?? ?? ?? ) ?? ( Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? ( Ф ??, ?? ?? ??+1 ) ?? + ( Ф ?? , ?? ?? ) тобто, (Ф, ?? (??+1) ) ?? = [Ф, ?? (??) ] ?? (Ф, ?? (??+1) ) ?? + (Ф, b ) ?? . (8.17) Звідси і з (8.11) випливає рівність (8.16). При R=1 інтераційний процес ідентичний з процесом (2.12). Тема 8.3. Нехай ?? ???? (??) означені за допомогою формул (8.12). Якщо матрицю ?? (??) = { ?? ???? (??) } з числовими елементами ?? ???? (??) означено за формулами ?? ???? (??) = ?? ???? ?
Ф ??,
?? ?? ?? ) ?? ( Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? = Ф ??,
?? ????
?? ?? ?? ) ?? ( Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? , (8.18) то при кожному n=0.1,... справджуються рівності (7.5), тобто, рівності [Ф, ?? (??) ] ?? + ?? (??) = ?. (8.19) Доведення. Використаємо співвідношення (8.11), (8.12), (8.18) та (7.1). Отримаємо: (Ф ??,
?? ???? (??) ) ?? + ?? ???? (??) = (Ф ??, ?? ????
?? ?? ?? ) ?? + Ф ??,
?? ????
?? ?? ?? ) ??
( Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? = A ???? ?
Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? + ?? ???? ?
Ф ??,
?? ?? ?? ) ?? ( Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? = ?? ???? Цим тему доведено. - 6 - Таким чином, багатопараметричнний метод інтеративного агрегування, побудований за допомогою формул (8.11), можна розглядати як окремий випадок багатопарамеричного агрегаційно-інтеративного алгоритму (7.6), (7.7). Винятковість алгоритму (8.11) за цієї ситуації проявляється в тому, що вибір ?? (??) та ?? (??) за формулами (8.12) та (8.18) забезпечує достовірність співвідношень (8.19). Розглянемо особливий випадок, який виокремлюється припущення, що справджується рівність (5.27) і тому множина ?? 0 означується як сукупність таких X ? E, для яких матимемо рівність (5.32). Тема 8.4 Нехай справджуються рівності (5.27) і маємо нерівність det (I - ?) ? 0 Тоді для деякого ?? (0) ? E одна інтерація, зреалізована за допомогою формули (8.11), призводить до співвідношення ?? (1) ? ?? 0 , де множина ?? 0 означена за допомогою рівності (5.32). Доведення. За цих обставин оператори ?? ???? ? в формулах (7.17) можна вважати нульовими, тобто, можна вважати, що маємо рівності: ?? ???? ?
Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? ( Ф ??, ?? ?? ?? ) = ?? ???? ( Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? ( Ф ??, ?? ?? ?? ) ?? = ?? ???? . Отже, [Ф, ?? (??) ] = ?. Використавши міркування, подібні до тих, які використані для доведення рівності (8.17), можна з рівностей (8.11) отримати рівність (Ф, ?? (??+1) ) ?? = ? (Ф, ?? (??+1) ) ?? + (Ф, b ) ?? . Звідси випливає, що (Ф, ?? (??+1) ) ?? = (I - ?) (Ф, b ) ?? (8.21) При n=0 отримаємо рівність, яка означає, що тему доведено. - 7- Зазначимо, що використані при обгрунтуванні теми 8.4 міркування дозволяють зробити також висновок про те, що у випадку, коли ?? (??) , ?? (??) підібрані за формулами (8.12), (8.18), інтерації (8.11) при n ? 1 тотожні з отриманими за допомогою звичайного методу послідовних наближень ?? (??+1) = A ?? (??) +b інтераціями з одним і тим самим початковим наближенням ?? 0 ? ?? 0 . Приєднаємо до рівняння (5.26) допоміжну систему рівнянь ?? ?? = ??=1 ?? ?? ????
?? ?? + ??=1 ?? ( ?? ???? ?
Ф ?? , ?? ?? (??) ) ?? (s = 1, ?? ). (8.22)
Використовуючи формули (8.12) , (8.18) , алгоритм (8.11) подамо у вигляді інтераційного процесу, який описується формулами