І. ВСТУП
Кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти і регулювати, але вона обов'язково повинна бути кінцевою. При обробці сигналів кінцевої тривалості виникають цікаві і взаємозалежні питання, які необхідно враховувати в ході
гармонійного аналізу. Кінцівка інтервалу спостереження впливає _на знаходження тонів у присутності близьких сильних тонів, на знаходження тонів змінної частоти і на точність оцінок параметрів всіх вищезазначених сигналів.
На практиці оброблюваний масив даних складається з N еквідістантних відліків прийнятого сигналу. Для зручності будемо вважати, що N - парне складове число. Гармонійні оцінки одержувані за допомогою дискретного перетворення Фур’є (ДПФ), — це N еквідістантних відліків відповідних періодичних спектрів. Такий підхід математично витончений і привабливий, коли схема _обробки сигналу реалізується як спектральне розкладання в N-мірному ортогональному векторному просторі [2]. На жаль, на практиці для отримання задовільних результатів часто доводиться жертвувати цією витонченістю. Один з неминучих в таких випадках компромісів пов'язаний з тим, що послідовність відліків сигналу доводиться множити на вагові функції (вікна) або, що еквівалентно, згладжувати спектральні відліки.
Таким чином, дані звичайно піддаються двом виконуваним в довільному порядку операціям дискретизації і згладжуванню за допомогою вікон. Що таке дискретизація і згладжування даних за допомогою вікон, достатньо добре знають всі, а ось що таке дискретні вікна для ДПФ, відомо лише небагатьом! Тому ми і звернемося до чинників, що визначають вибір вікон для гармонійного аналізу, надавши особливу увагу дискретним вікнам, використовуваним при ДПФ.
II. ГАРМОНІЙНИЙ АНАЛІЗ КІНЦЕВИХ МАСИВІВ ДАНИХ І ДПФ
Гармонійний аналіз кінцевих послідовностей даних пов'язаний із задачею проекції спостережуваного сигналу на базисні вектори, на які натягнуть інтервал спостереження [1,3]. Введемо позначення, які знадобляться нам в наступних розділах. Хай Т (сек) – зручний часовий інтервал, NT (сек) – інтервал часу спостереження. Синуси і косинуси з періодами,

Рис 1. N відрахунку парної функції на інтервалі NT секунд
кратними інтервалу NT, утворюють ортогональний базис для безперервних сигналів тривалістю NТ. Базисні функції визначаються як
EMBED Equation.3 (1)
Помітимо, що, припустивши набір базисних функцій з впорядкованим індексом k, ми тим самим визначили спектр сигналу над лінією, званою частотною віссю, з якого далі виводяться поняття ширини смуги частот і частот, близьких і далеких від даної частоти (ці поняття пов'язані з дозволом).
Для дискретизованих сигналів базис, що стягує інтервал NT, ідентичний послідовності еквідістантних відліків векторів відповідного безперервного базису з індексами від 0 до N/2:
EMBED Equation.3 (2)
Відзначимо, що тригонометричні функції унікальні в тому відношенні, що послідовності їх еквідістантних відліків (на інтервалі, рівному цілому числу періодів) взаємно ортогональні.
Еквідістантні відліки довільних ортогональних функцій не утворюють ортогональних послідовностей, відзначимо також, що часовий інтервал, займаний N відліками, узятими через Т секунд, нерівний NT секундам. Це легко зрозуміти, якщо врахувати той факт, що інтервал, на якому беруться відліки, замкнутий зліва і відкритий справа (тобто [—)). Рис. 1 ілюструє цю обставину на прикладі дискретизації парної щодо центру інтервалу функції тривалістю NТ сек.
Оскільки для ДПФ потрібна періодичність ряду, опущену останню точку послідовності можна вважати початковою точкою наступного періоду періодичного продовження цієї послідовності. Дійсно, при періодичному, продовженні наступний відлік (на 16-й секунді на мал. 1) не відрізняється від відліку в нульовий момент часу.
Вказане порушення симетрії через відсутню (але що мається на увазі) кінцеву точку є постійним джерелом помилок при виборі типу вживаного вікна. Ці помилки сходять до ранніх робіт, присвячених збіжності часткових сум рядів Фур’є. Часткові суми (або кінцеве перетворення Фур’є) завжди мають непарне число членів і володіють парною симетрією щодо початкової точки. Тому в багато яке керівництво і бібліотеки стандартних програм включені вікна, що володіють істинною парною симетрією, а не симетрією, що мається на увазі, з опущеною кінцевою точкою!
При обчисленні ДПФ дискретних даних слід пам’ятати, що парна симетрія означає, що проекція сигналу на послідовність відліків синуса тотожно рівна нулю. Але це ні в якому разі не означає, що числа відліків, розташованих справа і зліва від середньої точки, обов'язково рівні один одному. Щоб відрізняти цю симетрію від звичайної парності, будемо називати звичайну парну послідовність з опущеною крайньою правою точкою ДПФ-парною.
III. ПРОСОЧУВАННЯ СПЕКТРАЛЬНИХ СКЛАДОВИХ
Вибір кінцевого тимчасового інтервалу тривалістю NT секунд і ортогонального тригонометричного базису (безперервного або дискретного) на цьому інтервалі обумовлює цікаву особливість спектрального розкладання. 3 континууму можливих частот тільки співпадаючі з частотами базису будуть проектуватися на єдиний базисний вектор, а вся решта частот буде мати ненульові проекції на будь-який з векторів базисної множини. Це явище, яке звичайно називають розмиванням або просочуванням спектральних складових (spectral leakage), виникає через кінцеву тривалість оброблюваних записів. Хоча частота відліків і впливає на ступінь розмивання, сама по собі дискретизація не є його причиною.
Щоб інтуїтивно зрозуміти причину розмивання, достатньо помітити, що сигнали з частотами, відмінними від базисних, неперіодичні у вікні спостереження. Якщо природний період сигналу несумірний з тривалістю інтервалу спостереження, періодичне продовження сигналу буде мати розриви на межах інтервалу. Ці розриви дають спектральні внески на всіх базисних частотах (тобто відбувається розмивання). Види виникаючих розривів ілюструє мал. 4.




Рис. 4. На проміжку спостереження періодичне продовження синусоїди неперіодичне
Вікна представляють собою вагові функції, використовувані для зменшення розмивання спектральних компонент, обумовленого кінцівкою інтервалів спостереження. Так, можна вважати, що дія вікна на масив даних (як мультиплікативної вагової функції) полягає у зменшенні порядку розриву на межі періодичного продовження. Цього добиваються, погоджуючи на межі якомога більше число похідних зважених даних. Простіше всього забезпечити таке узгодження зробивши ці похідні рівними або принаймні близькими до нуля. Таким чином, поблизу меж інтервалу зважені дані плавно прямують до нуля, так що періодичне продовження сигналу виявляється безперервним аж до похідних вищих порядків.
З другого боку, можна вважати, що вікно мультиплікативно впливає на базисну множину так, щоб сигнал довільної частоти мав значні проекції тільки на ті базисні вектори, частоти яких близькі до частоти сигналу. Обидва підходи, звичайно, ведуть до однакових результатів, і ми у міру потреби будемо користуватися одним з них.
IV. ВІКНА І ЇХ ОСНОВНІ ПАРАМЕТРИ
В гармонійному аналізі вікна використовуються для зменшення небажаних ефектів просочування спектральних складових. Вікна впливають на багато які показники гармонійного процесора, у тому числі на можливість виявлення, роздільну здатність, динамічний діапазон, ступінь достовірно і легкість реалізованості обчислювальних операцій. Щоб мати нагоду порівнювати характеристики вікон, необхідно знати, які з їх параметрів є основними. Легше всього виявити найбільш істотні параметри, розглянувши, як впливають різні типи вікон на результати гармонійного аналізу.
Обмежений по смузі сигнал f(t) з перетворенням Фур’є F(?) можна описати еквідістантною послідовністю відліків f (nT). Ця послідовність визначає періодично продовжений спектр NТ(?) як його розкладання в ряд Фур’є.
А. Еквівалентна шумова смуга.
З рис. 6 видно, що оцінка амплітуди гармонійної компоненти на заданій частоті виявляться зміщеною через наявність широкосмугового шуму, що потрапляє в смугу пропускання вікна. В цьому сенсі вікно поводиться як фільтр, потужність сигналу на виході якого пропорційна потужності гармонік вхідного сигналу в смузі його пропускання. Для виявлення гармонійного сигналу необхідно мінімізувати накопичений шум. Цього можна досягти за допомогою вузько смугового вікна. Зручною мірою ширини смуги пропускання вікна є його еквівалентна шумова смуга (ЕШС). ЕШС вікна - це ширина смуги пропускання прямокутного фільтра з тим же максимальним посиленням його потужності, який накопичує ту ж потужність шуму, що і дане вікно (рис 7).

