Лекція 6. Числові характеристики випадкових величин
План
1. Математичне сподівання випадкової величини і її властивості
2. Дисперсія випадкової величини і її властивості
3. Моменти, асиметрія, ексцес
4. Мода, медіана і квантилі
Математичне сподівання
Математичним сподіванням або середнім значенням дискретної випадкової величини називають число, яке обчислюється за формулою: (1)
Математичним сподіванням або середнім значенням абсолютно неперервної випадкової величини називається число, яке обчислюється за формулою: (2)
Не кожна випадкова величина має математичне сподівання тому, що ряд або інтеграл може бути розбіжний.
Статистичний зміст математичного сподівання
Нехай провели велику кількість N незалежних спостережень над вип. величиною Х (Х – дискретна, з можливими значеннями ). Обчислимо середнє арифметичне
() всіх значень в.в. Х, які отримали. Позначимо їх . Тоді
(без повторів)=
= при великих N.
Отримали формулу (1).
Отже, математичне сподівання це приблизно середнє арифметичне результатів багатьох незалежних спостережень над випадковою величиною – статистичний зміст математичного сподівання.
Геометричний (фізичний) зміст
За такою формулою (2) обчислюється абсциса центра мас нескінченної криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), y=0, якщо її площа дорівнює 1. Отже, математичне сподівання це абсциса центра мас криволінійної трапеції під графіком щільності.

f

ц.м.

MX x

Властивості математичного сподівання

Із статистичного змісту середнього значення випливають властивості
МС=С (С – стала випадкова величина)
Якщо X ? 0, тобто Р(X ? 0)=1, то МХ ? 0
Якщо Х ? Y, тобто Р(Х ? Y)=1, то МХ ? МY
Р(а ? X ? b)=1, то МХ є [а; b]
М(X+С)=МХ+С (С– стала випадкова величина)
М(сX)=cМХ, c – число
М(X+Y)=МХ+МY
М(X-Y)=МХ-МY
М(с1X1+с2X2+…+сnXn)=c1MX1+c2MX2+…cnMXn , с1,с2,...,сn – числа
Якщо X, Y – незалежні випадкові величини ( тобто, для будь-яких чисел t, s
Р((X<t)(Y<s))=P(X<t)(Y<s)), тоді М(ХY)=МХМ Y
Доведення для дискретних випадкових величин:
X
x1
x2
...
xn

P
p1
p2
...
pn

Y
у1
у2
…

уk

P
q1
q2
…

qk

XY
х1у1
x1у2
…
x1уk
x2у1
...
х2уk








P
p1q1
p1q2
…
p1qk
p2q1
...
p2qk








Тут використано те, що Р(ХY = х1у1)=Р((X=х1)(Y=у1)) (незал.)= р1q1 і т. д.
М(ХY )= (х1у1 р1q1+х1у2 р1q2 +...+х1уn р1qk)+(х2у1 р2q1 +...+х2уn р2qk)+...=
=(х1р1+х2р2…хnpn)(y1q1+y2q2+…ynqn)
11. Якщо випадкові величини X1, X2 ,..., Xn незалежні в сукупності, то
М(X1 X2 …Xn)=МХ1МХ2…МХn
12. Нехай X – дискретна випадкова величина. Y=g(X) – теж випадкова величина (g – дійсна функція дійсного аргументу). Тоді Mg(X)=g(x1)р1+g(x2)p2+...
13. Нехай X – неперервна випадкова величина, Y=g(X), тоді .
Дисперсія і середнє квадратичне відхилення
Відхиленням випадкової величини Х називають випадкову величину Х-МХ, тобто відхилення від її середнього значення.
Дисперсією випадкової величини називають математичне сподівання квадрату її відхилення.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають квадратний корінь з дисперсії
Механічний зміст дисперсії: Дисперсія це момент інерції підграфіка щільності відносно вертикальної прямої х=МХ.
Якщо Х – дискретна випадкова величина то DX=М(Х-MX)2=(x1-MX)2p1+(x2-MX)2p2+... ( з властивості 12 МХ).
Якщо Х – неперервна випадкова величина то (з властивості 13 МХ).
Властивості дисперсії
DX?0
DX=MX2-(MX)2
Доведення. DX=M(X-MX)2=M(X2-2XMX+(MX)2)=MX2-2MXMX+(MX)2=MX2-(MX)2
Врахувавши вл.1, отримуємо, що MX2?(MX)2
DC=0
D(Х+c)=DX
D(сX)=с2DX
D(сX)=M(сX-MсX)2=M(с2(X-MX)2)=с2 DX
Якщо Х, Y – незалежні випадкові величини, то D(Х±Y)=DX+DY.
Доведення. D(X±Y)=(вл.2)=M(X±Y)2-(M(X±Y))2=MX2 ±2МХМY+MY2 - (MX)2
2МХМY – (MY)2=DX+DY.
(Тут використана властивість математичного сподівання добутку незалежних випадкових величин M(XY)=MXMY.)
Якщо Х1,…, Хn – попарно незалежні випадкові величини, то
D(Х1+…+ Хn)=DХ1+…+DХn (доводиться аналогічно).
Задача. Автокран обслуговує 2 будівельних майданчика. Ймовірність того, що на протязі дня буде потреба в роботі на першому майданчику рівна 0,6, а на другому – 0,8. Знайти закон розподілу кількості майданчиків на яких буде потреба в роботі, обчислити МХ, DX, .
Х
0
1
2

