© Ваврук Є.Я.
Курс лекцій "Проектування комп’ютерних засобів обробки сигналів та зображень"
Тема 11
Тема: Використання віконної обробки при гармонійному аналізі сигналів методом ДПФ
Питання.
1. Загальні поняття про гармонійну обробку
2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ
3. Просочування спектральних складових
4. Вікна та їх основні параметри
- еквівалентна шумова смуга
- підсилення і втрати перетворення
- кореляція ділянок, що перекриваються
- паразитна амплітудна модуляція спектру
- максимальні втрати перетворення
- мінімальна допустима смуга частот
1. Загальні поняття про гармонійну обробку
При обробці сигналів доводиться вирішувати задачі двох типів — задачу виявлення і оцінювання. При виявленні потрібно дати відповідь на питання, чи спостерігається зараз деякий сигнал з апріорно відомими параметрами. Оцінювання - це задача вимірювання значень параметрів, що описують сигнал. Реальний сигнал є зачумленим: на нього накладаються інші сигнали. Тому для спрощення розв’язання вказаних задач сигнал звичайно розкладають по базисних складових. Для багатьох додатків найбільший інтерес представляють періодичні сигнали. Цілком природно, що рішення задач виявлення і оцінювання подібних сигналів пов'язано з їх розкладанням по базису, що складається з простих періодичних функцій sin і cos. Таке розкладання можна виконати за допомогою класичного перетворення Фур’є.
Необхідно пам’ятати, що при реалізації такого перетворенню вважається, що кожний оброблюваний сигнал повинен мати кінцеву тривалість. Тривалість сигналу можна, зрозуміло, міняти і регулювати, але вона обов'язково повинна бути кінцевою. При обробці сигналів кінцевої тривалості виникають цікаві і взаємозалежні питання, які необхідно враховувати в ході гармонійного аналізу. Кінець інтервалу спостереження впливає _на знаходження тонів у присутності близьких сильних тонів, на знаходження тонів змінної частоти і на точність оцінок параметрів всіх вищезазначених сигналів.
На практиці оброблюваний масив даних складається з N еквідістантних відліків прийнятого сигналу. Для зручності будемо вважати, що N - парне складове число. Гармонійні оцінки одержувані за допомогою дискретного перетворення Фур’є (ДПФ), — це N еквідістантних відліків відповідних періодичних спектрів. Такий підхід математично витончений і привабливий, коли схема _обробки сигналу реалізується як спектральне розкладання в N-мірному ортогональному векторному просторі. На жаль, на практиці для отримання задовільних результатів часто доводиться жертвувати цією витонченістю. Один з неминучих в таких випадках компромісів пов'язаний з тим, що послідовність відліків сигналу доводиться множити на вагові функції (вікна) або, що еквівалентно, згладжувати спектральні відліки.
Таким чином, дані звичайно піддаються двом виконуваним в довільному порядку операціям дискретизації і згладжуванню за допомогою вікон. Що таке дискретизація і згладжування даних за допомогою вікон, достатньо добре знають всі, а ось що таке дискретні вікна для ДПФ, відомо лише небагатьом! Тому ми і звернемося до чинників, що визначають вибір вікон для гармонійного аналізу, надавши особливу увагу дискретним вікнам, використовуваним при ДПФ.

2. Гармонійний аналіз кінцевих масивів даних і ДПФ
Гармонійний аналіз кінцевих послідовностей даних пов'язаний із задачею проекції спостережуваного сигналу на базисні вектори, на які накладається інтервал спостереження. Введемо позначення, які знадобляться нам в наступних розділах. Нехай Т (сек) – часовий інтервал, NT (сек) – інтервал часу спостереження. Синуси і косинуси з періодами,

Рис 1. N відліки парної функції на інтервалі NT секунд
кратними інтервалу NT, утворюють ортогональний базис для безперервних сигналів тривалістю NТ. Базисні функції визначаються як
EMBED Equation.3 (1)
Зауважимо, що, припустивши набір базисних функцій з впорядкованим індексом k, ми тим самим визначили спектр сигналу над лінією, званою частотною віссю, з якого далі виводяться поняття ширини смуги частот і частот, близьких і далеких від даної частоти (ці поняття пов'язані з роздільною здатністю).
Для дискретизованих сигналів базис, що стягує інтервал NT, ідентичний послідовності еквідістантних відліків векторів відповідного безперервного базису з індексами від 0 до N/2:
EMBED Equation.3 (2)
Відзначимо, що тригонометричні функції унікальні в тому відношенні, що послідовності їх еквідістантних відліків (на інтервалі, рівному цілому числу періодів) взаємно ортогональні.
Еквідістантні відліки довільних ортогональних функцій не утворюють ортогональних послідовностей. Відзначимо також, що часовий інтервал, займаний N відліками, узятими через Т секунд, нерівний NT секундам. Це легко зрозуміти, якщо врахувати той факт, що інтервал, на якому беруться відліки, замкнутий зліва і відкритий справа (тобто [—)). Рис. 1 ілюструє цю обставину на прикладі дискретизації парної щодо центру інтервалу функції тривалістю NТ сек.
Оскільки для ДПФ потрібна періодичність ряду, опущену останню точку послідовності можна вважати початковою точкою наступного періоду періодичного продовження цієї послідовності. Дійсно, при періодичному, продовженні наступний відлік (на 16-й секунді на рис. 1) не відрізняється від відліку в нульовий момент часу.
Вказане порушення симетрії через відсутню кінцеву точку є постійним джерелом помилок при виборі типу вживаного вікна. Ці помилки сходять до ранніх робіт, присвячених збіжності часткових сум рядів Фур’є. Часткові суми (або кінцеве перетворення Фур’є) завжди мають непарне число членів і володіють парною симетрією щодо початкової точки. Тому в бібліотеки стандартних програм включені вікна, що володіють істинною парною симетрією, а не симетрією з опущеною кінцевою точкою!
При обчисленні ДПФ дискретних даних слід пам’ятати, що парна симетрія означає, що проекція сигналу на послідовність відліків синуса тотожно рівна нулю. Але це ні в якому разі не означає, що числа відліків, розташованих справа і зліва від середньої точки, обов'язково рівні один одному. Щоб відрізняти цю симетрію від звичайної парності, будемо називати звичайну парну послідовність з опущеною крайньою правою точкою ДПФ-парною. Іншим прикладом ДПФ-парної послідовності є послідовність відліків періодично продовженої трикутної хвилі (рис. 2).

Рис. 2. Парна послідовність і її періодичне продовження при обчисленні ДПФ
Якщо обчислити кінцеве перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності (рахуючи відлік в точці +N/2 рівним 0), то отримана безперервна періодична функція буде мати ненульову уявну компоненту. ДПФ тій же самій послідовності - це не що інше, як ряд відліків кінцевого перетворення Фур’є, проте уявна компоненту цих відліків тотожно рівна нулю. В чому причина цієї невідповідності? Не треба забувати, що відсутність в ДПФ-парному ряді кінцевої точки приводить до появи в кінцевому перетворенні уявної синусоїдальній компоненти з періодом 22?/(N/2) (відповідної непарному члену послідовності з номером N/2). Проте відліки ДПФ беруться в точках, кратних 22 ? /N, які, звичайно, відповідають нулям уявної синусоїдальній компоненти. Приклад такої вдалої дискретизації показаний на мал. 3.
Відзначимо, що послідовність f(n) розбита на парну і непарну частини. Непарна частина і обумовлює появу уявній синусоїдальній компоненти в кінцевому перетворенні.

