Лекция 8

7. Линза

7.1. Фокусные расстояние для сферической поверхности

	   A   b
	a		s’     
 O	  s	 R		    O’
	   B C
	n=1	   n>1
Рассмотрим прохождение световой волной сферической поверхности, разделяющей вакуум и некоторую среду, например, стекло, показатель которой равен n. Пусть в точке O находится источник света.
Ранее мы получили соотношение между углом излучения (падения) луча света и производной начальной фазы вдоль поверхности раздела двух сред:

.

В данном случае справа и слева у нас разные углы q - это углы падения a и b, и разные длины волн - l0 в вакууме и l в стекле. Прямая OO’ обозначает оптическую ось и мы ограничиваемся параксиальными лучами, т.е. лучами, проходящими через преломляющую поверхность вблизи оптической оси. Это означает, что углы a и b малы.
С учетом этих замечаний мы можем записать:

;         .

Здесь h - расстояние точки A от оптической оси.
Из этих уравнений следует:

;          .

Собственно, мы здесь записали закон преломления для малых углов

и из него получили выражение, с помощью которого можно подсчитать радиус сферической поверхности, необходимой для того, чтобы вышедшие из точки O лучи собирались в точке O’.
Ограничиваясь лишь рассмотрением параксиальных лучей, мы можем не делать различия между величинами s и s’ с одной стороны и длинами отрезков OB и O’B с другой. Обозначим длины этих отрезков как x и x’.
Устремив теперь величину x к бесконечности (на сферическую поверхность падает плоская волна), мы получим

;          .

Иначе говоря, при падении на сферическую поверхность параллельного пучка параксиальных лучей они соберутся в точке O’ на расстоянии x’=f’ от поверхности. Величина f’ называется фокусным расстоянием.
Если мы хотим, чтобы вышедшие из точки O лучи после преломления на сферической поверхности были параллельны оптической оси, нам в полученном выражении нужно положить равной бесконечности величину x’»s’ и тогда
;           .

Таким образом, слева и справа фокусные расстояния неодинаковы и различаются в n раз.
С учетом полученных выражений мы можем записать такие соотношения:
     или     .

 O’	O
Предположим теперь, что величина x<f. тогда будет n/x’<0. Это означает, что точка O’ будет находиться слева от сферической поверхности. Точку O’ называют изображением точки O. Если x’<0, реальные лучи не пересекаются в точке O’, они идут после преломления таким образом, как если бы они вышли из этой точки. В таком случае говорят, что изображение точки O мнимое. Если лучи пересекаются в точке O’, то говорят о действительном изображении.

		 O
			 O’

Но может быть и такое положение, что лучи направлены в точку O, расположенную справа от поверхности (x<0) и после преломления пересекаются в точке O’. Тогда говорят о мнимом источнике света, в отличии от действительного, из которого на самом деле исходят лучи света. Разумеется, при x’<f’ мнимый источник расположен по отношению к преломляющей поверхности ближе правого фокусного расстояния.

7.2. Фокусное расстояние линзы

Обычно используется устройство из стекла или другого материала, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если эти поверхности расположены близко друг от друга, говорят о тонкой линзе. Подсчитаем фокусное расстояние тонкой линзы.
Пусть радиусы сферических поверхностей, отделяющих стекло от вакуума, равны R1 и R2. Запишем координату точки, в которой собрались бы параллельные оси лучи справа от первой поверхности:

.

На таком расстоянии оказывается изображение бесконечно удаленного источника света после прохождения первой сферической поверхности. Оно является (мнимым) источником для второй сферической поверхности. Применим полученное выше выражения для определения координаты изображения точки O’, которое получается с помощью второй сферической поверхности. Но здесь необходимы некоторые пояснения.
Заменяя x на y, мы можем записать для нее такое выражение:

.

В этом выражении нам следует положить y=-f’, поскольку (мнимый) источник находится правее преломляющей поверхности, а поверхности мы считаем близко расположенными. Наконец, в точке с координатой y’ соберутся параллельные лучи, падающие на линзу. Поэтому введем обозначение F’=y’ - фокусное расстояние линзы. Таким образом,

;          .

Если по обе стороны линзы вакуум, то левый и правый фокусы находятся на одинаковых расстояниях от нее. Докажем это утверждение, повторив с некоторыми изменениями наши рассуждения.
Если источник света расположен в левом фокусе линзы F, после нее пучок лучей должен быть параллельным оптической оси. Для этого изображение источника, полученное с помощью первой поверхности должно находиться в левом фокусе второй преломляющей поверхности (слева от первой, почему x’<0). Кроме того y’=¥. Поэтому:

;         ;
.

