Ñôåðà è øàð

Ðàáîòà ó÷åíèêà 11 êëàññà
ñðåäíåé øêîëû ¹1906
þãî-çàïàäíîãî îêðóãà
ã.Ìîñêâû
Êàøèíà Âèòàëèÿ.

Ñôåðà è øàð.
   Ñôåðà-ýòî ôèãóðà, ñîñòîÿùàÿ èç âñåõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, óäàë¸ííûõ îò äàííîé òî÷êè íà äàííîì ðàññòîÿíèè.

   Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ öåíòðîì ñôåðû, R-ðàäèóñ ñôåðû.
   Ëþáîé îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòð è êàêóþ-íèáóäü òî÷êó ñôåðû, íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ñôåðû. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå òî÷êè ñôåðû è ïðîõîäÿùèé ÷åðåç å¸ öåíòð, íàçûâàåòñÿ äèàìåòðîì ñôåðû. 
   Øàð-ýòî ôèãóðà, ñîñòîÿùàÿ èç âñåõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè íå áîëüøåì äàííîãî îò äàííîé òî÷êè
(èëè ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ ñôåðîé).

Óðàâíåíèå ñôåðû.

   M(x;y;z)-ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, ïðèíàäëåæàùàÿ ñôåðå.
ñëåä. MC=  ò.ê. MC=R, òî 
  åñëè ò.Ì íå ëåæèò íà ñôåðå, òî MCR, ò.å. êîîðäèíàòû òî÷êè Ì
íå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ.Ñëåäîâàòåëüíî, â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèå ñôåðû ðàäèóñà R ñ öåíòðîì C(x0;y0;z0;) èìååò âèä : 

Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ñôåðû è ïëîñêîñòè.

  d - ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ñôåðû äî ïëîñêîñòè.
ñëåä. C(0;0;d), ïîýòîìó  ñôåðà èìååò óðàâíåíèå  
ïëîñêîñòü ñîâïàäàåò ñ Îxy, è ïîýòîìó å¸ óðàâíåíèå èìååò âèä z=0
Åñëè ò.Ì(x;y;z) óäîâëåòâîðÿåò îáîèì óðàâíåíèÿì, òî îíà ëåæèò è â ïëîñêîñòè è íà ñôåðå, ò.å. ÿâëÿåòñÿ îáùåé òî÷êîé ïëîñêîñòè è ñôåðû.
ñëåä. âîçìîæíû 3 ðåøåíèÿ ñèñòåìû :

   1)   d<R  ,   d^2<R^2   ,   x^2 + y^2 = R^2 - d^2 > 0
   óðàâíåíèå èìååò á.ì. ðåøåíèé, ïåðåñå÷åíèå ñôåðû è ïëîñêîñòè - îêðóæíîñòü C(0;0;0)    è     r^2=R^2 - d^2

   2)  d=R   ,   x^2 + y^2 =0  ,  x=y=0  ñëåä. ñôåðà ïåðåñåêàåòñÿ ïëîñêîñòüþ â òî÷êå Î(0;0;0)

   3) d>R  ,  d^2>R^2     R^2 - d^2 < 0
         x^2 + y^2 >=0  ,    x^2+y^2=R^2 - d^2  íå èìååò ðåøåíèé 
Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ñôåðå.
   Ïëîñêîñòü, èìåþùàÿ ñî ñôåðîé òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó, íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê ñôåðå, à èõ îáùàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ òî÷êîé êàñàíèÿ ïëîñêîñòè è ñôåðû.
   Òåîðåìà:
  Ðàäèóñ ñôåðû, ïðîâåä¸ííûé â òî÷êó êàñàíèÿ ñôåðû è ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðåí ê êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè.

Äîêàçàòåëüñòâî:
   Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÎÀ íå ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè, ñëåä. ÎÀ-íàêëîííàÿ ê ïëîñêîñòè, ñëåä. ÎÀ > R , íî ò.À ïðèíàäëåæèò ñôåðå, òî ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå, ñëåä. ÎÀ ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè.
÷.ò.ä.
   Òåîðåìà:
  Åñëè ðàäèóñ ñôåðû ïåðïåíäèêóëÿðåí ê ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî êîíåö, ëåæàùèé íà ñôåðå, òî ýòà ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ñôåðå.
Äîêàçàòåëüñòâî:
   Èç óñëîâèÿ òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äàííûé ðàäèóñ ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì, ïðîâåä¸ííûì èç öåíòðà ñôåðû ê äàííîé ïëîñêîñòè. Ïîýòîìó ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ñôåðû äî ïëîñêîñòè ðàâíî ðàäèóñó ñôåðû, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñôåðà è ïëîñêîñòü èìåþò òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííàÿ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ñôåðå.
÷.ò.ä.
Ïëîùàäü ñôåðû:
   Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïëîùàäè ñôåðû âîñïîëüçóåìñÿ ïîíÿòèåì îïèñàííîãî ìíîãîãðàííèêà. Ìíîãîãðàííèê  íàçûâàåòñÿ îïèñàííûì îêîëî ñôåðû (øàðà) , åñëè ñôåðà êàñàåòñÿ âñåõ åãî ãðàíåé. Ïðè ýòîì ñôåðà íàçûâàåòñÿ âïèñàííîé â ìíîãîãðàííèê.
   Ïóñòü îïèñàííûé îêîëî ñôåðû ìíîãîãðàííèê èìååò n-ãðàíåé. Áóäåì íåîãðàíè÷åííî óâåëè÷èâàòü  n   òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû  íàèáîëüøèé ðàçìåð êîæäîé ãðàíè ñòðåìèëñÿ ê íóëþ. Çà ïëîùàäü ñôåðû ïðèìåì ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïëîùàäåé ïîâåðõíîñòåé îïèñàííûõ îêîëî ñôåðû ìíîãîãðàííèêîâ ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ íàèáîëüøåãî ðàçìåðà êîæäîé ãðàíè. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò, è ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ âû÷åñëåíèÿ ïëîùàäè ñôåðû ðàäèóñà R :  
S=4ÏR^2