Ми раніше показали, що однорідне ДР можна звести до вигляду: .(*)
Метод розв’язання однорідних ДР: заміна
, тут - нова невідома функція. Тоді

Після заміни отримаємо ДР з невідомою функцією : . Це буде рівняння з відокремлюваними змінними.
Доведення. Підставимо вирази з таблички-заміни в (*):

-- змінні відокремлюються.
Розв’язавши це рівняння, знайдемо загальний розв’язок . Потім вертаємось до початкової невідомої функції по табличці-заміні: .
Приклад. -- змінні не відокремлюються.
Перевіримо чи воно однорідне:
, f – однорідна функція нульового степеня, то ДР – однорідне.

-- змінні відокремлюються








.
Вернемось до функції у:

- загальний інтеграл початкового рівняння.
Лінійне рівняння І-порядку (ІІІ тип)
ДР І-го порядку називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції та її похідної.
(1) - загальний вигляд лінійного ДР І-го порядку. Тут -- деякі функції від змінної х. (1) називають ще стандартним виглядом лінійного ДР І-го порядку.
Якщо права частина , то називається це рівняння лінійне однорідне, інакше () – лінійне неоднорідне.
Розглянемо спочатку лінійне однорідне рівняння
(2) -- це рівняння з відокремлюваними змінними.


(3) - загальний розв’язок лінійного однорідного.
Метод варіації довільної сталої для лінійного неоднорідного рівняння.
Нехай потрібно розв’язати неоднорідне рівняння (1). Згідно з цим методом спочатку розв’язують відповідне однорідне рівняння (2). Нехай отримали його загальний розв’язок (3). Будемо шукати розв’язок рівняння (1) у такому вигляді
(4) , тобто у загальному розв’язку лінійного однорідного рівняння вважаємо с не сталою, а новою невідомою функцією с(х).
Підставимо (4) в (1):

-- рівняння з відокремлюваними змінними



Отже, загальний розв’язок неоднорідного лінійного рівняння можна подати у вигляді суми часткового розв’язку початкового неоднорідного рівняння (перший доданок (при с1=0)) та загального розв’язку відповідного однорідного рівняння (другий доданок).
ІІ метод для неоднорідного лінійного рівняння – метод Бернуллі
Заміна: , де - нові невідомі функції. Ми таким чином замінили одну невідому функцію на дві, для того щоб на деякому кроці вибрати одну з них так, як нам сподобається.
. Зробимо заміну в стандартному вигляді лінійного рівняння (1):


Функцію v вибираємо так, щоб дужка перетворилася в 0, тоді рівняння буде зовсім простим:
Спочатку розв’язуємо перше рівняння системи, щоб знайти функцію v. Це буде рівняння з відокремлюваними змінними (нам потрібно хоча б одну таку функцію, тому сталу с при розв’язуванні першого рівняння системи не будемо додавати). Потім знайдену функцію v підставляємо в друге рівняння системи, розв’язуючи яке, знаходимо функцію и. Воно теж буде з відокремлюваними змінними. Далі записуємо розв’язок початкового рівняння: y=u*v.
Приклад. -- ДР ?-го пор., лінійне рівняння, неоднорідне. Але ще перевіримо чи воно належить до попередніх типів:

-- змінні не відокремлюються, не однорідне
-- лінійне ДР в стандартному вигляді




? рівняння: - з відокремлюваними змінними




?? рівняння:

-- загальний розв’язок початкового рівняння.
Перевірка:


Підставимо в початкове рівняння:

Отримали справді тотожність.
Відповідь. -- загальний розв’язок початкового рівняння.
Рівняння Бернуллі
. (1)
Це ?V тип, рівняння Бернуллі у стандартному вигляді. Його можна звести до лінійного рівняння таким способом: поділивши обидві частини рівняння на і помноживши на (1- n), отримаємо

. Отримали лінійне рівняння відносно функції
.
Але можна рівняння Бернуллі (1) зразу ж розв’язувати методом Бернуллі, тобто з допомогою заміни .
Приклад.
-- ДР ? пор.
-- змінні не відокремлюються, неоднорідне
-- рівняння Бернуллі (n=2) у стандартному вигляді.



І рівняння: - з відокремлюваними змінними



ІІ рівняння системи: скорочуємо
-- змінні відокремлюються.


. Для інтегралу правої частини використаємо метод
інтегрування частинами:



.

Зауваження. Інколи ДР потрібно переписати, вважаючи букву х - функцією, а букву у незалежною змінною, і тоді воно буде належати до ІІІ чи ?V типу. Для цього варто пам’ятати, що і що лінійне рівняння та рівняння Бернуллі відносно функції x(y) мають вигляд:
, тобто x та y помінялись ролями.
Приклад. -- ДР І-го пор.
-- змінні не відокремлюються, неоднорідне.
Не лінійне і не Бернуллі відносно функції
. Перевернемо обидві частини рівняння:
. Але
-- лінійне відносно функції




І рівняння:



.
ІІ рівняння:

.


-- загальний інтеграл початкового рівняння.
Задача. Торговими установами розглядається продукція, про яку в момент часу t з числа потенційних покупців N знає лише x покупців. Після проведення рекламних оголошень швидкість зміни кількості покупців, що знають про продукцію, пропорційна як кількості покупців, які не знають про товар, так і кількості покупців, яким про нього нічого невідомо. Відомо, що в початковий момент часу про товар дізналося чоловік (час відраховується після рекламних оголошень), -- задане число (>1). Знайти закон зміни залежності від часу кількості x покупців, що знають про товар.
Розв’язання. - кількість покупців, що знають про товар в момент часу t.

- швидкість зміни кількості покупців, що знають про товар.
-- ДР І-го порядку з відокремлюваними змінними












- загальний інтеграл.
Виразимо x і підставимо початкову умову.


-- загальний розв’язок.
Підставимо знайдену сталу с: .
Відповідь:
( k (k > 0)– коефіцієнт пропорційності, який можна було б знайти, якби було ще одне значення для х в деякий момент часу t ).
Проаналізуємо відповідь: -- правильно
-- спадна функція при , то x(t) – зростаюча функція при .
При , тобто через нескінченно великий проміжок часу всі потенційні покупці дізнаються про товар.