20. Операционное исчисление. Мы будем изучать операционное исчисление как один из методов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Каких-либо решающих преимуществ этот метод перед другими не имеет; в то же время его простота сделала его основным инструментом при решении задачи Коши в целом ряде прикладных наук (механике, радиотехнике, электротехнике и т.д.). Идея операционного исчисления состоит в следующем. Пространство функций, удовлетворяющих некоторым достаточно общим условиям (пространство функций-оригиналов) взаимно однозначно отображается в другое пространство функций (пространство функций-изображений) так, что операциям дифференцирования и интегрирования в пространстве функций-оригиналов соответствуют более простые операции (конкретно - операции умножения и деления) в пространстве функций-изображений. В результате дифференциальное уравнение в пространстве функций-оригиналов преобразуется в линейное алгебраическое уравнение в пространстве функций-изображений, решение которого находится без проблем. Последнее действие - восстановление решения уравнения по его изображению. Таким образом, мы должны изучить следующие вопросы: Какие функции могут быть функциями-оригиналами и каковы свойства функций-изображений; Каковы правила перевода оригиналов в изображения и обратно; Какие изображения имеют основные элементарные функции (таблица стандартных изображений). 20.1. Определение функции-оригинала и её изображения по Лапласу. 20.1.1. Определение. Будем называть функцией-оригиналом действительнозначную или комплекснозначную функцию f(t) действительной переменной t, удовлетворяющую условиям: 1. f(t) = 0 при t < 0; 2. Существуют такие постоянные M > 0 и , что ; 3. На любом отрезке функция удовлетворяет условиям Дирихле (т.е. непрерывна или имеет конечное число устранимых разрывов и разрывов первого рода; монотонна или имеет конечное число экстремумов). Смысл этих условий такой. 1. Так как одно из основных приложений операционного исчисления - решение задач с начальными условиями (задач Коши), то поведение функций до начального момента несущественно; 2. Параметр во втором условии принято называть показателем роста функции f(t). Само второе условие означает, что скорость роста функции-оригинала не может быть больше экспоненциальной. В совокупности с третьим условием это обеспечивает существование и определенные полезные свойства функции-изображения и не является обременительным. Приведём примеры функций-оригиналов. Для всех этих функций первое и третье свойства выполняются очевидно, поэтому будем проверять только второе свойство. Единичная функция Хевисайда. Так называется функция, Очевидно, это - функция-оригинал (). . Заметим, что с помощью единичной функции Хевисайда определение этой функции можно записать короче: , так как функция в качестве множителя обнуляет любую другую функцию при t < 0. Дальше мы будем писать просто , , , и т.д., имея в виду, что все функции начинаются в момент t = 0, и при t < 0 тождественно равны нулю. Для функции получаем: при , поэтому . 3. f(t) = sin t. и т.д. Примеры функций, не являющихся оригиналами: Эта функция имеет разрыв второго рода в точке . Функция имеет бесконечное число экстремумов на отрезке [0,1]. Не существует таких констант M и , что . 20.1.2. Определение. Изображением по Лапласу функции-оригинала f(t) (или преобразованием Лапласа функции f(t)) называется функция комплексной переменной p, определяемая равенством . Интеграл в правой части этого определения сходится абсолютно в любой точке p, удовлетворяющей неравенству , где - произвольной число, такое, что . Действительно, (так как ) = , а интеграл сходится. Таким образом, мы доказали, что изображение F(p) определено в любой точке p, такой что , т.е. в полуплоскости справа от прямой . Как следствие, показатель скорости роста оригинала число часто называют абсциссой сходимости. Заметим, что мы доказали также, что : так как , то . Кроме того, в оценке мы мажорировали модуль подынтегральной функции функцией, не зависящей от p, интеграл от которой сходится. Как и в теории степенных рядов, этого достаточно, чтобы сходимость интеграла была равномерной по переменной p, поэтому функцию F(p) можно дифференцировать и интегрировать по этой переменной.