Рис 3. ДПФ як послідовність обчислень кінцевого перетворення Фур’є ДПФ-парної послідовності
3. Просочування спектральних складових
Вибір кінцевого часового інтервалу тривалістю NT секунд і ортогонального тригонометричного базису (безперервного або дискретного) на цьому інтервалі обумовлює цікаву особливість спектрального розкладання. 3 множини можливих частот тільки співпадаючі з частотами базису будуть проектуватися на єдиний базисний вектор, а вся решта частот буде мати ненульові проекції на будь-який з векторів базисної множини. Це явище, яке звичайно називають розмиванням або просочуванням спектральних складових (spectral leakage), виникає через кінцеву тривалість оброблюваних записів. Хоча частота відліків і впливає на ступінь розмивання, сама по собі дискретизація не є його причиною.
Щоб інтуїтивно зрозуміти причину розмивання, достатньо помітити, що сигнали з частотами, відмінними від базисних, неперіодичні у вікні спостереження. Якщо природний період сигналу несумірний з тривалістю інтервалу спостереження, періодичне продовження сигналу буде мати розриви на межах інтервалу. Ці розриви дають спектральні внески на всіх базисних частотах (тобто відбувається розмивання). Види виникаючих розривів ілюструє рис. 4.



Рис. 4. На проміжку спостереження періодичне продовження синусоїди неперіодичне

Вікна представляють собою вагові функції, використовувані для зменшення розмивання спектральних компонент, обумовленого кінці вістю інтервалів спостереження. Так, можна вважати, що дія вікна на масив даних (як мультиплікативної вагової функції) полягає у зменшенні порядку розриву на межі періодичного продовження. Цього добиваються, погоджуючи на межі якомога більше число похідних зважених даних. Простіше всього забезпечити таке узгодження зробивши ці похідні рівними або принаймні близькими до нуля. Таким чином, поблизу меж інтервалу зважені дані плавно прямують до нуля, так що періодичне продовження сигналу виявляється безперервним аж до похідних вищих порядків.
З другого боку, можна вважати, що вікно мультиплікативно впливає на базисну множину так, щоб сигнал довільної частоти мав значні проекції тільки на ті базисні вектори, частоти яких близькі до частоти сигналу. Обидва підходи ведуть до однакових результатів.
4. Вікна та їх основні властивості.
В гармонійному аналізі вікна використовуються для зменшення небажаних ефектів просочування спектральних складових. Вікна впливають на багато показників гармонійного процесора, у тому числі на можливість виявлення, роздільну здатність, динамічний діапазон, ступінь достовірності і простоту реалізації обчислювальних операцій. Щоб мати нагоду порівнювати характеристики вікон, необхідно знати, які з їх параметрів є основними. Найпростіше виявити найістотніші параметри, розглянувши, як впливають різні типи вікон на результати гармонійного аналізу.
Обмежений по смузі сигнал f(t) з перетворенням Фур’є F(?) можна описати еквідістантною послідовністю відліків f (nT). Ця послідовність визначає періодично продовжений спектр NТ(?) як його розкладання в ряд Фур’є.
Для машинної обробки в реальному масштабі часу послідовність даних повинна мати кінцеву тривалість, тому суму нескінченного ряду (3b) можна апроксимувати кінцевою сумою:
EMBED Equation.3
В (4а) легко впізнати кінцеве перетворення Фур’є; межі підсумовування тут вибрані задля зручностей, які дає, парна симетрія. Рівняння (4b) - - це кінцеве перетворення Фур’є з опущеною правою точкою, а (4с) — ДПФ, тобто ряд відліків спектру (4b). Бажано, звичайно, щоб при обробці реальних сигналів (для зручності застосування обчислювальних алгоритмів) індекси починалися з нуля. Цього можна добитися, зсовуючи початкову точку на N/2 точок вправо, тобто переходячи від (4с) до (4d). Рівняння (4d) — це пряме ДПФ. Втім, зсув індексу підсумовування на N/2 впливає лише на фазові кути перетворення, тому задля зручностей, обумовлених симетрією, будемо вважати, що всі вікна мають центр в початковій точці. Але потрібно пам'ятати, що ця зручність є основним джерелом неправильного застосування вікон. При обчисленні ДПФ за допомогою вікон зсув на N/2 точок і пов'язаний з ним фазовий зсув часто не враховують або враховують неправильно. Зокрема, це стається в тих випадках, коли множення на вагову функцію вікна в часовій області замінюється поєднанням спектру сигналу із спектром вікна (приклад -  вікно Хеннінга).
