Лабораторна робота №5 Розв’язування системи нелінійних рівнянь Завдання: Знайти розв’язок системи нелінійних рівнянь (1.1) методом простих ітерацій і методом Ньютона. Початкове наближення коренів знайти графічним методом. Розв’язок Побудуємо графіки функцій (1.2)
використовуючи інструментарій пакету MATLAB.
Із графіків рис.1 знайдемо координати точки М їх перетину( а саме - М(2( 0.5). а) метод простих ітерацій Подамо систему рівнянь (1.1) у вигляді (1.2) Перевіримо чи виконуються умови збіжності ітераційного процесу( а саме: (1.3) Для цього знайдемо вирази для похідних і значення похідних в точці M(x0, y0) нульового наближення.
Таким чином в точці М умови (1.3) виконуються( а отже представлення системи у вигляді (1.2) дозволить отримати збіжний ітераційний процес отримання розв’язку даної системи нелінійних рівнянь методом простих ітерацій. На рис.2. наведена блок-схема методу простих ітерацій для розв’язування системи нелінійних рівнянь. Програма Результати виконання програми: x1 y1 k (
1.79992 0.58273 4 10-4
1.799929 0.582694 6 10-5
1.7999293 0.5826936 6 10-6
б) метод Ньютона Запишемо систему рівнянь у вигляді
Знайдемо часткові похідні функцій по змінних x та y.
Знайдемо значення поправок згідно формул:
Тоді наступне наближення значення кореня можна обчислити як:
