§9.Числові характеристики функції випадкових величин
1. Математичне сподівання і дисперсія функції випадкової величини.
В задачах, пов’язаних з оцінкою точності роботи автоматичних систем, тощо, доводиться розглядати функції однієї або декількох випадкових величин. В найпростішому випадку задача ставиться таким чином: на вхід деякого технічного пристрою поступає випадковий сигнал EMBED Equation.3 , і технічний пристрій, виконуючи над EMBED Equation.3 деяке функціональне перетворення EMBED Equation.3 , дає на виході випадкову величину EMBED Equation.3 , яка є функцією від EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (1)
Розглянемо таку задачу: за відомим законом розподілу випадкового аргумента EMBED Equation.3 знайти числові характеристики функції EMBED Equation.3 , не знаходячи закону розподілу EMBED Equation.3 .
Нехай EMBED Equation.3 дискретна випадкова величина, задана рядом розподілу

де EMBED Equation.3 , ( EMBED Equation.3 ); EMBED Equation.3 , тоді і функція EMBED Equation.3 теж дискретна випадкова величина.
Складемо таблицю значень величини EMBED Equation.3 і ймовірностей цих значень
EMBED Equation.3


Ця таблиця не є рядом розподілу , оскільки деякі значення EMBED Equation.3 можуть повторюватися. Проте
математичне сподівання можна визначати за формулою
EMBED Equation.3 (2)
Дійсно, величина (2) не може змінитися від того. що під знаком суми деякі члени будуть наперед об’єднані , а порядок членів змінений.
Міркуючи аналогічно, отримаємо формулу для обчислення дисперсії
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
або робочу формулу EMBED Equation.3 (3)
Якщо аргумент EMBED Equation.3 - неперервна випадкова величина, то і функція EMBED Equation.3 теж неперервна випадкова величина, математичне сподівання якої визначається за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (4)
якщо інтеграл (4) збігається,
а дисперсія EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (5)
де початковий момент другого порядку EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .
Таким чином, для знаходження числових характеристик функції EMBED Equation.3 досить знати закон розподілу її аргумента.
Зауваження. Надалі будемо записувати тільки вираз для початкового моменту другого порядку, оскільки дисперсія обчислюється за робочою формулою EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3
Приклад 1. Задано закон розподілу випадкового аргументу EMBED Equation.3
Знайти математичне сподівання і дисперсію функції EMBED Equation.3 , не знаходячи її закону розподілу.
Розв’язання. Можливі значення функції EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .
Складаємо таблицю можливих значень функції та ймовірностей цих значень

Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 4,95- EMBED Equation.3 .
Приклад 2. Задана щільність розподілу аргументу EMBED Equation.3 .
Знайти математичне сподівання і дисперсію функції EMBED Equation.3 , не знаходячи її закону розподілу .
Розв’язання. EMBED Equation.3 . Отже, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
В деяких випадках для знаходження числових характеристик функції EMBED Equation.3 не потрібно навіть знати закону розподілу аргумента, а тільки його числові характеристики.
1.1. Математичне сподівання і дисперсія лінійної функції.
Нехай випадкові величини EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 зв'язані між собою лінійно:
EMBED Equation.3 , (6)
де EMBED Equation.3 – невипадкові величини, причому відомі EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Враховуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, отримаємо
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , (7)
тобто математичне сподівання лінійної функції є лінійною функцією математичного сподівання її аргументу, а дисперсія
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (8)
1.2. Математичне сподівання і дисперсія мінімальної із двох величин:
випадкової EMBED Equation.3 і невипадкової EMBED Equation.3 .
Випадкова величина EMBED Equation.3 як мінімальна із двох величин зв'язана з EMBED Equation.3 залежністю
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (9)
Знайдемо її математичне сподівання і дисперсію.
Нехай EMBED Equation.3 - неперервна випадкова величина, щільність розподілу якої EMBED Equation.3 .
За формулою (4) знайдемо математичне сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (10)
де EMBED Equation.3 - функція розподілу випадкової величини EMBED Equation.3 .