Тепер задамося питанням про те, наскільки точно сума кінцевого ряду (4b) апроксимує суму нескінченного ряду (3b). Фактично це питання торкається більш загального випадку довільного вікна, що впливає на деяку часову функцію (або часовий ряд):
EMBED Equation.3 (5)
Подивимося як впливає вікно на наші спектральні оцінки. З рівняння (5) видно, що перетворення Fw(?) – це перетворення добутку. Згідно даному нижче рівнянню (6), перетворення добутку еквівалентно згортці двох відповідних перетворень
EMBED Equation.3 (6)
Рівняння (6) є ключем до розуміння впливу кінцевої довжини послідовності даних на результати їх обробки. Інтерпретувати його можна двояко, але обидві інтерпретації еквівалентні. Легше всього пояснити це на конкретному прикладі. Візьмемо дискретне прямокутне вікно ?(nT)=1,0. Ми знаємо, що W() — це ядро Діріхле, що має вигляд:
EMBED Equation.3 (7)
Якщо не враховувати член, що характеризує лінійний фазовий зсув (який зміниться через зсув на N/2 точок, необхідного для реалізації обчислювального алгоритму), то один період цього перетворення буде мати форму, показану на рис 5

Рис 5. Ядро Діріхле для послідовності з N точок
Щодо формули (6) можна сказати, що величина Fw(?) на заданій частоті ? є сумою всіх спектральних гармонік, заздалегідь зважених спектральним вікном, з центром на частоті ?о (рис 6).

Рис 6. Графічна Інтерпретація рівняння (6). Вікно представлене у вигляді спектрального фільтра,
А. Еквівалентна шумова смуга.
З рис. 6 видно, що оцінка амплітуди гармонійної компоненти на заданій частоті виявляться зміщеною через наявність широкосмугового шуму, що потрапляє в смугу пропускання вікна. В цьому сенсі вікно поводиться як фільтр, потужність сигналу на виході якого пропорційна потужності гармонік вхідного сигналу в смузі його пропускання. Для виявлення гармонійного сигналу необхідно мінімізувати накопичений шум. Цього можна досягти за допомогою вузько смугового вікна. Зручною мірою ширини смуги пропускання вікна є його еквівалентна шумова смуга (ЕШС). ЕШС вікна - це ширина смуги пропускання прямокутного фільтра з тим же максимальним посиленням його потужності, який накопичує ту ж потужність шуму, що і дане вікно (рис 7).

Рис. 7 Еквівалентна шумова смуга вікна
Накопичена вікном потужність шуму визначається виразом:
Потужність шуму = EMBED Equation.3 (8)
Де N0 - потужність шуму в одиничній смузі частот. Згідно теореми Парсеваля, величину (8) можна обчислити таким чином:
Потужність шуму = EMBED Equation.3 (9)
Максимальне підсилення по потужності відповідає частоті EMBED Equation.3 ; воно називається підсиленням за потужністю на нульовій частоті і визначається виразами:
Максимальне підсилення сигналу =W(0)= EMBED Equation.3 (10а)
Максимальне посилення по потужності = W2(0) = EMBED Equation.3 (10b)
Таким чином, ЕШС вікна, нормована на величину N0/T- потужність шуму на бін (одиничний часовий інтервал), може бути записана у вигляді:
EMBED Equation.3 (11)
Значення ЕШС є різним для різних типів вікон.