Что мы и хотели доказать.

7.3. Фокусное расстояние линзы. Другой подход

Решая ту или иную задачу мы применяем, по возможности, самый подходящий метод решения. И, вообще говоря, нет нужды решать задачу еще и другим методом. Но некоторые методы не слишком просты и сами по себе не всегда до конца понятны. Тогда и решение задачи также оказывается непонятным. Поэтому полезно иногда решить одну и ту же задачу разными методами. Собственно, нашей целью является не столько изучение задач, сколько изучение разных методов их решения. Поэтому мы сейчас и обращаемся к задаче об определении фокусного расстояния линзы, используя иные рассуждения.
Вернемся вновь к задаче распространения волны, плоской волны. Вдоль показанного на рисунке фронта фаза колебаний постоянна - согласно определению фронта. Эти колебания, как мы знаем, являются источниками других колебаний, распространение которых и есть распространение волны. Причем очень удобно, что мы заранее знаем направление ее распространения.
  Y			 Y       l

			 q       q

  0		X        0	     X

	 x=x0cos(wt-kx)
  		   
Колебания вдоль фронта происходят в фазе, на левой картинке  и излучение происходит по нормали к поверхности фронта, что не представляется удивительным.
Проведем теперь плоскость под углом q к фронту волны. Мы уже говорили, что величина -kx при определенном x имеет смысл начальной фазы. Поэтому вдоль оси Ol начальная фаза колебаний изменяется по закону:

.

По отношению к нормали к этой поверхности направление излучения происходит, как видно из рисунка, под углом q. Этот же результат дает и полученное ранее выражение:

.

В данном случае мы не получили нового результата, просто убедились, что полученная нами выражение действительно “работает”. А теперь применим его в задаче об определении фокусного расстояния линзы.
	 dx
	  q
 r			F
				 X
    0	   R	a    q

	d
Для простоты рассмотрим плоско-выпуклую линзу с показателем преломления материала n.
Проведем некоторые расчеты. Пусть в плоскости с x=0 начальная фаза колебаний равна нулю. Тогда в плоскости при x=d (на задней поверхности линзы) начальная фаза на оптической оси j0=-k’d (k’- волновое число волны в стекле). Иная фаза на задней поверхности линзы при x=d на расстоянии r от оптической оси:
,

поскольку k=2p/l и k’/k=n. Кроме того в этом выражении dx - координата точки пересечения параллельного оптической оси луча в передней поверхностью линзы:
.

Таким образом,

.

Таким образом, мы получаем выражение для фокусного расстояния плоско-выпуклой линзы:

;

,

что, естественно, совпадает с полученным ранее результатом при R1=R и R2=¥. Значит, и в этом случае выражение sin(q)=-(dj/dy)(l/2p) “работает”.

7.4. Построение изображения предмета. 
Увеличение

Предположим, что на некотором расстоянии от линзы находится освещенный предмет, каждая тоска которого тем самым является источником света. Рассмотрим сначала лучи, исходящие из точки предмета, находящиеся на оптической оси линзы.

		    r

		     q	s’
   s    f	 O	  f’

При падении на тонкую линзу на ее задней поверхности вдоль радиуса создается некоторая зависимость фазы колебаний

.

При косом падении лучей к этой производной фазы по радиусу добавляется еще
.

В результате угол направления излучения света будет:

;

;          .

y
			    x’
				 s’
 s  x     f      f’       y’

Введем обозначения

и перемножим эти величины:

;
.

Мы доказали, что на расстояниях x и x’ находятся изображения нижних (совпадающих с оптической осью) концов предметов. А теперь проведем такие построения.

y
			   x’
				 s’
 s  x   f          f’     y’

Проведем через верхний конец предмета на высоте y горизонтальный луч. После пересечения линзы он будет направлен в правый фокус. Другой луч проведем из верхнего конца предмета через левый фокус линзы - после ее пересечения он будет параллелен оптической оси. В точке их пересечения будет находиться изображение верхнего конца предмета.
Из подобных треугольников получаем выражения:

;
.

Мы доказали, что изображения верхних концов также находятся на таком же расстоянии от линз, что и нижних. Иначе, изображение перпендикулярного оптической оси предмета также ей перпендикулярно.
Теперь нам осталось лишь получить выражения для увеличения. Оно легко получается из выписанных выражений:

.

Чтобы подсчитать увеличение нам нужно знать положение предмета относительно фокуса линзы и, конечно, величину фокусного расстояния.