Початковий момент другого порядку
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (11)
Нехай EMBED Equation.3 - дискретна випадкова величина, яка приймає значення EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 з відповідними ймовірностями EMBED Equation.3 .
За формулою (2) знайдемо математичне сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (12)
де EMBED Equation.3 - номер максимального з можливих значень випадкової величини EMBED Equation.3 , яке не більше EMBED Equation.3 :
EMBED Equation.3 .
Початковий момент другого порядку
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (13)
Приклад 1. Напруга EMBED Equation.3 , яка подається на вхід обмежувача, розподілена за нормальним законом з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Обмежувач працює за принципом EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Знайти математичне сподівання і дисперсію напруги EMBED Equation.3 на виході обмежувача.
Ввести змінну EMBED Equation.3
Приклад 2. В обчислювальний центр за зміну надходить випадкове число EMBED Equation.3 інформаційних документів, яке розподілене за законом Пуассона з параметром EMBED Equation.3 . Число інформаційних
документів, що обробляються в ОЦ за зміну, не може перевищувати EMBED Equation.3 (ціле число): EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Знайти математичне сподівання і дисперсію випадкової величини EMBED Equation.3 .
(Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. - М.: Наука.- 1988.-480 с.)
1.3. Математичне сподівання і дисперсія максимальної із двох величин:
випадкової EMBED Equation.3 і невипадкової EMBED Equation.3 .
Випадкова величина EMBED Equation.3 як максимальна із двох величин зв'язана з EMBED Equation.3 залежністю
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (14)
Знайдемо її математичне сподівання і дисперсію.
Нехай EMBED Equation.3 - неперервна випадкова величина, щільність .розподілу якої EMBED Equation.3 .
За формулою (4) знайдемо математичне сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . (15)
Початковий момент другого порядку
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 . (16)
1.4. Математичне сподівання і дисперсія модуля функції випадкової величини.
Нехай EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (17)
де EMBED Equation.3 - неперервна випадкова величина , щільність якої EMBED Equation.3 .
Знайдемо математичне сподівання і дисперсію випадкової величини EMBED Equation.3 .
За формулою (4) математичне сподівання
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 . (18)
Початковий момент другого порядку
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (19)
2. Математичне сподівання і дисперсія функції двох випадкових аргументів
Якщо на вхід технічного пристрою поступають випадкові сигнали EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3 , то технічний пристрій, виконуючи над EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 деяке функціональне перетворення EMBED Equation.3 , дає на виході випадкову величину EMBED Equation.3 , яка є функцією від EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 (20)
Нехай EMBED Equation.3 - система дискретних випадкових величин, задана таблицею розподілу
EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), EMBED Equation.3 .
Використовуючи аналогічні міркування, як в п.1, математичне сподівання і дисперсію функції EMBED Equation.3 можна знайти за формулами
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (21)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 початковий момент другого порядку. (22)
Якщо EMBED Equation.3 - система неперервних випадкових величин, щільність розподілу якої EMBED Equation.3 , то математичне сподівання і дисперсію функції EMBED Equation.3 обчислюють за формулами
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (23)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3
де EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 початковий момент другого порядку (24)
Запишемо числові характеристики функції EMBED Equation.3 в дещо іншому вигляді. Відомо, що щільність розподілу системи може бути записана таким чином
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 або EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (25)
Тоді формула (23) може бути записана у вигляді
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (26)
Внутрішній інтеграл EMBED Equation.3 - це умовне математичне сподівання випадкової величини EMBED Equation.3 , знайдене за умови, що випадкова величина EMBED Equation.3 прийняла значення EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (27)
Отже, безумовне математичне сподівання EMBED Equation.3 буде виражатися через умовне EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (28)
Формула (28) називається інтегральною формулою повного математичного сподівання.
За формулою, аналогічною формулі (27), можна знайти умовний початковий момент другого порядку
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (29)
тоді безумовний початковий момент другого порядку визначається за формулою
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (30)
Дисперсія EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3
де величини EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 обчислюються за формулами (30) і (28) відповідно.