В. Підсилення і втрати перетворення
З ЕШС вікна тісно зв'язані поняття підсилення (ПП) і втрат перетворення (ВП) при обчисленні ДПФ за допомогою вікон. ДПФ можна розглядати як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів, кожен з яких налаштований на одну з гармонік комплексної синусоїдальної послідовності базисної множини. З цієї точки зору ми і будемо аналізувати підсилення перетворення (зване також когерентним підсиленням) фільтра і втрати перетворення, викликані тим, що вікно згладжує, тобто зводить до нуля, величини відліків, розташованих поблизу його меж. Хай вхідна послідовність відліків задана виразом:
EMBED Equation.3 (12)
Де EMBED Equation.3 - послідовність відліків білого шуму з дисперсією EMBED Equation.3 . Тоді огинаюча сигналу в спектрі, обчисленому за допомогою вікна (тобто вихід погодженого фільтра), буде рівна:
EMBED Equation.3 (13)
З (13) видно, що у відсутність шуму спектральна складова пропорційна вхідній амплітуді А. Таке ж буде і математичне очікування цієї складової за наявності шуму. Коефіцієнт пропорційності рівний сумі всіх відліків дискретного вікна, а ця сума є не що інше, як підсилення вікна для постійного сигналу. Для прямокутного вікна цей коефіцієнт рівний N – числу відліків у вікні. Підсилення будь-якого іншого вікна менше, оскільки вагова функція поблизу меж вікна плавно спадає до нуля. Пов'язане з цим зменшення коефіцієнта пропорційності корисно знати, оскільки воно характеризує помилку (зсув) оцінок амплітуд спектральних складових. В літературі замість ПП іноді використовується інший параметр - когерентне підсилення за потужністю, тобто квадрат когерентного підсилення сигналу.
Некогерентна складова зваженого, тобто виконаного за допомогою вікна перетворення, обчислюється по формулі:
EMBED Equation.3 (14а)
а некогерентна потужність (середньоквадратичне значення цієї складової) визначається виразом:
EMBED Equation.3 (14b)
де Е{ } — оператор математичного очікування. Помітимо, що некогерентне підсилення за потужністю рівне сумі квадратів відліків вагової функції, а когерентне — квадрату суми цих відліків.
І нарешті, обчислимо ПП, яке визначається як приватне від розподілу відносин сигнал/шум на виході і на вході:
EMBED Equation.3 (15)
Зауважимо, що ПП — це величина, зворотна нормованій ЕШС вікна. Таким чином, збільшення ЕШС вікна веде до зменшення ПП. Це цілком зрозуміло, оскільки, чим ширше смуга пропускання, тим більша потужність шуму, що пройшов через вікно, вносячого внесок в спектральну оцінку.
С. Кореляція ділянок, що перекриваються
При використанні швидкого перетворення Фур'є (ШПФ) для обробки довгої послідовності, цю послідовність заздалегідь ділять на декілька послідовностей по N відліків кожна, при цьому N вибирається так, щоб забезпечити необхідну спектральну роздільну здатність. Спектральна роздільна здатність ШПФ визначається формулою (16), де EMBED Equation.3 - спектральна роздільна здатність, fs – частота дискретизації, вибрана згідно критерію Найквіста, і ? - коефіцієнт, що характеризує збільшення ширини смуги для вибраного вікна. Відзначимо, що EMBED Equation.3 - це якнайкраща роздільна здатність, досяжна при ШПФ. Коефіцієнт ? звичайно вибирається рівним ЕШС вікна в бінах:
EMBED Equation.3 (16)
Якщо вікно і ШПФ впливають на ділянки послідовності (рис. 8), що не перекриваються, то значна частина даних просто ігнорується, оскільки поблизу меж вікна значення його відліків близькі до нуля. Так, наприклад, якщо перетворення використовується для виявлення коротких вузькополосних сигналів, то при аналізі ділянок, що не перекриваються, поява сигналу може виявитися просто непоміченою. Для цього достатньо, щоб сигнал з'явився поблизу межі будь-якого з інтервалів. Щоб уникнути таких втрат даних, перетворенню звичайно піддають ділянки послідовності, що перекриваються (див. рис. 8). Ступінь перекриття в більшості випадків вибирається рівною 50 або 75%. Розбиття сигналу на ділянки, що перекриваються, звичайно, збільшує загальний об'єм обчислень, проте результати, що досягаються з його допомогою, цілком це виправдовують.

