Лекция 5. Цифровые фильтры. Основные понятия
Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем. Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы. 
Определение. Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени . 
Пусть имеется ЛИС . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность . Пусть , а по определению . Для произвольной последовательности  справедливо разложение . В силу линейности  а в силу инвариантности . Окончательно, если  , то 
   (1)
Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности , называемой импульсной реакцией, или функцией отклика.

Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым. 
Вообще говоря, сумма в (1) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения. 
Определение. Система (1) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.
Предложение. Система устойчива тогда и т.т., когда
.
Доказательство. Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность. Возьмем в качестве входной последовательности , если . Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид .
Рекуррентные системы
Предыдущие примеры ЛИС давали явные выражения выходных сигналов через входные. Предположим теперь, что входная последовательность  обладает свойством: . Пусть 
,
,        (2)
где  - натуральное, а  - любые целые числа.. Эта система будет инвариантна, если соблюдены описанные выше ограничения. Имеется в виду, что вместе со сдвигом входной последовательности сдвигается и .Она будет линейной, если число  одно и тоже для обеих входных последовательностей. Она будет физически реализуемой, если . Последовательность, заданная соотношениями (2) называется рекуррентной, или последовательностью с бесконечным временем отклика. Для такой ЛИС также можно построить функцию отклика. Вопрос об устойчивости в терминах (2) будет рассмотрен ниже.
Фильтры
Пусть имеется ЛИС с функция отклика , на вход которой подается , а на выходе получается последовательность . Переходя в (1) к преобразованиям Фурье, получим 
     (3).
Уравнение (3) является основным в теории фильтрации. Функция  называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой , то  будет периодической функцией с периодом . Если последовательность  - вещественная, то . Отсюда следует, функция  является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале  и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.
Фильтры с конечным временем отклика.
Предположим, что в последовательности  лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечным временем отклика (FIR). В этом случае

. Переходя к преобразованиям Фурье и учитывая, что , получим, что . Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид
  (4)
Фильтры с бесконечным временем отклика
Фильтром с бесконечным временем отклика  (IIR) называется фильтр, определенный с помощью рекуррентного соотношения (2). Как было отмечено выше, это ЛИС, поэтому она может быть задана с помощью функции отклика . Последняя будет иметь бесконечное число ненулевых элементов, хотя и не может быть произвольной сходящейся последовательностью. Передаточную функцию находим, переходя в (2) к преобразованиям Фурье.
 
IIR фильтр является линейной инвариантной системой, а его функцию отклика можно найти формальным представлением  в виде ряда:  где ,  с последующим суммированием коэффициентов при одинаковых степенях .