2.1. Математичне сподівання і дисперсія суми двох випадкових величин.
Нехай EMBED Equation.3 . (31)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
Але перший із подвійних інтегралів в правій частині формули є EMBED Equation.3 , а другий EMBED Equation.3 .
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (32)
Початковий момент другого порядку EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3
Отже, EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 (33)
2.2. Математичне сподівання і дисперсія лінійної функції двох випадкових величин
Нехай EMBED Equation.3 , (34)
де EMBED Equation.3 - невипадкові величини.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (35)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -( EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 (36)
2.3. Математичне сподівання і дисперсія мінімальної із двох випадкових величин.
Нехай EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (37)
де EMBED Equation.3 - незалежні неперервні випадкові величини із щільностями EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Розглянемо гіпотезу, що випадкова величина EMBED Equation.3 попала в інтервал EMBED Equation.3 , ймовірність цієї гіпотези EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Знайдемо умовне математичне сподівання випадкової величини EMBED Equation.3 при цій гіпотезі за формулою (10), в якій замінимо EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3
Тоді за інтегральною формулою повного математичного сподівання (28)
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (38)
За формулою (30)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (39)
Якщо випадкові величини EMBED Equation.3 розподілені однаково, то
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 -2 EMBED Equation.3 (40)
EMBED Equation.3 2 EMBED Equation.3 -2 EMBED Equation.3 (41)
Приклад. Проводиться аналіз роботи обчислювальної системи, яка складається з двох блоків, що працюють незалежно один від другого.Час безвідмовної роботи EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 блоків – незалежні випадкові величини, розподілені за показниковими закономи з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 відповідно. Для роботи обчислювальної системи необхідна робота кожного блока. Знайти характеристики часу EMBED Equation.3 безвідмовної роботи обчислювальної системи.
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
2.4. Математичне сподівання і дисперсія максимальної із двох випадкових величин
Нехай EMBED Equation.3 (42)
де EMBED Equation.3 - незалежні неперервні випадкові величини із щільностями EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 .
Міркуючи аналогічно, як в п.2.3. і використовуючи формули (15) і (16), отримаємо
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (43)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 =
= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (44)
Якщо випадкові величини EMBED Equation.3 розподілені однаково, то
EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 (45)
EMBED Equation.3 2 EMBED Equation.3 (46)
Приклад. З метою збільшення часу EMBED Equation.3 безвідмовної роботи обчислювальної системи її компонують з двох незалежно працюючих ЕОМ, час безвідмовної роботи яких EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Випадкові величини EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . розподілені за показниковими закономи з параметрами EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 відповідно. Обчислювальна система функціонує, якщо працює принаймні одна з ЕОМ. Знайти числові характеристики випадкової величини EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3
2.5. Математичне сподівання і дисперсія модуля різниці випадкових величин.
Нехай EMBED Equation.3 , (47)
де EMBED Equation.3 - незалежні неперервні випадкові величини із щільностями EMBED Equation.3 і EMBED Equation.3 . Розглянемо гіпотезу, що випадкова величина EMBED Equation.3 попала в інтервал EMBED Equation.3 , ймовірність цієї гіпотези EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . Умовне математичне сподівання випадкової величини EMBED Equation.3 при цій гіпотезі було знайдено в п.1.4 формула (18), в якій замінимо EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 .
За інтегральною формулою повного математичного сподівання (28)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (48)
Оскільки величини EMBED Equation.3 симетричні, то
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3
Тоді EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (49)
Знову ж таки в силу симетрії EMBED Equation.3 формулу (49) можна записати таким чином
EMBED Equation.3 =2 EMBED Equation.3 +2 EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 (50)
Початковий момент другого порядку випадкової величини EMBED Equation.3 знайдемо безпосередньо:
оскільки EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 і випадкові велични EMBED Equation.3 незалежні, то
EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ]= EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 (51)