Рис 8, Розбиття послідовностей на інтервали, що перекриваються та не перекриваються.
Важливе питання, що виникає при обробці послідовностей, що перекриваються, торкається ступеня кореляції випадкових компонент сигналу в перетвореннях двох сусідніх ділянок послідовності. При відносно плоскому спектрі шуму в межах смуги пропускання вікна ця кореляція, як функція ступеня перекриття г, визначається формулою (17). На рис. 9 показано, як індекси підсумовування в цій формулі пов'язані із ступенем перекриття інтервалів. Значення коефіцієнта кореляції, визначуваного виразом:
EMBED Equation.3 (17)
В спектральному аналізі для зменшення дисперсії вимірювань часто усереднюють квадрати амплітуд перетворень окремих ділянок послідовності. Як відомо, при усереднюванні К незалежних вимірювань випадкової величини дисперсія середнього пов'язана з дисперсією Індивідуальних вимірювань наступним співвідношенням:
EMBED Equation.3 (18)
Задамося тепер питанням, наскільки зменшиться дисперсія при усереднюванні корельованих вимірювань, як це має місце при усереднюванні перетворень Фур'є ділянок, що перекриваються? Відповідь на це питання дала Уолш. Результат без доказу для окремих випадків 50- і 75%-ного перекриттів наведено нижче:
EMBED Equation.3 (19)
Від’ємні члени в (19) описують краєві ефекти усереднювання; їх можна не ураховувати при К>10. Для хороших вікон член с2(0.25) < 1.0, і його також можна опустити з допустимо малою похибкою. Зауважимо, що для хороших вікон перетворення перекриваються на 50% ділянок сигналу практично незалежні.
D. Паразитна амплітудна модуляція спектру,
Важливим чинником, що впливає на виявлення слабих сигналів, є паразитна амплітудна модуляція спектру (scalloping loss), або ефект ''частоколу" (picket-fence effect}. Раніше ми розглядали виконуване за допомогою вікна ДПФ як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів і аналізували обумовлені специфічними властивостями вікна підсилення і втрати для тонів, співпадаючих з базисними векторами. Базисні вектори – це тони, кратні частоті fs/N, де fs – частота відліків. Ці частоти не що інше, як точки відліків спектру, їх звичайно називають точками виходів, частотами гармонік або бінами ДПФ. Задамося тепер питанням, які будуть додаткові втрати при обробці сигналу, частота якого лежить посередині між частотами сусідніх бінів (тобто сигналу з частотою (k+1/2)fs/N)?
Знов звернувшись до формули (13) і замінивши в ній ?к на ?к+1/2 одержуємо, що підсилення вікна для частоти, зсунутої на 0.5 біна, рівна:
EMBED Equation.3 (20а)
За визначенням, втрати через паразитну амплітудну модуляцію (AM) спектру рівні відношенню когерентного посилення тону, розташованого посередині між двома бінами ДПФ, до когерентного посилення тону, співпадаючого з одним з бінів ДПФ, тобто
EMBED Equation.3 (20b)
Втрати через паразитну AM рівні максимальним втратам при найсприятливішій для ДПФ частоті сигналу.
Е. Максимальні втрати перетворення
Тепер зробимо одне цікаве зауваження. Визначимо максимальні втрати перетворення (ВП) як суму максимальних втрат через паразитну AM спектру для даного вікна (в дБ ) і втрат перетворення, обумовлених формою цього вікна. Введений параметр характеризує зменшення співвідношення виходу сигнал/шум в результаті дії вікна при якнайгіршому розташуванні частоти сигналу. Його величина, звичайно, впливає на мінімальну інтенсивність тону при якій він ще може бути знайдений в широкосмуговому шумі. Відзначимо, що рівень максимальних втрат завжди лежить між 3.0 і 4.3 дБ. Вікна, для яких максимальні ВП перевищують 3.8 дБ, абсолютно незадовільні і їх не слід застосовувати. Майже всі вікна (за винятком прямокутного) однаково придатні для виявлення чистих тонів в широкосмуговому шумі. Різниця у втратах біля різних вікон не перевищує 1.0 дБ, а для добрих вікон – 0.7 дБ.