Рис. 7 Еквівалентна шумова смуга вікна
Накопичена вікном потужність шуму визначається виразом:
Потужність шуму = EMBED Equation.3 (8)
Де N0 - потужність шуму в одиничній смузі частот. Згідно теореми Парсеваля, величину (8) можна обчислити таким чином:
Потужність шуму = EMBED Equation.3 (9)
Максимальне підсилення по потужності відповідає частоті EMBED Equation.3 ; воно називається посиленням по потужності на нульовій частоті і визначається виразами:
Максимальне підсилення сигналу =W(0)= EMBED Equation.3 (10а)
Максимальне посилення по потужності = W2(0) = EMBED Equation.3 (10b)
Таким чином, ЕШС вікна, нормована на величину N0/T- потужність шуму на бін (одиничний часовий інтервал), може бути записана у вигляді:
EMBED Equation.3 (11)
В. Підсилення і втрати перетворення
З ЕШС вікна тісно зв'язані поняття посилення перетворення (ПП) і втрат перетворення (ВП) при обчисленні ДПФ за допомогою вікон. ДПФ можна розглядати як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів, кожен з яких налаштований на одну з гармонік комплексної синусоїдальної послідовності базисної множини [3]. З цієї точки зору ми і будемо аналізувати підсилення перетворення (зване також когерентним підсиленням) фільтра і втрати перетворення, викликані тим, що вікно згладжує, тобто зводить до нуля, величини відліків, розташованих поблизу його меж. Хай вхідна послідовність відліків задана виразом:
EMBED Equation.3 (12)
Де EMBED Equation.3 - послідовність відліків білого шуму з дисперсією EMBED Equation.3 . Тоді становляча сигналу в спектрі, обчисленому за допомогою вікна (тобто вихід погодженого фільтра), буде рівна:
EMBED Equation.3 (13)
З (13) видно, що у відсутність шуму спектральна складова пропорційна вхідній амплітуді А. Таке ж буде і математичне очікування цієї складової за наявності шуму. Коефіцієнт пропорційності рівний сумі всіх відліків дискретного вікна, а ця сума є не що інше, як посилення вікна для постійного сигналу. Для прямокутного вікна цей коефіцієнт рівний N – числу відліків у вікні. Посилення будь-якого іншого вікна менше, оскільки вагова функція поблизу меж вікна плавно спадає до нуля. Пов'язане з цим зменшення коефіцієнта пропорційності корисно знати, оскільки воно характеризує помилку (зсув) оцінок амплітуд спектральних складових. В літературі замість ПП іноді використовується інший параметр когерентне посилення по потужності, тобто квадрат когерентного підсилення сигналу. Когерентне підсилення різних вікон [отримане підсумовуванням ряду (13)], нормоване щодо нього максимально можливої величини N, вказано в табл. 1.
Некогерентна складова зваженого, тобто виконаного за допомогою вікна перетворення, обчислюється по формулі:
EMBED Equation.3 (14а)
а некогерентна потужність (середньоквадратичне значення цієї складової) визначається виразом:
EMBED Equation.3 (14b)
де Е{ } — оператор математичного очікування. Помітимо, що некогерентне посилення по потужності рівно сумі квадратів відліків вагової функції, а когерентне — квадрату суми цих відліків.
І нарешті, обчислимо ПП, яке визначається як приватне від розподілу відносин сигнал/шум на виході і на вході:
EMBED Equation.3 (15)
Помітимо, що ПП — це величина, зворотна нормованій ЕШС вікна. Таким чином, збільшення ЕШС вікна веде до зменшення ПП. Це цілком зрозуміло, оскільки, чим ширше смуга пропускання, тим більша потужність шуму, що пройшов через вікно, вносячого внесок в спектральну оцінку.