20.1.3. Изображения простейших функций. 20.1.3.1. Единичная функция Хевисайда Её изображение: , так как . Соответствие между функцией-оригиналом и изображением обозначается по-разному: знаком равенства с точками, стрелками с точками и т.д.; мы будем применять обозначения и , наиболее подходящие из имеющихся в Word’е. Итак, доказано: . 20.1.3.2. . . 20.1.3.3. . (мы с помощью двукратного интегрирования по частям сводим интеграл к самому себе) . Для получено уравнение . Итак, . 20.1.3.4. . Аналогично предыдущему доказывается, что . 20.1.3.5. Степенная функция f(t) = t n. При n = 1 находим , так как . Итак, . Аналогично можно доказать, что , , и вообще при целом . Дальше мы получим более простой вывод этих формул с помощью теоремы о дифференцировании изображения. 20.2. Свойства преобразования Лапласа. 20.2.1. Линейность преобразования Лапласа. Если f(t), g(t) - функции-оригиналы, имеющие изображения F(p), G(p), то их линейная комбинация - тоже функция-оригинал, и . Это свойство непосредственно следует из свойства линейности несобственного определённого интеграла. С его помощью можно более просто вывести изображения функций , , исходя из изображения : ; . Далее, ; . 20.2.2. Теорема подобия. Если f(t) - функция-оригинал и , то для любого . Док-во. . Иллюстрации применения этого свойства: если , то ; если , то и т.д. 20.2.3. Теорема смещения. Если , то . Здесь - произвольное комплексное число. Док-во. . Иллюстрации применения этого свойства: если , то ; если , то и т.д. 20.2.4. Теорема запаздывания. Если (т.е. ), то для любого числа . Док-во. . Теорема запаздывания применяется для изображения функций импульсных, составных, периодических. Рассмотрим этот вопрос подробнее. 20.2.4.1. Импульсные функции. Единичный импульс: С помощью функции Хевисайда эта функция записывается так: . ; по теореме запаздывания , поэтому . Запаздывающий прямоугольный импульс: Здесь . Треугольный импульс. Аналитически эта функция записывается так: Изменение функции на переходе от участка к участку равно ; при переходе к участку изменение функции равно , поэтому можно переписать , и, так как , , то . Синусоидальный импульс. Здесь , поэтому . 20.2.4.2. Составные функции. Пусть f(t) задаётся разными выражениями на различных участках области определения: . С помощью функции Хевисайда f(t) записывается так: , и теорема запаздывания позволяет получить изображение этой функции. 20.2.4.3. Периодические функции. Пусть f(t)- периодическая при t > 0 функция с основным периодом, равным T. Обозначим f1(t) функцию, описывающую первый период функции f(t): . Теперь (каждое слагаемое описывает соответствующий период). Пусть - изображение функции f1(t). Тогда . Найдём в качестве примера изображение функции {t} - дробной части числа t. Эта функция определяется так: {t} = t – n при - целое число. Для неё , или , поэтому , и . 20.2.5. Интегрирование оригинала. Если f(t) - функция-оригинал, и , то - тоже функция-оригинал, и . Док-во. (это повторный интеграл, вычисляемый по области ; меняем порядок интегрирования, это можно сделать, так как несобственный двойной интеграл сходится абсолютно) . 20.2.6. Дифференцирование оригинала. Если функция-оригинал f(t) имеет производную , тоже являющуюся оригиналом, и , то . Док-во. Мы пишем здесь f(+0), а не f(0), так как оригинал может иметь разрыв (первого рода) в точке t = 0. Формула дифференцирования оригинала может применяться неоднократно. Если функция-оригинал f(t) имеет производные , и все они тоже являются оригиналами, имеющими изображения F1(p), F2(p), F3(p), …, Fn(p), то, как только что доказано, Тогда , , …, 20.2.7. Интегрирование изображения. Пусть f(t) - функция-оригинал, и функция ограничена в окрестности точки t = 0. Тогда тоже является оригиналом и . Док-во. Проинтегрируем равенство по переменной по горизонтальному лучу, проведённому из точки , где : . Иллюстрации применения теорем об интегрировании изображения и оригинала: Найти изображение интегрального синуса . Решение: (по теореме 20.2.7) (по теореме 20.2.5) . Найти изображение функции . Решение. . 20.2.8. Дифференцирование изображения. Если f(t) - функция-оригинал, и , то . Док-во. . Дифференцируя это соотношение по параметру р, получаем . Иллюстрации этого свойства. С его помощью просто получаются изображения степенных функций: , или ; , или ,, или ; , или , и вообще . Другие иллюстрации: , …, . и т.д. 20.2.9. Изображение свёртки функций. Теорема Бореля. Интегралы Дюамеля. 20.2.9.1. Свёртка функций и её свойства. Определение. Сверткой функций f1(t) и f2(t) называется функция . Свёртка обозначается символом : . Если f1(t) и f2(t) - функции-оригиналы, то их свёртка - тоже функция-оригинал, показатель роста которой превышает наибольший из показателей роста функций f1(t) и f2(t) не больше, чем на 1. Действительно, пусть , , , тогда , так как t < e t. Свёртка функций коммутативна: , в этом легко убедиться, заменив в интеграле переменную на . Можно показать, что свёртка обладает свойством ассоциативности, т.е. что . 20.2.9.2. Теорема Бореля (теорема об умножении изображений). Изображение свёртки двух оригиналов равно произведению изображений свёртываемых оригиналов. Док-во. (меняем порядок интегрирования)= . С помощью этой теоремы легко находить оригиналы для изображений вида . Примеры. Найти оригиналы, если 1. . Здесь , , поэтому . 2. . Здесь , , поэтому . 3. . Здесь , поэтому . 20.2.9.3. Интегралы Дюамеля. Запишем с помощью теоремы Бореля оригиналы для выражения вида pF(p)G(p), где F(p) и G(p) - изображения функций f(t) и g(t). С одной стороны, (так как, по теореме 20.2.8, ); с другой стороны, . В развёрнутом виде , . Каждая из этих формул называется интегралом Дюамеля. 20.3. Таблица стандартных изображений. Сведём в таблицу полученные ранее изображения элементарных функций.
1.
1
9.
2.
10.
3.
11.
4.
12.
5.
13.
6.
14.
7.
15.
8.
16.
20.4. Обращение преобразования Лапласа. 20.4.1. Формула Римана-Меллина. Если функция F(p) - изображение функции-оригинала f(t), то f(t) может быть найдена по формуле . Это равенство имеет место в каждой точке, в которой f(t) непрерывна. В точках разрыва функции f(t) значение правой части равно . Интеграл в правой части формулы называют интегралом Меллина; интегрирование может вестись по любой вертикальной прямой , и интеграл понимается в смысле главного значения: . Вычисление оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже. 20.4.2. Элементарный метод нахождения оригинала. Этот метод основан на непосредственном применении таблицы стандартных изображений 20.3 и свойств преобразования Лапласа. Примеры. 1. . Представляя изображение в виде и сравнивая эти выражения с формулами 9, 10 таблицы, находим оригинал . 2. . Наличие степеней переменной р в знаменателе позволяет применить теорему 20.2.5 об интегрировании оригинала: , , . Можно решить этот пример с помощью свёртки: , . Однако проще всего представить в виде суммы простых дробей . 20.4.3. Первая теорема разложения. Если точка является нулём функции F(p), F(p) аналитична в окрестности этой точки и разложение функции по степеням р в окрестности точки имеет вид , то функция F(p) есть изображение функции . Это выражение получается в результате почленного перехода к оригиналам в ряде : так как , то , и . Примеры. 1 . . Условия теоремы выполнены. Лорановское разложение функции F(p) в окрестности точки : . 2. . Здесь . 20.4.4. Вторая теорема разложения. Пусть функция F(p) комплексной переменной р аналитична во всей плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек , ,, …, , расположенных в полуплоскости . Если , и F(p) абсолютно интегрируема вдоль любой вертикальной прямой , то F(p) является изображением, и . Док-во. Сведём интеграл в формуле Римана-Меллина к интегралу по замкнутому контуру. Контур составим из отрезка ABпрямой , и дуги CR окружности | p | = R, расположенной слева от отрезка и содержащей внутри себя все особые точки функции . По основной теореме о вычетах . , поэтому . Устремим . По лемме Жордана ; а для второго интеграла получаем , поэтому в пределе . Применим эту теорему для обращения изображения . Функция имеет три особых точки: p = 0 (полюс второго порядка) и (простые полюсы), поэтому . Находим вычеты: ;
; ; . Если F(p) - несократимая дробно-рациональная функция: и - многочлены соответствующих степеней, и точка - полюс порядка , т.е. точка - нуль порядка знаменателя , то . Производную произведения представим по формуле Лейбница: , , поэтому . Если все особые точки дробно-рациональной функции F(p) - простые полюса, т.е простые нули знаменателя , то эта формула существенно упрощается: , и . Пример: . Здесь знаменатель имеет только простые нули, , поэтому . 20.5. Приложения операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и их систем. 20.5.1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
Начальные условия в этой задаче заданы в точке t0 = 0. Если начальные условия задаются в другой точке , то заменой аргумента u = t - t0 их сдвигают в точку u0 = 0. Метод решения этой задачи основан на теореме о дифференцировании оригинала. Предположим, что функция x(t), её производные до n-го порядка, правая часть f(t) являются функциями-оригиналами, и . Тогда , , …, , и изображение задачи будет иметь вид , где - изображение правой части уравнения. Это линейное относительно X(p) алгебраическое уравнение, решив которое, находим X(p). Оригинал этого изображения и будет решением задачи Коши. Пример. Найти решение задачи Коши . Решение. Пусть . Тогда , , , и изображение задачи имеет вид . Находим X(p): . Обращаем это изображение: , . Решение задачи: . 20.5.2. Общее решение дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Заметим, что решив задачу Коши с произвольными начальными условиями, мы получим общее решение уравнения. Так, для задачи предыдущего пункта изображение будет иметь вид . Решение задачи зависит от двух произвольных постоянных, представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения , следовательно, является общим решением уравнения. 20.5.3. Краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Если найдено общее решение уравнения, оно может быть использовано для решения краевой задачи. Пусть, например, задана краевая задача . Так как общее решение уже известно: , остаётся найти значения произвольных постоянных, при которых выполняются краевые условия: следовательно, решение краевой задачи равно
20.5.4. Уравнения с импульсной и составной правой частью. Это, возможно, единственный случай, когда операционное исчисление имеет преимущество перед другими методами решения рассматриваемых задач. Теорема запаздывания (20.2.4) позволяет полностью сохранить изложенный порядок действий. В качестве примера рассмотрим задачу , где f(t) - изображённая на рисунке периодическая функция периода Т: Изображение первого периода мы нашли в 20.2.4.1: ; изображение всей правой части, согласно разделу 20.2.4.3. Периодические функции, равно ; изображение уравнения . Оригиналы для первых двух слагаемых выписываются просто; для обращения последнего слагаемого представим произведение в виде , множитель развернем в геометрическую прогрессию , тогда , следовательно, . Оригинал для каждого слагаемого этой суммы обозначим , по теореме запаздывания ; так как . Таким образом, решение всей задачи имеет вид . 20.5.5. Формулы Дюамеля. При решении задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения согласно тому порядку действий, который изложен выше, необходимо находить изображение правой части уравнения, что в некоторых случаях может быть затруднительно или вообще невозможно. Формулы Дюамеля позволяют находить решение, не выписывая в явной форме изображение правой части. Они основаны на интегралах Дюамеля, рассмотренных в пункте 20.2.8.3: , . Рассмотрим, наряду с полной задачей для функции , вспомогательную задачу для функции :
Особенность этой вспомогательной задачи - простая правая часть (f(t) = 1) и однородные (нулевые) начальные условия. Её изображение имеет вид . Обратить это изображение можно любым методом: с помощью свёртки, по второй теореме разложения (все особые точки - полюса), или разложив дробь на простые слагаемые. Рассмотрим ещё одну вспомогательную задачу для функции z1(t):
которая отличается от общей задачи однородными начальными условиями, а от первой вспомогательной задачи - общим видом правой части. Её изображение имеет вид . Сравнивая функции Z(p) и Z1(p), получаем Z1(p) = pF(p)Z(p). В соответствии с интегралами Дюамеля, , или (так как ). Эти формулы, выражающие решение задачи с произвольной функцией f(t) и однородными (нулевыми) начальными условиями через решение задачи с f(t) = 1 и такими же граничными условиями, называются формулами Дюамеля. Наконец, чтобы учесть общий вид начальных условий, рассмотрим третью вспомогательную задачу (относительно функции ) - с нулевой правой частью:
Её изображение:
. Обращая это изображение, находим функцию - решение третьей задачи. Теперь решение общей задачи равно сумме полученного по одной из формул Дюамеля решения второй вспомогательной задачи (с общей правой частью и однородными (нулевыми) начальными условиями) и решения третьей вспомогательной задачи (с однородным уравнением и общими граничными условиями). Пример. . Решение. Функция не является оригиналом (разрывы второго рода), поэтому найти её изображение невозможно. Решаем задачу с и однородными начальными условиями: , по формуле Дюамеля находим решение задачи с f(t) = tg t и нулевыми начальными условиями: . Наконец, решаем однородное уравнение с заданными начальными условиями: . Решение исходной задачи - сумма двух последних функций: . 20.5.6. Решение систем линейных уравнений. Системы решаются так же, как и отдельные уравнения, поэтому сразу рассмотрим пример. Найти решение системы удовлетворяющее условиям: при t = 0 Решение. Пусть , . Тогда , и изображение задачи имеет вид Решаем эту систему относительно : из первого уравнения вычитаем второе, умноженное на р: (после разложения на простые дроби) ; Если на р умножить первое уравнение и вычесть второе, получим . Итак, решение задачи .