F. Ще раз про просочування складових
Повертаючись до формули (6) і рис. 6 відзначимо, що на точність вимірювання амплітуди спектральної складової впливає, не тільки спектр широкосмугового шуму але і вузько смугові перешкоди, якщо вони потрапляють в смугу пропускання вікна. Дійсно, деяка спектральна компонента, скажімо, з частотою ?= ?0 буде вносити внесок в спектральну компоненту з частотою ? = ?0, тобто буде спостерігатися на цій частоті. Цей внесок буде визначатися підсиленням вікна з центром в ?0 на частоті ?а. Це і є ефект, званий просочуванням спектральних складових. Він показаний на рис. 10 для перетворення кінцевого тону частотою ?0.
Просочування приводить до зсуву оцінок амплітуд і положень гармонійних складових сигналу. Навіть для єдиної гармоніки (не співпадаючій з частотою гармоніки ДПФ) просочування від ядра на осі негативних частот впливає на ядро на осі позитивних частот. Це вплив найбільш сильний і неприємний при виявленні слабих сигналів у присутності сильних перешкод близької частоти. Для зменшення неприємних наслідків через спектральне просочування амплітуда 6ічних пелюсток вдалині від головної центральної пелюстки частотної характеристики вікна повинна бути малою, а перехід від центральної пелюстки до низько амплітудних бічних пелюсток – дуже швидким. Одним з параметрів, що вказують наскільки добре вікно подавлює просочування, є максимальний рівень бічних пелюсток (по відношенню до головної пелюстки), інший параметр – це асимптотична швидкість спаду бічних пелюсток.
G. Мінімальна допустима смуга частот
Рис.11 характеризує ще один критерій, який повинен використовуватися при виборі оптимальних вікон. Оскільки вікно додає спектральній лінії деяку ефективну ширину, цікаво знати, при якій мінімальній відстані між двома спектральними лініями рівної інтенсивності головні пелюстки цих ліній ще можуть бути розділені незалежно від положення ліній щодо бінів ДПФ. Класичний критерій такого розділу – ширина вікна між точками, в яких потужність головної пелюстки спадає наполовину (ширина вікна по рівню 3.0 дБ). Цей критерій відображає той факт, що дві головні пелюстки рівної інтенсивності, віддалені один від одного по частоті менш ніж на ширину вікна по рівню 3.0 дБ, будуть мати один загальний спектральний пік і не будуть розділятися як дві окремі лінії.

Рис. 11. Спектральний дозвіл двох близько розташованих ядер.
Проте трудність використовування цього критерію в тому, що він несумісний з когерентним підсумовуванням, використовуваним в ДПФ. Точки ДПФ виходів виходять шляхом когерентного складання спектральних компонент, зважених вікном з центром на даній частоті.
Якщо в когерентне підсумовування вносять внесок двоє ядер, їх сума в точці перетину (номінально посередині між ними) повинна бути менше ніж індивідуальні найвищі точки, якщо ці найвищі точки розділені. Таким чином, в точках перетину ядер посилення від кожного ядра повинне перевищувати 0.5, тобто відстань між піками повинна перевищувати ширину вікна по рівню 6.0 дБ. Слід, проте, пам'ятати, що роздільна здатність ДПФ визначається шириною використовуваного вікна по рівню 6.0 дБ.
Вікна, для яких цей показник лежить в межах 4.0—5.5%, потрапляють в лівий нижній кут діаграми на рис. 12, що характеризує якість їх роботи.

Рис 12. Порівняння вікон по рівню бічних пелюсток і максимальних втрат при перетворення.
Точки, відповідні кращим вікнам, лежать в лівому нижньому кутку діаграми. Такі вікна мають низький рівень бічних пелюсток і низькі максимальні втрати перетворення. Проте рис.12 не дає повної інформації про порівняльну ефективність вікон стосовно задачі гармонійного аналізу.