Р
0,08
0,44
0,48

А1 – перший майдан потребує роботи Р(А1)=0,6
А2 – другий майдан потребує роботи Р(А2)=0,8
Р(Х=0)=Р()=0,40,2=0,08
Р(Х=1)=Р()=0,60,4+0,40,8=0,44
Р(Х=2)=Р(А1А2)=0,48
МХ=00,08+10,44+20,48=1,4
DX=MX2 - (MX)2
MX2=020.08+120.44+220.48=2.36
DX=2,36-(1,4)2=2,36-1,96=0,4 =?0.63
Задача. Задана функція розподілу .
Знайти МХ, DX, .
f(x)= =
DX=MX2-(MX)2 , DX=
=
f
Моменти, асиметрія, ексцес
Моментом (початковим моментом) порядку к називають число mk=MXk
m1=MX – математичне сподівання
DX=MX2 - (MX)2 =m2 - m12
Центральним моментом порядку к називається число ?k=M(X-MХ)k
Абсолютним моментом порядку к називається число М|X|k
Абсолютним центральним моментом порядку к називається число
ск=М|X-MX|k
Можна встановити зв’язок між центральними та початковими моментами. Наприклад, ?2= m2-m12 ?3= M(X-MХ)3=m3-3m2m1+3m13-m13 = m3-3m2m1+2m13.
Вправа. Виразити ?4 через початкові моменти.
Асиметрією випадкової величини Х називають число АsX= ?3 /
Якщо графік щільності розподілу симетричний відносно прямої Х=МХ, то всі непарні центральні моменти рівні нулю і AsХ=0.
Ексцесом випадкової величини Х називають число ЕхХ= ?4 / -3.
Мода, медіана, квантилі
Медіаною випадкової величини Х називають число Т=МеХ, для якого ймовірність
Р(Х<Т)?1/2, i P(X>T) )?1/2.
F
1
F(T) ?1/2 1- F(T+0)?1/2
F(T+0)?1/2
Ме x F f
f 1
S1 S2 1-? S1= 1-????????S2=?

Me x
Випадкові величини можуть мати одну або безліч медіан.
Квантилем рівня ? називають таке число Т, що виконується формулa
F(T)?1??? F(T+0)?1-??? При ?=1/2 квантиль – це медіана. Позчається
Мода для неперервних випадкових величин. Розподіл випадкової величини називається одновершинним, якщо щільність розподілу має єдину точку максимуму і є неперервною зліва або справа в цій точці. Тоді ця точка максимуму називається модою, якщо розподіл не одновершинний, то моди немає.
f(MоX)>f(t) , t e R, t?MоХ.
y=f(t) P
МоХ t
МоХ t
Модою дискретної випадкової величини називають найбільш імовірне її значення, тобто точка максимуму многокутника розподілу, якщо вона єдина.
Р(Х=МоХ) >Р(Х=t) при t? МоХ.
Якщо графік щільності або многокутник розподілу одновершинний і симетричний відносно прямої t=, то = МХ= МоХ= МеХ, AsX=0.
f
t
Якщо МХ> МeХ> МoХ і AsX>0, то кажуть, що є правостороння асиметрія, якщо поміняти всі знаки > на < то – лівостороння, в інших випадках кажуть, що асиметрія нечітко виражена.
правостороння асиметрія.
f центр мас

MoMeMX