ВЫЧИСЛЕНИЕ  ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ МЕТОДОМ  ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА. 

Одновременно с решением системы линейных алгебраических уравнений
 
         можно вычислить определитель матрицы  А.
Пусть в процессе исключения найдено распожение  

т.е. построены матрицы  L è U . Тогда 

и, таким образом, произведение диагональных елементов матрицы L (ведущих, главных елементов метода исключения)  равно определителю матрицы РА. Поскольку матрицы РА и А отличаются только перестановкой строк, определитель матрицы РА может отличаться от определителей матрицы А только знаком.
А именно,    
Таким образом, для вычисления определителя  необходимо знать, сколько  перестановок было осуществлено в процессе сключения.
Если матрица А выроджена, то при использовании метод Гаусса  с выбором главного элемента  по столбцу на некотором шаге исключения К все элементы которого столбца, находящиеся ниже главной диагонали и на ней, окажутся  равными нулю.При этом дальнейшее исключение становится невозможным и программа должна выдать информацию о том, что определитель матрицы равен нулю.

ОБРАЩЕНИЕ  МАТРИЦ.
Нахождение  матрицы, обратной матрице А , еквивалентно решению матричного уравнения 
                                                                    (1)
где Е - единичная  матрица, X - искомая квадратная матрица.
Уравнение (1) можно записать в виде системы   уравнений    
                                           (2)
где   
Можно заметить, что система (2) распадается на m независимых  систем уравнений с одной и той  же  матрицей А , но с различными правыми частями. Эти  системы  имеют
вид ( фиксируем j ) :
                                           (3)
где   у вектора - столбца  равна единице  j-та  компонента и равны нулю остальные компоненты.
Например, для матрицы второго порядка система (2) распадается на две независимые системы:
      
Äëÿ ðåøåíèÿ систем (3) используется метод Гаусса ( обычный или с выбором главного элемента).
Рассмотрим применение  метода Гаусса без выбора главного элемента. Поскольку все системы (3)  имеют одну и ту же матрицу А , достаточно  один раз совершить прямой ход метода Гаусса, т.е. получить разложение  A=LU  и запомнить матрицы  L  i U .
Обратный ход осуществляется путем решения систем уравнений       
с треугольными матрицами L  è U.
При осуществлении обратного хода можно сократить число действий, принимая во внимание специальный вид правых частей системы (4).
Запишем подробнее первые j-1 уравнений системы (4):
       
Учитывая  невырожденность матрицы L ( т.е.  
отсюда получаем 
       
При этом оставшиеся уравнения системы (4) имеют вид             

Отсюда последовательно находятся неизвестные  по формулам:                                   
     Можно показать, что общее число действий умножения и деления,  необходимое  для обращения матрицы  указанным способом, порядка . Тем самым обращение матрицы  требует не намного больше времени, чем решение системы уравнений.