§2. Основні теореми теорії ймовірностей.
Ми в подальшому викладі будемо користуватися поняттями, що базуються на класичному означенні ймовірності. Розглянемо, як обчислити ймовірність суми двох несумісних подій. При аксіоматичному підході (див. §1, п.1.6) це приймається як аксіома.
2.1.Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.
Якщо події А і В несумісні (А EMBED Equation.3 В= Ø), причому відомі їх ймовірності Р(А) і Р(В), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей
EMBED Equation.3 . (1)
Дійсно, нехай n – число всіх елементарних подій в деякому досліді, EMBED Equation.3 - число елементарних подій, сприятливих події А, EMBED Equation.3 - число елементарних подій, сприятливих події В. Тоді появі події EMBED Equation.3 сприяють EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 елементарних подій. Отже , за класичним означенням ймовірності
EMBED Equation.3 .
Наслідок 1. Ймовірність протилежної події обчислюється за формулою EMBED Equation.3 . (2)
Дійсно, оскільки EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 . З іншого боку, EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 .
Наслідок 2. EMBED Equation.3 , (3)
де EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) – попарно несумісні події.
Наслідок 3. Якщо події EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) утворюють повну групу попарно несумісних подій, то
EMBED Equation.3 . (4)
Дійсно, за означенням повної групи попарно несумісних подій маємо EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , але EMBED Equation.3 . Отже, за наслідком 2 маємо формулу (4).
Приклад 1. В партії з 20 деталей є 16 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна.
Розв’язання. Нехай подія EMBED Equation.3 : виявиться точно одна стандартна; подія EMBED Equation.3 : виявиться дві стандартні; подія EMBED Equation.3 : виявиться три стандартні деталі. Ці події попарно несумісні.
Нехай подія EMBED Equation.3 : серед навмання взятих трьох деталей виявиться принаймні одна стандартна. Отже, EMBED Equation.3 і за формулою (3) маємо
EMBED Equation.3 .
Обчислимо ймовірності подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 .
Інший спосіб. При розв’язуванні задач часто буває зручно переходити до протилежної події. Так, якщо подія EMBED Equation.3 : не виявиться жодної стандартної деталі, то EMBED Equation.3 є протилежною до події EMBED Equation.3 , і події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 утворюють повну групу попарно несумісних подій. Отже, за формулою (2)
EMBED Equation.3 .
Обчисливши ймовірність EMBED Equation.3 , отримаємо EMBED Equation.3 .
2.2. Умовна ймовірність.
Вище ми говорили, що в основі означення ймовірності випадкової події лежить сукупність деяких певних умов. Якщо ж ніяких інших обмежень, крім цих умов, при обчисленні ймовірності EMBED Equation.3 не накладається, то така ймовірність називається безумовною. Якщо ж поява деякої події EMBED Equation.3 відбувається за умови, що відбулась інша подія EMBED Equation.3 , причому EMBED Equation.3 , то ймовірність появи події EMBED Equation.3 називають умовною і обчислюють за формулою
EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ). (5)
Деколи використовують таке позначення умовної ймовірності EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Підкидають гральний кубик. Нехай подія EMBED Equation.3 (випала парна кількість очок), подія EMBED Equation.3 (випала кількість очок, більше трьох). Між цими подіями є зв’язок. Дійсно, EMBED Equation.3 зводиться до трьох елементарних подій: випало 4, 5, 6 очок. Якщо подія EMBED Equation.3 наступила, то події EMBED Equation.3 сприятимуть дві елементарні події: випало 4 або 6 очок.
Отже, EMBED Equation.3 .
Умовна ймовірність служить характеристикою залежності однієї події від іншої.
Дві події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 називаються
залежними, якщо EMBED Equation.3 , (6)
і незалежними, якщо EMBED Equation.3 . (7)
2.3. Теорема множення ймовірностей залежних подій.
Розглянемо дві залежні події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , причому відомі ймовірності EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Ймовірність суміщення цих подій обчислюється за теоремою:
Ймовірність сумісної появи двох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, обчисленої за умови, що перша відбулася
EMBED Equation.3 (8)
або EMBED Equation.3 .
Дійсно, за означенням умовної ймовірності із співвідношення (5) маємо
EMBED Equation.3 .
Оскільки EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .
Наслідок. Якщо події EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), залежні , то
EMBED Equation.3 , (9)
тобто ймовірність сумісної появи декількох залежних подій дорівнює добуткові ймовірності однієї з них на умовні ймовірності всіх решти, причому ймовірність кожної наступної події обчислюється в припущенні, що всі попередні події відбулися.
Зокрема, для трьох залежних подій А, В, С маємо
EMBED Equation.3 .
2.4. Теорема множення ймовірностей незалежних подій.
Ця теорема є наслідком попередньої. Дійсно, якщо А , В - незалежні події , то, враховуючи (7), маємо EMBED Equation.3 . (10)
Декілька подій називаються попарно незалежними, якщо кожні дві з них незалежні.
Наприклад, події А, В, С попарно незалежні, якщо незалежні події А і В, А і С, В і С.
Декілька подій називаються незалежними в сукупності, якщо незалежні кожні дві з них і незалежні кожна з них і всі можливі добутки решти подій.
Наприклад, якщо події А, В, С незалежні в сукупності, то незалежні події А і В, А і С, В і С,
А і В EMBED Equation.3 С, В і EMBED Equation.3 С, EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Варто зауважити, якщо декілька подій попарно незалежні, то це ще не означає, що вони незалежні в сукупності.
