Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интеграле 
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая
x = r cos ,		y = r sin .	(2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи) (рис.1).
Введем обозначения:

rj = rj+1 - rj, 
i = i+1 - i

Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:
Si = rj i rj	(3)
Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:
xij = rj cos i,		yij = rj sin i.
И следовательно, 
f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i)		(3')

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым 
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), 

получаем:
	(4)
где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции 
f(r cos, r sin)r,

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно 
	(5)

Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
	(6)
Выражение 
dS = r d dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами 
Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).
Имеем

	(8)

Где
F(r,) = rf(r cos, r sin)

Пример 1.

Переходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл
Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).
Так как 

то применяя формулу (6),

получим
Область S определена 
Неравенствами 

Поэтому на основании формулы (8) имеем

Пример 2.

В интеграле
	(9)
перейти к полярным координатам.

Область  интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).
В полярных координатах уравнения 
этих прямых записываются 
следующим образом: =0,
 =/4, r cos=1 и, 
следовательно, область S
определяется неравенствами

Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что

имеем