С. Кореляція ділянок, що перекриваються
Коди швидке перетворення Фур'є (ШПФ) використовується для обробки довгої послідовності, цю послідовність заздалегідь ділять на декілька послідовностей по N відліків кожна, при цьому N вибирається так, щоб забезпечити необхідну спектральну роздільну здатність. Спектральна роздільна здатність ШПФ визначається формулою (16), де EMBED Equation.3 - спектральна роздільна здатність, fs – частота дискретизації, вибрана згідно критерію Найквіста, і ? - коефіцієнт, що характеризує збільшення ширини смуги для вибраного вікна. Відзначимо, що EMBED Equation.3 - це якнайкраща роздільна здатність, досяжна при ШПФ. Коефіцієнт ? звичайно вибирається рівним ЕШС вікна в бінах (табл. 1):
EMBED Equation.3 (16)
Якщо вікно і ШПФ впливають на ділянки послідовності (мал. 8), що не перекриваються, то значна частина даних просто ігнорується, оскільки поблизу меж вікна значення його відліків близькі до нуля. Так, наприклад, якщо перетворення використовується для виявлення коротких вузькополосних сигналів, то при аналізі ділянок, що не перекриваються, поява сигналу може виявитися просто непоміченою. Для цього достатньо, щоб сигнал з'явився поблизу межі будь-якого з інтервалів. Щоб уникнути таких втрат даних, перетворенню звичайно піддають ділянки послідовності, що перекриваються (див. також мал. 8). Ступінь перекриття в більшості випадків вибирається рівній 50 або 75%. Розбиття сигналу на ділянки, що перекриваються, звичайно, збільшує загальний об'єм обчислень, проте результати, що досягаються з його допомогою, цілком це виправдовують.

Рис 8, Розбиття послідовностей на інтервали, що перекриваються та не перекриваються.
Важливе питання, що виникає при обробці послідовностей, що перекриваються, торкається ступеня кореляції випадкових компонент сигналу в перетвореннях двох сусідніх ділянок послідовності. При відносно плоскому спектрі шуму в межах смуги пропускання вікна ця кореляція, як функція ступеня перекриття г, визначається формулою (17). На мал. 9 показано, як індекси підсумовування в цій формулі пов'язані із ступенем перекриття інтервалів. Значення коефіцієнта кореляції, визначуваного виразом
EMBED Equation.3 (17)
для кожного з тих, що розглядаються в статті вікон при 50- і 75%-ному перекриттях вказані в табл. 1.
В спектральному аналізі для зменшення дисперсії вимірювань часто усереднюють квадрати амплітуд перетворень окремих ділянок послідовності 151. Як відомо, при усереднюванні К незалежних вимірювань ергодичної випадкової величини дисперсія середнього пов'язана з дисперсією Індивідуальних вимірювань наступним співвідношенням:
EMBED Equation.3 (18)
1. Помітимо, що для добрих вікон (див. останній абзац підрозділу IV.F) перетворення перекриваються на 50% ділянок сигналу практично незалежні.
D. Паразитна амплітудна модуляція спектру,
Важливим чинником, що впливає на виявлення слабих сигналів, є паразитна амплітудна модуляція спектру (scalloping loss), або ефект ''частоколу" (picket-fence effect}. Раніше ми розглядали виконуване за допомогою вікна ДПФ як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів і аналізували обумовлені специфічними властивостями вікна підсилення і втрати для тонів, співпадаючих з базисними векторами. Базисні вектори – це тони, кратні частоті fs/N, де fs – частота відліків. Ці частоти не що інше, як точки відліків спектру, їх звичайно називають точками виходів, частотами гармонік або бінами ДПФ. Задамося тепер питанням, які будуть додаткові втрати при обробці сигналу, частота якого лежить посередині між частотами сусідніх бінів (тобто сигналу з частотою (k+1/2)fs/N)?
Знов звернувшись до формули (13) і замінивши в ній ?к на ?к+1/2 одержуємо, що підсилення вікна для частоти, зсунутої на 0.5 біна, рівна:
EMBED Equation.3 (20а)
За визначенням, втрати через паразитну амплітудну модуляцію (AM) спектру рівні відношенню когерентного посилення тону, розташованого посередині між двома бінами ДПФ, до когерентного посилення тону, співпадаючого з одним з бінів ДПФ, тобто
EMBED Equation.3 (20b)
Втрати через паразитну AM рівні максимальним втратам при найсприятливішій для ДПФ частоті сигналу. Величини цих втрат для тих, всіх що розглядаються в даній статті вікон приведені о табл. 1.
