною (супутньою). Принагідно відзначимо, що в класичній механіці пов’язана з центроїдом система відліку також є ізодромною. В ізодромній системі:
EMBED Equation.DSMT4 (27)
Швидкості змін мас тіл у релятивістській механіці визначаються рівнянням Лоренца-Айнштайна. Зважаючи на (27), для маси EMBED Equation.DSMT4 будемо мати:
EMBED Equation.DSMT4 (28)
Введемо поняття зведеної маси EMBED Equation.DSMT4 тіла за відношенням до EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 . (29)
Без обмеження загальності у подальшому викладі вважатимемо, що
EMBED Equation.DSMT4 (30)
Використовуючи зв’язки (26), (28), перепишемо формулу (24) для обчислення швидкості руху центроїда в ізодромній системі відліку в такому вигляді:
EMBED Equation.DSMT4 . (31)
Враховуючи (28), дамо оцінку величини EMBED Equation.DSMT4 поряд із EMBED Equation.DSMT4 :
EMBED Equation.DSMT4 (32)
Терм
EMBED Equation.DSMT4 (33)
досягає максимального значення при EMBED Equation.DSMT4 . Тому для реальних тіл, коли виконується умова великих зведених відстаней між ними, маємо:
EMBED Equation.DSMT4 . (34)
Початок координат EMBED Equation.DSMT4 ізодромної системи відліку розмістимо всередині фігури, яку описує центроїд EMBED Equation.DSMT4 при русі тіл. Зважаючи на (34), поперечник цієї фігури буде значно менший за EMBED Equation.DSMT4 . Тому, нехтуючи квадратичними ефектами, можна вважати, що при обчисленні сили взаємодії між тілами зміни вектора EMBED Equation.DSMT4 практично не впливають на величину і напрям сили EMBED Equation.DSMT4 , обчисленої за посередництвом центроїда. Такий висновок дозволяє вводити поняття приєднаної маси за тими ж правилами, як і в класичній механіці [1].
Наведений аналіз показує, що в цілому форма траєкторії у релятивістській задачі двох тіл нічим суттєво не відрізняється від аналогічної, котра визначається засобами класичної механіки. Відмінності проявляються лише в інтегральних ефектах, тобто тих, які накопичуються в процесі руху. Одним із них є повертання перицентра орбіти. Нижче, використовуючи квазікласичний підхід, ми покажемо, як оцінити величину таких впливів.
Диференціюючи (31) за часом EMBED Equation.DSMT4 , визначимо прискорення центроїда:
EMBED Equation.DSMT4 . (35)
Зважаючи, що швидкість швидкості зміни маси EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 (36)
та нехтуючи членами вищого порядку мализни, запишемо вираз для прискорення центроїда в наступному вигляді:
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . (37)
У виразах (36) та (37) EMBED Equation.DSMT4 – ґравітаційний радіус приєднаної [1] маси EMBED Equation.DSMT4 .
Порівняємо величини прискорення центроїда та напруженості EMBED Equation.DSMT4 ґравітаційного поля, яке створюється приєднаною масою в околі орбіти тіла:
EMBED Equation.DSMT4 (38)
Із (38) видно, що це відношення не перевищує квадрата зведеної швидкості EMBED Equation.DSMT4 руху тіла.
Тому, що швидкість EMBED Equation.DSMT4 незначна в порівнянні з EMBED Equation.DSMT4 , а прискорення центроїда EMBED Equation.DSMT4 мале в порівнянні з EMBED Equation.DSMT4 , вплив релятивістських змін мас тіл на форму траєкторії орбіти можна шукати методами наближених обчислень, наприклад, методом Пікара [1]. У механіці використання останнього методу збігається з класичним підходом [8] Г.Г. Коріоліса переходу від опису руху в інерційній до опису руху в неінерційній системах відліку:
EMBED Equation.DSMT4 (39)
Врахування EMBED Equation.DSMT4 зводить рівняння руху [3] до вигляду:
EMBED Equation.DSMT4 (40)
Розрахунок дає наступну швидкість EMBED Equation.DSMT4 повертання перицентра орбіти:
EMBED Equation.DSMT4 (41)
Функція (41) має екстремум при EMBED Equation.DSMT4 . У цьому випадку відносне відхилення частоти EMBED Equation.DSMT4 від EMBED Equation.DSMT4 при EMBED Equation.DSMT4 складає:
EMBED Equation.DSMT4 (42)
Для планет Сонячної системи EMBED Equation.DSMT4 незначне. Наприклад, для Юпітера EMBED Equation.DSMT4 .
