Невизначений інтеграл. Первісна
(Б-Н 133-152)
План
Первісна та її властивості.
Невизначений інтеграл та його властивості.
Таблиця невизначених інтегралів або первісних.
Існування невизначеного інтегралу.
Безпосерднє інтегрування і метод розкладу.
Метод підведення під знак диференціалу.
Метод заміни змінної.
Метод інтегрування частинами.
Означення Нехай функція однієї змінної задана на деякому інтервалі І (відкритому чи закритому), ( EMBED Equation.3 ).
Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на І, якщо F’(x)=f(x) при х є І.
Приклад. 1) f(x)=1, x є R, то F(x)=x 2). f(x)=x, x є R, то F(x)= EMBED Equation.3 , бо EMBED Equation.3 x є R.
Властивості первісних:
1. F(x) – первісна f(x) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
2. Якщо F(x) – первісна f(x), x є І, то F(x)+с, де с є R – стала також первісна.
EMBED Equation.3 , х є І.
Приклад. 1) f(x)=х, то F(x)= EMBED Equation.3 , або F(x)= EMBED Equation.3 .
3. Якщо F(x) і G(x) – первісні для f(x), x є I, то існує с є R, що F(x) = G(x) + с. EMBED Equation.3 х є І.
Використовуючи т. Лагранжа легко довести, що якщо похідна функції на цілому проміжку дорівнює 0, то ця функція є сталою на цьому проміжку:
EMBED Equation.3 , де с є (а,х). Але EMBED Equation.3 то EMBED Equation.3
Тоді EMBED Equation.3 .
4. Якщо F(x) – первісна f(x), то EMBED Equation.3 є первісною f(аx) (а–число, EMBED Equation.3 ).
EMBED Equation.3
Приклад. Для EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,
для EMBED Equation.3 первісна EMBED Equation.3 для EMBED Equation.3 первісна EMBED Equation.3 .
5. Якщо F(x) – первісна f(x), то F(x+b) є первісною для f(x+b).
EMBED Equation.3 .
6.F1(x) i F2(x) – первісні для f1(x) i f2(x) відповідно, то F1(x) EMBED Equation.3 F2(x) первісна для f1(x) EMBED Equation.3 f2(x).
7. Якщо F(x) – первісна f(x), то kF(x) – первісна для kf(x), де k – число.
Невизначений інтеграл
Означення. Якщо F(x) – первісна f(x), x є І, то вираз F(x)+с, де с – будь-яке число називається невизначеним інтегралом функції f(x) (або виразу f(x)dx) і записується EMBED Equation.3 .
Вираз EMBED Equation.3 називається підінтегральним виразом, EMBED Equation.3 називається підінтегральною функцією.
Приклад. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3
Властивості невизначених інтегралів
1. EMBED Equation.3 - операція інтегрування і взяття похідної взаємно обернені.
2. EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 , значки EMBED Equation.3 і d взаємно скорочуються .
3. EMBED Equation.3 .
4. EMBED Equation.3 .
5. Оскільки формула для диференціалу EMBED Equation.3 інваріантна відносно х і значки EMBED Equation.3 взаємно скорочуються то, взявши з обох боків інтеграли отримаємо, що формула для інтеграла має таку ж властивість, тобто EMBED Equation.3 правильна і тоді коли х є внутрішня функція, тобто EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Таблиця невизначених інтегралів (первісних)
(отримується із таблиці похідних)
1) EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3 , n є R, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
3) EMBED Equation.3
4) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
5) EMBED Equation.3 6) EMBED Equation.3
7) EMBED Equation.3 8) EMBED Equation.3
9) EMBED Equation.3 a) EMBED Equation.3
10) EMBED Equation.3 a) EMBED Equation.3
11) EMBED Equation.3 12) EMBED Equation.3
Вправа. Формули 9а, 10а, 11, 12 перевірити, взявши похідні з правих частин.
Про існування інтегралу (первісної)
Операція взяття інтегралу (знаходження первісної) називається інтегруванням. Інтегрування – це обернена операція до диференціювання (знаходження похідної або диференціала).
Ми знаємо, що похідна елементарної функції завжди елементарна функція (видно з таблиці похідних).
Для інтегрування це не виконується, тобто інтеграл елементарної функції не завжди є елементарною функцією.
Приклади функцій, інтеграли від яких не є елементарними функціями
1) EMBED Equation.3 - інтегральний синус; 2) EMBED Equation.3 - інтегральний косинус;
3) EMBED Equation.3 - інтегральна експонента,
4) EMBED Equation.3 - інтегральний логарифм;
5) EMBED Equation.3 - інтеграл Пуассона; 6) EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 - інтеграли Френеля.
Теорема (про існування первісної)
Якщо f(x) неперервна на І, то існує її первісна на цьому інтервалі, але не обов’язково це буде елементарна функція.
Знайти невизначений інтеграл означає або знайти первісну, звівши інтеграл до табличних, або довести, що первісна не є елементарною функцією, звівши інтеграл до цих відомих інтегралів.
Безпосереднє інтегрування і метод розкладу
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 -- метод розкладу.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Метод розкладу: EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Метод підведення під знак диференціалу
Базується на властивості інваріантності інтегралу, диференціалу та властивостях диференціалу 1) EMBED Equation.3 , 2) EMBED Equation.3 3) EMBED Equation.3 і формули підведення під знак диференціалу EMBED Equation.3 (тут х може бути внутрішньою функцією).
Приклади: 1) EMBED Equation.3
2) EMBED Equation.3
3) EMBED Equation.3
4) EMBED Equation.3
5) EMBED Equation.3
Отже, за цим методом ми змінюємо вираз під знаком диференціалу за правилами, стараючись його зробити таким як внутрішня функція в підінтегральному виразі.