Відповідно для EMBED Equation.3 незалежних в сукупності подій EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) теорема множення ймовірностей записується EMBED Equation.3 . (11)
Приклад 3. Ймовірності появи кожної з двох незалежних подій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 задані EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Знайти ймовірність появи тільки однієї з цих подій.
Розв’язання. Введемо позначення EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Нехай подія EMBED Equation.3 : поява тільки події EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ;
подія EMBED Equation.3 : поява тільки події EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 несумісні, отже EMBED Equation.3 .
Події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 незалежні, отже незалежні і події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тому
EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 .
Розглянемо наслідки з теорем додавання і множення ймовірностей.
2.5. Ймовірність появи принаймні однієї події.
Нехай в результаті експерименту можуть з’явитися події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , незалежні в сукупності, причому відомі ймовірності їх появи EMBED Equation.3 і ймовірності не появи EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ) , ( EMBED Equation.3 ).
Нехай EMBED Equation.3 - подія, яка полягає в появі принаймні однієї з подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , тобото поява або однієї, або двох, або трьох подій
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ).
Подія EMBED Equation.3 (не появилася жодна з подій) є протилежною до події EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 , або EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )=1.
Звідки EMBED Equation.3 =1- EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), оскільки події EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 незалежні в сукупності, або інакше EMBED Equation.3 .
Для EMBED Equation.3 подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,…, EMBED Equation.3 маємо
EMBED Equation.3 . (12)
Зокрема, якщо EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 і
EMBED Equation.3 . (13)
Приклад 4. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець попаде в “десятку”, дорівнює EMBED Equation.3 0,6. Скільки пострілів він повинен зробити, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він попав в “десятку” принаймні один раз?
Розв’язання. За умовами задачі EMBED Equation.3 0,6: EMBED Equation.3 0,4. EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . За формулою (13) EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 . Остання нерівність виконується для EMBED Equation.3 . Отже, стрілець повинен зробити не менше двох пострілів.
2.6. Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.
Нехай дві події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 сумісні, причому відомі ймовірності цих подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 та ймовірність їх сумісної появи EMBED Equation.3 .
Ймовірність появи принаймні однієї з двох сумісних подій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх спільної появи
EMBED Equation.3 . (14)
Дійсно, оскільки події EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 сумісні , то подія EMBED Equation.3 наступить, якщо наступить одна з трьох несумісних подій EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 =( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ).
Подія EMBED Equation.3 наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Аналогічно, подія EMBED Equation.3 наступить, якщо відбудеться одна з двох несумісних подій EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 = ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ); EMBED Equation.3 = ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )
і за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій (формула (1)) маємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ,
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )= EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )+ EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )= EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ).
Таким чином,
EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
Для трьох сумісних подій EMBED Equation.3 формула (14) має вигляд
EMBED Equation.3 . (15)
2.7. Формула повної ймовірності.
Нехай EMBED Equation.3 - несумісні події, які утворюють повну групу (так звані гіпотези), причому відомі їх ймовірності EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Деяка подія EMBED Equation.3 може наступити разом з однією з подій EMBED Equation.3 , причому відомі умовні ймовірності EMBED Equation.3 .
Ймовірність появи події EMBED Equation.3 , яка може відбутися разом з однією з гіпотез EMBED Equation.3 , дорівнює сумі добутків ймовірностей гіпотез на відповідні умовні ймовірності появи події EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . (16)
Це так звана формула повної ймовірності.
Дійсно, подія EMBED Equation.3 наступає разом з однією з подій EMBED Equation.3 , тобто
EMBED Equation.3 .
За теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо
EMBED Equation.3 ,
а використовуючи теорему множення ймовірностей залежних подій EMBED Equation.3 , отримаємо формулу (16).
2.8. Формули Байєса.
Ймовірності EMBED Equation.3 відомі до проведення досліду (так звані апріорні ймовірності). Як зміняться ймовірності гіпотез після проведення досліду? Тобто як обчислити ймовірності гіпотез
EMBED Equation.3 ? Відповідь на це питання дає теорема гіпотез:
Ймовірності гіпотез після проведення досліду, тобто коли відбулася подія EMBED Equation.3 , обчислюються за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (17)
Це формули Байєса.
Дійсно, за теоремою множення ймовірностей залежних подій маємо
EMBED Equation.3 .
Звідки отримаємо формули (17). Ймовірності EMBED Equation.3 називаються апостеріорними, тобто такими, що змінилися після проведення досліду.
Приклад 5. Два стрільці стріляють по мішені незалежно один від одного по одному разу. Ймовірність влучення в ціль для першого стрільця EMBED Equation.3 ; для другого - EMBED Equation.3 . В мішені виявлено одне влучення. Знайти ймовірність того, що влучив перший стрілець.
Розв’язання. Подія EMBED Equation.3 : в мішені виявлено одне влучення. Розглянемо такі гіпотези:
EMBED Equation.3 : обидва не влучили; EMBED Equation.3 : обидва влучили; EMBED Equation.3 - перший влучив, другий не влучив; EMBED Equation.3 - другий влучив, перший не влучив.
Обчислимо ймовірності цих гіпотез: EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Контроль: EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 =0,08+0,48+0,12+0,32=1.
Оскільки умовні ймовірності EMBED Equation.3 =0, EMBED Equation.3 =0, EMBED Equation.3 =1, EMBED Equation.3 =1, то за формулою повної ймовірності (16) EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =0,44.
Отже, шукана ймовірність EMBED Equation.3 .