Е. Максимальні втрати перетворення
Тепер зробимо одне цікаве зауваження. Визначимо максимальні втрати перетворення (ВП) як суму максимальних втрат через паразитну AM спектру для даного вікна (в дБ ) і втрат перетворення, обумовлених формою цього вікна. Введений параметр характеризує зменшення співвідношення виходу сигнал/шум в результаті дії вікна при якнайгіршому розташуванні частоти сигналу. Його величина, звичайно, впливає на мінімальну інтенсивність тону при якій він ще може бути знайдений в широкосмуговому шумі. Цікаво помітити, що рівень максимальних втрат завжди лежить між 3.0 і 4.3 дБ. Вікна, для яких максимальні ВП перевищують 3.8 дБ, абсолютно незадовільні і їх не слід застосовувати. Додаткові міркування про те, які вікна слід вважати незадовільними, приводяться в підрозділі IV.G. Із зіставлення даних про втрати, приведених в табл. 1 і на мал. 12, видно, що майже всі вікна (за винятком прямокутного) однаково придатні для виявлення чистих тонів в широкосмуговому шумі. Різниця у втратах біля різних вікон не перевищує 1.0 дБ, а для добрих вікон – 0.7 дБ. Проте виявлення тону у присутності інших близьких тонів представляє собою абсолютно іншу задачу. Як буде показано нижче, саме тут тип вживаного вікна може мати вирішальне значення.
F. Ще раз про просочування складових
Повертаючись до формули (6) і мал. 6. помітимо, що на точність вимірювання амплітуди спектральної складової впливає, не тільки спектр широкосмугового шуму але і вузько смугові перешкоди, якщо вони потрапляють в смугу пропускання вікна. Дійсно, деяка спектральна компонента, скажімо, з частотою ?= ?0 буде вносити внесок в спектральну компоненту з частотою ? = ?0, тобто буде спостерігатися на цій частоті. Цей внесок буде визначатися підсиленням вікна з центром в ?0 на частоті ?а. Це і є ефект, званий просочуванням спектральних складових. Він показаний на мал. 10 для перетворення кінцевого тону частотою ?0.
Просочування приводить до зсуву оцінок амплітуд і положень гармонійних складових сигналу. Навіть для єдиної речовинної гармоніки (не співпадаючій з частотою гармоніки ДПФ) просочування від ядра на осі негативних частот впливає на ядро на осі позитивних частот. Це вплив найбільш сильний і неприємний при виявленні слабих сигналів у присутності сильних перешкод близької частоти. Для зменшення неприємних наслідків через спектральне просочування амплітуда 6ічних пелюсток вдалині від головної центральної пелюстки частотної характеристики вікна повинна бути малою, а перехід від центральної пелюстки до низько амплітудних бічних пелюсток – дуже швидким. Одним з параметрів, що вказують наскільки добре вікно пригнічує просочування, є максимальний рівень бічних пелюсток (по відношенню до головної пелюстки), інший параметр – це асимптотична швидкість спаду бічних пелюсток. Обидва ці параметри приведено в табл.1.
G. Мінімальна допустима смуга частот
Рис.11 підказує ще один критерій, який повинен використовуватися при виборі оптимальних вікон. Оскільки вікно додає спектральній лінії деяку ефективну ширину, цікаво знати, при якій мінімальній відстані між двома спектральними лініями рівної інтенсивності головні пелюстки цих ліній ще можуть бути розділені незалежно від положення ліній щодо бінів ДПФ. Класичний критерій такого розділу – ширина вікна між точками, в яких потужність головної пелюстки спадає наполовину (ширина вікна по рівню 3.0 дБ). Цей критерій відображає той факт, що дві головні пелюстки рівної інтенсивності, віддалені один від одного по частоті менш ніж на ширину вікна по рівню 3.0 дБ, будуть мати один загальний спектральний пік і не будуть розділятися як дві окремі лінії.

Рис. 11. Спектральний дозвіл двох близько розташованих ядер.
Проте трудність використовування цього критерію в тому, що він несумісний з когерентним підсумовуванням, використовуваним в ДПФ. Точки ДПФ виходів виходять шляхом когерентного складання спектральних компонент, зважених вікном з центром на даній частоті.
Якщо в когерентне підсумовування вносять внесок двоє ядер, їх сума в точці перетину (номінально посередині між ними) повинна бути менше ніж індивідуальні найвищі точки, якщо ці найвищі точки розділені.