§4.Випадкові величини. Закони розподілу випадкових величин.
4.1. Дискретні і неперевні випадкові величини.
В теорії ймовірностей поряд з поняттям випадкової події і ймовірності одним з основних є поняття випадкової величини. Наприклад, час безвідмовної роботи деякого приладу, число появ герба при трьох підкиданнях монети і т.п.
Назвемо випадковою величину, пов’язану з даним дослідом, яка при кожному здійсненні досліду може приймати те чи інше числове значення, залежно від випадку.
Між випадковими подіями і випадковими величинами існує тісний зв’язок. Випадкова подія
є якісною характеристикою випадкового результату досліду, а випадкова величина – його кількісною характеристикою. Випадкові величини за своїм характером поділяються на дискретні і неперервні.
Дискретна випадкова величина - це така величина, яка може приймати лишень розрізнені (дискретні, перервні) значення. Іншими словами, вона має таку властивість, що кожне з її можливих значень має окіл, який вже не містить жодного з інших значень цієї ж величини. Всі можливі значення дискретної випадкової величини можуть бути перенумеровані
EMBED Equation.3 .
Випадкова величина EMBED Equation.3 називається неперервною, якщо сукупність її можливих значень цілком заповнює деякий проміжок числової осі, який може бути скінченним або нескінченним. Наприклад, випадкова величина EMBED Equation.3 - час безвідмовної роботи приладу, - неперервна, оскільки її можливе значення EMBED Equation.3 .
4.2. Закон розподілу випадкової величини.
Важливою характеристикою випадкової величини є розподіл ймовірностей цієї величини. Справа в тому, що випадкова величина може приймати ті чи інші числові значення, взагалі кажучи, із різними ймовірностями.
Приклад 1. При трьох підкиданнях монети випадкова величина EMBED Equation.3 - число появ герба – може приймати значення EMBED Equation.3 із відповідними ймовірностями, які обчислимо за формулою Бернуллі
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями випадкової величини і ймовірностями, з якими приймаються ці значення, називається законом розподілу ймовірностей випадкової величини.
Для дискретної випадкової величини EMBED Equation.3 закон розподілу може бути заданий таблично або графічно. В першому випадку закон розподілу називається рядом розподілу ймовірностей випадкової величини EMBED Equation.3 .

В першому рядку таблиці записують всі можливі значення випадкової величини, а в
другому - відповідні їм ймовірності. Оскільки події EMBED Equation.3 становлять повну групу несумісних подій, то за теоремою додавання ймовірностей маємо
EMBED Equation.3 , (1)
тобто сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці.
Графічне зображення закону розподілу називається многокутником розподілу: по осі абсцис відкладаємо можливі значення EMBED Equation.3 випадкової величини EMBED Equation.3 , а по осі ординат – ймовірності EMBED Equation.3 цих значень.
Для розглянутого вище прикладу 1 ряд і многокутник розподілу мають вигляд відповідно

Закон розподілу неперервної випадкової величини може бути заданий графічно або аналітично EMBED Equation.3 (з допомогою формули). Табличне задання неможливе, оскільки ймовірність отримати будь-яке певне значення неперервної величини дорівнює нулеві, що пов’язане не з неможливістю самої події (попадання в певну точку на числовій осі), а з безмежно великим числом можливих випадків.
Тому для неперервних випадкових величин (як, зрештою, і для дискретних) визначають ймовірність попадання в деякий інтервал числової осі.
Ймовірність попадання випадкової величини EMBED Equation.3 в інтервал EMBED Equation.3 визначають як ймовірність події EMBED Equation.3
і позначають
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (2)
(ліву межу інтервалу включають, а праву не включають).
4.3. Функція розподілу.
Для кількісної оцінки закону розподілу випадкової величини (дискретної або неперервної) задають функцію розподілу ймовірностей випадкової величини, яку визначають як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, менше деякого фіксованого числа EMBED Equation.3 і позначають
EMBED Equation.3 (3)
або EMBED Equation.3 .
Функцію розподілу EMBED Equation.3 інколи називають інтегральною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини.
Знаючи функцію розподілу EMBED Equation.3 , можна обчислити ймовірність попадання випадкової величини в деякий інтервал EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 . (4)
Дійсно, випадкова подія EMBED Equation.3 є об’єднанням двох несумісних подій EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Отже, за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій маємо
EMBED Equation.3 ,
звідки EMBED Equation.3 ,
або, враховуючи позначення (3) EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3
Встановимо деякі властивості функції розподілу.
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 є неспадною функцією, тобто EMBED Equation.3 , якщо EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . Значення функції розподілу належать відрізку EMBED Equation.3 , тобто EMBED Equation.3 .
Інакше: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 . Функція розподілу неперервна зліва:
EMBED Equation.3 .
Для прикладу 1 побудуємо функцію розподілу випадкової величини Х , заданої рядом розподілу

При EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3
при EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Нехай функція розподілу деякої неперервної випадкової величини Х задана у вигляді
EMBED Equation.3 .
Визначити значення коефіцієнта EMBED Equation.3 і побудувати графік функції.
Оскільки функція неперервна зліва, то при EMBED Equation.3 маємо EMBED Equation.3 , звідки EMBED Equation.3 .
4.4. Щільність розподілу.
Закон розподілу ймовірностей неперервних випадкових величин може бути заданий також і щільністю розподілу.
Нехай неперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу EMBED Equation.3 , неперервною і диференційовною. Ймовірність попадання цієї випадкової величини в деякий інтервал EMBED Equation.3 знайдемо на підставі співвідношення (4):
EMBED Equation.3
тобто як приріст функції розподілу на цьому інтервалі.
Відношення EMBED Equation.3 виражає середню ймовірність, яка приходиться на одиницю довжини інтервалу.
Перейшовши до границі при EMBED Equation.3 , отримаємо
EMBED Equation.3 .
Функція EMBED Equation.3 (5)
називається щільністю розподілу неперервної випадкової величини Х , а її графік – кривою розподілу. Іноді вживають термін – диференціальна функція розподілу .
З означення (5) випливає, що EMBED Equation.3 . (6)
Використавши формули (4) і (6), виразимо ймовірність попадання випадкової величини в заданий інтервал через щільність розподілу
EMBED Equation.3 . (7)
Дійсно, EMBED Equation.3 .
Встановимо деякі властивості щільності розподілу:
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 є невід’ємною функцією, тобто EMBED Equation.3 .
Дійсно, оскільки EMBED Equation.3 неспадна функція, то EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 .
Це випливає із формули (6) і властивості EMBED Equation.3 для функції розподілу EMBED Equation.3 .
Геометричне тлумачення щільності розподілу випливає із формули (7): ймовірність попадання випадкової величини Х обчислюється як площа криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком кривої EMBED Equation.3 , знизу – відрізком EMBED Equation.3 осі абсцис, зліва і справа - відрізками прямих EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Властивість EMBED Equation.3 геометрично означає, що вся площа, обмежена кривою розподілу і віссю абсцис, дорівнює одиниці.
4.5. Приклади основних законів розподілу:
а) дискретних випадкових величин:
1. біномний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за біномним законом, якщо вона приймає значення EMBED Equation.3 із ймовірностями
EMBED Equation.3 .
Функція розподілу EMBED Equation.3 . Очевидно, що EMBED Equation.3 =0 при EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 =1 при EMBED Equation.3 .
2. розподіл Пуассона: випадкова величина Х називається розподіленою за законом Пуассона з параметром EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 пр), якщо вона приймає значення EMBED Equation.3 із ймовірностями EMBED Equation.3 , причому EMBED Equation.3 дуже мале, а EMBED Equation.3 дуже велике число.
Функція розподілу EMBED Equation.3 .
3. геометричний розподіл:
Нехай проводиться серія незалежних дослідів, в кожному з яких подія А може з’явитися з
деякою ймовірністю р. Досліди продовжуються до першої появи події А, після чого дослід припиняється.
Нехай випадкова величина Х – кількість проведених дослідів до першої появи події А.
Можливі значення величини Х: EMBED Equation.3 . Подія EMBED Equation.3 означає, що в перших EMBED Equation.3 дослідах подія А не наступила, а в EMBED Equation.3 -му досліді наступила. Ймовірність EMBED Equation.3 дорівнює
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Отже закон розподілу величини Х є таким

Цей розподіл називається геометричним .
Очевидно, що EMBED Equation.3 ,
як сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
Функція розподілу EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 =0 при EMBED Equation.3
б) неперервних випадкових величин.
4. рівномірний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою рівномірно на інтервалі EMBED Equation.3 , якщо її щільність розподілу стала на цьому інтервалі
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Використовуючи властивість щільності розподілу, знайдемо EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 .
Легко бачити, що EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3
5. показниковий розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за показниковим (експоненційним) законом з параметром EMBED Equation.3 , якщо її щільність розподілу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
Використовуючи формулу (6) EMBED Equation.3 , отримаємо вираз для функції розподілу
EMBED Equation.3 .
6. нормальний розподіл: випадкова величина Х називається розподіленою за нормальним законом з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , якщо її щільність розподілу
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Функція розподілу має вигляд EMBED Equation.3 .
Якщо зробити заміну EMBED Equation.3
то EMBED Equation.3 ,
де EMBED Equation.3 - функція Лапласа.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ;
якщо EMBED Equation.3 то EMBED Equation.3 ,
але
EMBED Equation.3 .
Ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення з інтервалу EMBED Equation.3 , обчислюється за формулою
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .