Лекция 15.Свертка последовательностей и ее вычисление
Сдвиг последовательности
Пусть имеется последовательность . Мы можем превратить ее в бесконечную последовательность, положив . Выберем целое  и определим . Найдем связь между преобразованиями Фурье этих последовательностей. Имеем
 (1)
Циклическая свертка
Пусть имеются последовательности .и . Определим их свертку 
    (2)
Операция свертки является коммутативной, и кроме того, последовательность, определенная формулой (2), автоматически будет периодической с периодом . Назовем ее циклической сверткой исходных последовательностей. Подсчитаем конечное преобразование Фурье. 
  (3)
Таким образом, преобразование Фурье от свертки равно произведению преобразований Фурье от сомножителей.

Использование окон
На практике мы имеем дело с исходными последовательностями большой длины, а дискретное преобразование Фурье применяем лишь к отдельным частям. В этом случае эта отдельная часть трактуется как периодическая последовательность, что приводит к искажению результатов. Например, исходная последовательность имеет вид 1,2,3,... Предположим, мы решили ограничиться значениями . Выбрав первые четыре члена, получим последовательность  1,2,3,4,1,2,3,..У этой последовательности имеется скачок при переходе от 4 к 1, чего нет в исходной последовательности. Для того, чтобы ослабить указанный эффект, используют сглаживающие окна, которые превращают конечную последовательность в периодическую без скачков на концах. Пусть  последовательность, для которой , тогда у последовательности  не возникает скачка из-за периодического продолжения. Эту последовательность называют сглаживающим окном. Согласно (3), . Обычно в  качестве окон используют те же окна Хэмминга и Хеннинга, о которых шла речь выше.
Кратковременное преобразование Фурье
Пусть имеется исходная последовательность  большой длины. Требуется изучить ее спектр с помощью ДПФ. Это означает, что на самом деле будет исследована лишь часть последовательности длины . Выбирают окно соответствующей длины, после чего, передвигая окно вдоль последовательности, получим набор спектральных коэффициентов, зависящих от положения окна. Это и есть кратковременный спектр. В этом смысле процедура напоминает Wave-let преобразование. Выбор длины окна является компромиссом между точностью и разрешающей способностью. Чем длиннее окно, тем больше коэффициентов будет найдено, но при этом будут получены усредненные по длине окна характеристики.