Тема 10. Спектри сигналів при вузько смуговій та низько смуговій кутовій модуляції.
Нехай задані два гармонійних коливання з постійними, але різними частотами
??
1
та
??
2
:
??=
??
0
sin
??
1
??
=
??
0
sin
??
1

??=
??
0
sin
??
2
??=
??
0
sin
??
1
??+?????
=
??
0
sin
??
2
(1)
причому ???=
??
2
?
??
1
>0
Позначимо, що ??=?????, тоді перепишемо рівняння (1):
??=
??
0
sin
??
1
??

??=
??
0
sin
[
??
1
??+??(??)]
(2)
З (2) видно, що коливання з постійною частотою
??
2
можна розглядати як коливання з частотою
??
1
<
??
2
, але з лінійно зростаючою початковою фазою ??
??
=?????.
Таким чином коли відомо, що за час t коливання «b» випередило по фазі по фазі коливання «a» на кут ??, то можна стверджувати , що на протязі вказаного відрізку часу частоти
??
2
перевищувала частоту
??
1
на величину ???=
??
??
.
Припустимо, що протягом часу t частота коливання «b» не була постійною, таким чином різниця ???=
??
2
?
??
1
, була функцією часу. Тому тепер для визначення фазового зсуву ??в момент часу t використаємо вираз:
??=
0
??
???
??
????
(3)
Повна фаза коливання «b» буде при цьому:
??=
??
1
??+
0
??
???
??
????
(4)
Цей вираз справедливий коли
??
1
=??????????. В загальному випадку, коли заданий закон зміни миттєвої частоти коливання у вигляді функції ??=??(??), то повна фаза за час від 0 до t визначається за допомогою виразу:
??=
0
??
??
??
????.
(4.1)
Очевидне і зворотне твердження, коли за проміжок часу dt повна фаза коливання «b» відносно коливання «a» рівна ????, то частотне відхилення (різниця частот) в момент t рівна:
???
??
=
????
????
, (5)
В загальному випадку, коли задана повна фаза коливання у вигляді функції:
??=??
??
, (6)
То миттєве значення частоти в момент t визначається виразом:
??
??
=
????
????
(7)
Розглянемо тепер це все на прикладі модуляції, коли модулююча функція задана у вигляді:
??
??
=??
cos
???
(8)
Не уточнюючи способу здійснення модуляції, припустимо, що частота генератора змінюється по закону:
??
??
=
??
0
+
??
чм
??
cos
???=
??
0
+
??
д
cos
???
(9)
Тут
??
0
=2??
??
0
- середня частота коливання (при відсутності модуляції)

??
чм
– середній коефіцієнт пропорційності, який визначає зв’язок між моделюючою напругою та змінами частоти генератора, ?=2???? – частота модуляції,
??
д
=
2??
д
– амплітуда частотного відхилення.
??
д
– це є девіація частоти, чи просто девіація.
Вираз для миттєвого значення коливання, частота якого змінюється по закону (9):
??=
??
0
sin
??
, де
?? – знаходиться згідно виразу (4.1):
??=
0
??
??
??
????=
0
??
??
0
+
??
д
cos
???
????=
??
0
??+
??
д
?
?????????
(11)
Таким чином
??=
??
0
sin
[
??
0
??+
??
д
?
sin
???
]
(12)
З виразу (12), видно що періодична модуляція частоти в межах ±
??
д
частотою ? еквівалентна гармонічній варіації фази з тою частотою в межах кута ±
??
д
?
. Таким чином, амплітуда фази рівна:
??
??????
=
??
д
?
(13)
Відношення ??=
??
д
?
=
??
??????
називають індексом модуляції і основним параметром кутової модуляції.
Тепер припустимо, що частота
??
0
=???????????стабільна, а фаза змінюється по закону:
??=
??
фм
??
sin
???=
??
??????
sin
???
(14)
??
фм
? коефіцієнт пропорційності, який визначає зв’язок між модулюючим сигналом та зміною фази коливаня;
??
??????
? амплітуда зміни фази при модуляції.
В даному випадку повна фаза коливання визначається сумою:
??=
??
0
??+??=
??
0
??+
??
??????
sin
???
(15)
а миттєве значення коливання:
??
??
=
??
0
sin
??=
??
0
sin
[
??
0
??+
??
??????
?????????]
(16)
Миттєва частота у відповідності з виразом (7) буде:
??
??
=
????
????
=
??
0
+
??
??????
?
cos
???
(17)
Враховуючи, що
??
??????
=??=
??
??
?
, (18)
Вираз (17) можна переписати у формі:
??
??
=
??
0
+
??
д
cos
???
(19)
Таким чином як видно з виразу (19) та (9) за характером коливання і його властивостями неможна визначити з якою модуляцією маємо справу – частотною чи фазовою.
Методи виявлення базуються на зміні частоти модуляції чи при одночасній модуляції смугою частот.
Спектр коливань при гармонічній кутовій модуляції.
Запишемо вираз для миттєвого значення коливання , модульованого по частоті чи фазі частотою ?:
??=
??
0
sin
(
??
0
??+??
sin
???
)
, (20)
(тут для спрощення
??
0
=0 - початкова фаза)
або в дещо зміненій формі:
??=
??
0
[
cos
??
sin
???
sin
??
0
??+
sin
??
sin
???
cos
??
0
??
] (21)
Розглянемо спочатку властивості коливання при «неглибокій» модуляції, яка характеризується відносно невеликим значенням фазового відхилення, тобто індексом m<<1.
В цьому випадку можна рахувати:
sin
??
sin
???
=??
sin
???
;
cos
(??
sin
???
)?1.
Підставляючи це у вираз (21), отримаємо:
???
??
0
sin
??
0
??+??
sin
???
cos
??
0
??
=
=
??
0
[
sin
??
0
??+
??
2
sin
??
0
+?
???
??
2
sin
(
??
0
??)??
] (22)
Тобто з виразу (22) видно, що спектр коливання, модульованого по частоті чи по фазі, при малому значенні «??» складається як і спектр амплітудно-модульованого коливання із несучої частоти
??
0
та двох бокових частот – верхньої
??
0
+? та нижньої
??
0
??.
Спектр коливання при кутовій модуляції складним сигналом
Розглянемо модуляцію двома частотами, коли миттєва частота може бути записана у вигляді:
??
??
=
??
0
+
??
д1
sin
?
1
??+
??
д2
??
(23)
Повна фаза коливання в момент t буде:
??=
0
??
??
??
????=
??
0
???
??
1
cos
?
1
??
?
??
2
cos
?
2
??
, де
??
1
=
??
д1
?
1
та
??
2
=
??
д2
?
2
Рівняння коливання, яке модульоване за частотою двома частотами, можна записати у вигляді:
??=
??
0
sin
(
??
0
???
??
1
cos
?
1
??
?
??
2
cos
?
2
??
)
=
=
??
0
{
sin
??
0
??
cos
??
1
cos
?
1
??
cos
??
2
cos
?
2
??
?
sin
??
1
cos
?
1
??
sin
??
1
cos
?
1
??
?
cos
??
0
??[
sin
??
1
cos
?
1
??
cos
??
2
cos
?
2
??
+
cos
??
1
cos
?
1
??
sin
(
??
2
cos
?
2
??
)
]
}
Тобто, при одночасній модуляції двома частотами
?
1
та
?
2
спектр містить наступні компоненти:
Несучу частоту
??
0
;
Бокові частоту
??
0
±
?
1
та
??
0
±
?
2
Допоміжні бокові частоти виду [
??
0
±(??
?
1
±??
?
2
)], де p та n – довільні цілі числа