Варіант №8
Завдання 1.
Дано многочлен:
Р(х)=0,22х5-3,27х4-2,74х3+2,81х2-3,36х+2
Використовуючи схему Горнера, знайти значення Р(?), де ?=0,80+0,05*8=1,2
Схема Горнера має вигляд:

де в нашому випадку с= ?=1,2
За цією схемою складаємо таблицю:
0,22
-3,27
-2,74
2,81
-3,36
2

0,22
-3,006
-6,3472
-4,8066
-9,128
-8,9536


1,2
Отже, як бачимо Р(?)=-8,9536
Розрахунки перевіримо за допомогою ЕОМ, де х=1,2
Р(1,2)=0,22*1,25-3,27*1,24-2,74*1,23+2,81*1,22-3,36*1,2+2=-8,954
> розрахунок виконаний вірно, використовуючи схему Горнера Р(?)=-8,9536
Завдання 2.
Дана система рівнянь, яка задана матрицею коефіцієнтів А і матрицею вільних членів b. Знайти значення невідомих методом простої ітерації з точністю ?=10-4
;
;
Оскільки, одна з головних умов збіжності ітераційного процесу є діагональна перевага, тому у матриці переставимо стовпці так, що 4-й стане першим, 3-й – другим, 2-й – третім, 1-й – четвертим. При цьому вектор розв’язків набуде вигляду:

Складемо систему:

Замінемо нашу матрицю еквівалентною системою, виразивши хі:





то процес ітерації збігається до єдиного розв’язку цієї системи!
В якості початкового вектора х(0) візьмем стовпчик вільних членів

Обчислення будим проводити доки величини не будуть менше ?= ? = 0.001
Обчислюєм:
при k=1
x1 = 0.5391 - 1.2203 • 0.1639 - 0.2315 • 0.032 - 1.0814 • 0.096 = 0.2278
x2 = 1.2203 - 0.5391 • 0.0571 - 0.2315 • 0.1538 - 1.0814 • 0.2622 = 0.8703
x3 = 0.2315 - 0.5391 • 0.1012 - 1.2203 • 0.0953 - 1.0814 • 0.5165 = -0.4979
x4 = 1.0814 - 0.5391 • 0.1703 - 1.2203 • 0.2502 - 0.2315 • 0.183 = 0.642
при k=2
х1(2)=0.5391 - 0.8703 • 0.1639 - (-0.4979) • 0.032 - 0.642 • 0.096 = 0.3507
х2(2)=1.2203 - 0.2278 • 0.0571 - (-0.4979) • 0.1538 - 0.642 • 0.2622 = 1.1155
х3(2)=0.2315 - 0.2278 • 0.1012 - 0.8703 • 0.0953 - 0.642 • 0.5165 = -0.2061
х4(2)=1.0814 - 0.2278 • 0.1703 - 0.8703 • 0.2502 - (-0.4979) • 0.183 = 0.916
при k=3
х1(3)=0,275
х2(3)= 0,992
х3(3)= -0,383
х4(3)= 0,78
при k=4
х1(4)=0,314
х2(4)= 1,059
х3(4)= -0,294
х4(4)= 0,857
при k=5
х1(5)=0,293
х2(5)= 1,023
х3(5)= -0,344
х4(5)= 0,817
Далі розрахунки приведемо в таблиці:
N
x1
x2
x3
x4

1
0.228
0.87
-0.498
0.642

2
0.351
1.116
-0.206
0.916

3
0.275
0.992
-0.383
0.78

4
0.314
1.059
-0.294
0.857

5
0.293
1.023
-0.344
0.817

6
0.304
1.042
-0.318
0.839

7
0.298
1.032
-0.332
0.827

8
0.301
1.037
-0.324
0.833

9
0.299
1.034
-0.328
0.83

10
0.3
1.036
-0.326
0.832

11
0.3
1.036
-0.327
0.831

12
0.3
1.036
-0.327
0.831



Ці значення менше заданого числа ?, тому в якості рішення візьмемо:
х1=0.3 х2= 1.036 х3= -0.327 х4= 0,831

Перевірка (за допомогою Mathcad):







Завдання 3.
Обернути матрицю методом розбиття її на клітини:
S = .
Нехай S=; тоді S-1= , де
N=(D - CA-1B)-1, L= -A-1BN, M= - NCA-1, K=A-1- A-1BM
Для матриці 2×2 обернена матриця знаходиться за формулою:
де визначник матриці
Послідовно знаходимо:
1. A=, =, A-1=
2. A-1B=
3. CA-1=
4. CA-1B=
5. D - CA-1B==N
6. N=, = ;
N=
7. L= -A-1BN=
8. M= - NCA-1=
9. K= A-1- A-1BM=
Тоді остаточно обернена матриця дорівнює:
10. S-1=

Перевірка (за допомогою Mathcad):






Завдання 4.
Комбінованим методом хорд і дотичних вирішити рівняння третього ступеня, вирахувати корінь з точністю до 0,001:
х3-3х2+2,5=0>f(x)= х3-3х2+2,5
Находимо першу похідну:
Находимо другу похідну:
Потрібно визначити інтервал на якому будемо шукати розв’язок.
Прирівнявши першу похідну до нуля, ми можемо отримати критичні точки даної функції.

