ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА
Пусть ¦ ( x ) , g ( x ) , x Î R 1 –суммируемые на [ - p , p ] , 2 p - периодические, комплекснозначные функции. Через f * g(x) будем обозначать свертку 
f * g(x) = dt 
Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [ - p , p ] и 
c n ( f * g ) = c n ( f ) × c n ( g ) , n = 0, ± 1 , ± 2 , ... ( 1 ) 
где { c n ( f ) } -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) : 
c n = - i n t dt , n = 0, ± 1 , ± 2 , ¼ 
Пусть ¦ Î L 1 (- p , p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию 
¦ r ( x ) = n ( f ) r | n | e i n x , x Î [ - p , p ] , ( 2 ) 
где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦ r ( х ) равны 
c n ( f r ) = c n × r | n | , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ¼ , а это согласно (1) значит, что ¦ r ( x ) можно представить в виде свертки : 
¦ r ( x ) = , ( 3 ) 
где 
, t Î [ - p , p ] . ( 4 ) 
Функция двух переменных Р r (t) , 0 £ r < 1 , t Î [ - p , p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) -- интегралом Пуассона 

Следовательно, 
P r ( t ) = , 0 £ r < 1 , t Î [ - p , p ] . ( 5 ) 
Если ¦ Î L 1 ( - p , p ) - действительная функция , то , учитывая , что 
c -n ( f ) = ` c n ( f ) , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ¼ , из соотношения (2) мы получим : 
f r ( x ) = 
= , ( 6 ) 
где 
F ( z ) = c 0 ( f ) + 2 ( z = re ix ) ( 7 ) 
•	аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ Î L 1 ( - p , p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция 
u ( z ) = ¦ r (e ix ) , z = re ix , 0 £ r < 1 , x Î [ - p , p ] 
При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0 задается формулой 
v (z) = Im F (z) = . ( 8 ) 
Утверждение1 
Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1 + e ( e > 0 ) функция и ¦ (x) = u (e ix ) , x Î [ - p , p ] . Тогда 
u (z) = ( z = re ix , | z | < 1 ) ( 10 ) 
Так как ядро Пуассона P r (t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция: 
= , | z | < 1 + e 
Но тогда 

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3) 
Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦ r ( x ) при r ® 1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: 
а) ; 
б) ; 
в) для любого d >0 

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3) ¦ ( х ) º 1 . 
Теорема 1 
Для произвольной (комплекснозначной) функции ( - p , p ) , 1 £ p < ¥ , имеет место равенство 
; 
если же ¦ (x) непрерывна на [ - p , p ] и ¦ (- p ) = ¦ ( p ) , то 

Доказательство 
В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона 
( 12 ) 
Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим 

Следовательно, 

Для данного e > 0 найдем d = d ( e ) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку 

Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства 

Теорема 1 доказана 
Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы 
Определение1 
Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция 

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х 
Определение 2 
Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0 

Теорема 2 (Фату) 
Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда 
для п.в. 
Доказательство 
Покажем, что для и 
, ( 13 ) 
где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку 

( К - абсолютная константа) 
Пусть - такое число, что 

Тогда для 

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1,1) оператора , найдем такую последовательность функций ,что 
, 
( 14 ) 
для п.в. 
Согласно (13) при x Î (-2 p , 2 p ) 

Учитывая , что по теореме 1 для каждого x Î [- p , p ] и (14) 
Из последней оценки получим 
при n ® ¥ 
Теорема 2 доказана 
Замечание 
Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. x Î [- p , p ] , когда точка re it стремится к e ix по некасательному к окружности пути 
Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [ - 2 p , 2 p ] (т.е. 
f (x) = f (y) , если x,y Î [-2 p ,2 p ] и x-y=2 p ) и f (x) = 0 , если | x | > 2 p