У системі двох тіл зі співмірними масами необхідно враховувати і вплив на певертання перицентра руху другого тіла навколо центроїда. Момент сили EMBED Equation.DSMT4 , який вноситься в систему релятивістськими змінами маси EMBED Equation.DSMT4 , у EMBED Equation.DSMT4 разів відрізняється від моменту EMBED Equation.DSMT4 . Обидва впливи додаються, тому при близьких масах EMBED Equation.DSMT4 та EMBED Equation.DSMT4 швидкість повертання перицентра може бути більшою не на 25%, а на цілих 100%.
3. Обговорення результатів
Астрономічні спостереження доводять, що за 100 років перигелій Меркурія зміщується у прямому напрямку на 574",10±0",41 [8]. Його більша частина припадає на взаємний вплив планет. Обчислена за теорією Ньютона вона складає 531",5±0",5 за століття [8]. Таким чином, залишається непоясненою величина в 42",6±0",9 [8] за століття. Після розробки ЗТВ довший час вважалося, що теорія Айнштайна, яка вказує на зміщення в 43",03±0",03 за століття [8], прекрасно узгоджується з даними спостережень. Однак проведені Дікке та Голденбергом точні виміри видимої сплюснутості Сонця показали [4], що викликані цим ефектом збурення дають зміщення перигелію Меркурія в 3",4 за століття (у зворотному напрямку), порушуючи цим самим узгодженість теорії та спостережень. Вражає еклектика наведених у ЗТВ міркувань. Так, спочатку 93% ефекту зміщення перигелію Меркурія пояснюють законом всесвітнього тяжіння. Потім вказують на його невідповідність фізичним реаліям і 7% ефекту пояснюють методами ЗТВ. Валідність подібних міркувань завжди було прийнято ставити під сумнів.
Якщо в класичній механіці напрями сили та прискорення тіла збігаються, то в релятивістській механіці названа особливість не виконується і в замкненій системі двох тіл появляється момент сили. Останній перпендикулярний до площини орбіти тіл і періодично змінюється. Перші спроби врахування цього моменту сили обмежувались його дією лише на орбітальний момент імпульсу [8], тому ефект впливу виявився втричі менший очікуваного. Виявлений [3] фактор орбітально-обертальної взаємодії та зроблене уточнення формули для EMBED Equation.DSMT4 дозволили розвіяти сумніви щодо виконання закону (1). Для орбіти Меркурія значення EMBED Equation.DSMT4 відрізняється від EMBED Equation.DSMT4 в 1,04 рази. Це значить, що для ізольованої системи Сонце-Меркурій перигелій останнього за 100 років мав би зміститись на 44",75, а не на 43",03, як це доводить ЗТВ. Додаючи сюди викликаний неточковістю планети та обчислений згідно з виразом (18) кут повороту 0",4 за століття, матимемо 45",15, а враховуючи вплив сплюснутості Сонця в -3",4 за століття, отримуємо повертання в 41",75 за століття. Таке числове значення добре узгоджується з астрономічними спостереженнями. Визначений вплив на швидкість зміщення перицентра орбіти, пов’заний із розв’язком задачі одного тіла в полі центральних сил, для систами Сонце-Меркурій не первищує 10-7, тобто набагато менший від похибки вимірювань.
Основним результатом, отриманим у цьому дослідженні, ми вважаємо реабілітацію закону (1) всесвітнього тяжіння Ньютона, справедливість виконання якого для планет Сонячної системи в рамках єдиного підходу доведена з точністю до 10-10. Усі спроби покращити [8] форму закону (1) притягування тіл виявилися безрезультатними.