Тепер ми можемо найти інтервали зростання та спадання функції:
функція зростає на інтервалі
і спадає на інтервалі
Підставивши в початкове рівняння значення критичних точок, маємо результат
для і для
Далі, прирівнявши другу похідну до нуля, ми можемо точку перегину, тобто найти інтервал на якому функція опукла або увігнута:


Находимо інтервал, де функція пересікає вісь ОХ.
Очевидно, що при ,а применша нуля, тому одна точка пересічення осі буде на даному інтервалі
Розглянемо інші два інтервали:
Оскільки при значення функції від’ємне, то методом половинного ділення будемо звужувать проміжок:
x
f(x)

-50
-1.325*105

-25
-1.75*104

-12
-2.158*103

-6
-321.5

-3
-51.5

-1
-1.5

0
2.5

Отримаємо ще один інтервал
Наступний буде від 2 і до безкінечності. проведемо аналогічні обчислення:
x
f(x)

50
1.175*105

25
1.375*104

12
1.298*103

6
110.5

3
2.5

1
0,5

2
-1,5

Отримаємо інтервал
На основі даних обчислень будуємо графік:

Далі обчислюємо значення функції комбінованим методомом хорд і дотичних із точністю ?=0,001:
На інтервалі :
Оскільки на [a; b] , тоді ,
Використаємо формулу

початкове наближення .









розрахунок закінчений
Відповідь:-0,81
На інтервалі :
Оскільки на [a; b] , тоді ,
Використаємо формулу

початкове наближення .






розрахунок закінчений
Відповідь:1,168
На інтервалі :
Оскільки на [a; b], тоді ,
(2.5)
початкове наближення .









розрахунок закінчений
Відповідь:2,642
Перевірка (за допомогою Mathcad):
Використовуючи функції Polyroots знайти всі корені степеневого рівняння




Завдання 5.
Знайти власні числа і власні вектори матриці методом безпосереднього розгортання з точністю до 10-3.

1) Запишемо характеристичне рівняня:

Знаходимо корені: , тому
Будуємо графік функції. Складемо приблизну таблицю значень і зміни знака




Перший корінь лежить на інтервалі (-6;-5), другий – на інтервалі (-4;-3),
третій – на інтервалі (6;7)
1) уточнення першого кореня комбінованим методом хорд і дотичних:



інтервал (-6;-5)
Оскільки на [a; b] , тоді ,
Використаємо формулу

початкове наближення .








розрахунок закінчений
Відповідь: ?1=-5,517
інтервал (-4;-3)
Оскільки на [a; b], тоді ,
(2.5)
початкове наближення .








розрахунок закінчений
Відповідь: ?2=-3.608
інтервал (6;7)
Оскільки на [a; b], тоді ,
(2.5)
початкове наближення .








розрахунок закінчений
Відповідь: ?3=6.126
Шукані власні числа: ?1=-5,517, ?2=-3.608, ?3=6.126
Знаходимо власні вектори, що відповідають знайденим власним числам.
Для цього підставляємо власні значення по черзі в систему:

1) При :?1=-5,517отримаємо СЛАР:

Ця СЛАР має розв’язок так як визначник рівний нулю. Розв’язок можна отримати скориставшись будь-якими двома рівняннями, на приклад друге і третє:

або

Для того щоб норма вектора була рівна одиниці, поділимо всі його координати на найбільшу з них по абсолютній величині; тоді отримаємо
=C (-0,303; -0,637; 1).
Аналогічно знаходимо два других власних вектори.
2) При ?2=-3.608отримаємо:



=C (-0,85; -0,364; 1).
3) При ?3=6.126 отримаємо:



=C (0,677; 1; 0,477).
Відповідь: ?1=-5,517, ?2=-3.608, ?3=6.126=C (-0,85; -0,364; 1).


Перевіримо одержаний розв’язок за допомогою ЕОМ:



Висновок: при виконанні даної розрахункової роботи я навчися використо- вувати: схему Зейделя для многочлена, метод простої ітерації для розв’язку системи рівнянь; обертати матрицю методом розбиття її на клітини; комбінованим методом хорд і дотичних вирішити рівняння третього ступеня; знаходити власні числа і власні вектори матриці методом безпосереднього розгортання.