Математическое программирование

1. 	Общая задача линейного программирования (ЗЛП):

Здесь (1)  называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r  n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20, ... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).

2. 	Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:

(2`)    f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0  min

Здесь считаем  r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.
В системе (1`) неизвестные   х1, х2, ... , хr   называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции  f(x10, ... , xr0,0, ... ,0) называется базисным.
В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:
а) система (1`) удовлетворяет условиям :
1) 	все ограничения - в виде уравнений;
2) 	все свободные члены неотрицательны, т.е. bi  0;
3) 	имеет базисные неизвестные;
б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :
1) 	содержит только свободные неизвестные;
2) 	все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;
3) 	обязательна минимизация (случай  max  сводится к  min  по формуле   max f = - min(-f)).

3) 	Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица :

1     0 ... 0 ... 0     a1,r+1 ... a1s ... a1n     b1
0     1 ... 0 ... 0     a2,r+1 ... a2s ... a2n     b2
.................................................................
0     0 ... 1 ... 0     ai,r+1 ... ais ... ain       bi
.................................................................
0     0 ... 0 ... 1     ar,r+1 ... ars ... arn       br

0     0 ... 0 ... 0     cr+1   ... cs   ... cn        b0 

Заметим,   что  каждому  базису  (системе  базисных  неизвестных ) соответствует   своя   симплекс - матрица ,  базисное   решение         х = (b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции   f(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) = b0  (см. Последний столбец !).

Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален,
т.е.     сj  0 (j = r+1, n) =>  min f  (b1, ... ,b2,0, ... ,0)  =  b0.
Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е.  сs > 0,  ais  0 ( i= 1,r )  =>  min f = -.
Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных): 
1) 	все элементы i-й строки делим на элемент a+is;
2) 	все элементы  S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;
3) 	все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:

akl` = akbais - ailaks  = akl - ailaks;
                  ais                        ais

bk` = bkais - biaks;              cl` = clais - csail
                ais                                           ais

Определение.  Элемент  ais+ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.
Критерий выбора разрешающего элемента.  Если элемент ais+  удовлетворяет условию

bi  = min  bk
ais0                        aks0+

где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.

4. 	Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).
1) 	систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;
2) 	составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме;
3) 	проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он выполняется, то решение закончено;
4) 	при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана;
5) 	в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего :
    а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи                                                         тельных элементов целевой строки;
    б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;
6) 	c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице;
7) 	вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см. п. 3)

Через конечное число шагов, как правило получаем оптимальный план ЗЛП или его отсутствие

Замечания.
1) 	Если в разрешающей строке (столбце) имеется нуль, то в соответствующем ему столбце (строке) элементы остаются без изменения при симплекс-преобразованиях.
2) 	преобразования - вычисления удобно начинать с целевой строки; если при этом окажется, что выполняется критерий оптимальности, то можно ограничиться вычислением элементов последнего столбца.
3) 	при переходе от одной матрицы к другой свободные члены уравнений остаются неотрицательными; появление отрицатель
ного члена сигнализирует о допущенной ошибке в предыдущих вычислениях.
4) 	правильность полученного ответа - оптимального плана - проверяется путем подстановки значений базисных неизвестных в целевую функцию; ответы должны совпасть.

5.  Геометрическая интерпретация ЗЛП и графический метод решения (при двух неизвестных)

Система ограничений ЗЛП геометрически представляет собой многоугольник или многоугольную область как пересечение полуплоскостей - геометрических образов неравенств системы. Целевая функция  f = c1x1 + c2x2 геометрически изображает семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору n (с1,с2).
Теорема.    При перемещении прямой целевой функции направлении вектора n значения целевой функции возрастают, в противоположном направлении - убывают.
На этих утверждениях основан графический метод решения ЗЛП.

6. 	Алгоритм графического метода решения ЗЛП.
1)	В системе координат построить прямые по уравнениям, соответствующим каждому неравенству системы ограничений;
2)	найти полуплоскости решения каждого неравенства системы (обозначить стрелками);
3)	найти многоугольник (многоугольную область) решений системы ограничений как пересечение полуплоскостей;
4)	построить вектор n (с1,с2) по коэффициентам целевой функции  f = c1x1 + c2x2;
5)	в семействе параллельных прямых целевой функции выделить одну, например, через начало координат;
6)	перемещать прямую целевой функции параллельно самой себе по области решения, достигая max f при движении вектора n и min f при движении в противоположном направлении.
7)	найти координаты точек max и min по чертежу и вычислить значения функции в этих точках (ответы).

7. 	Постановка транспортной задачи.
Приведем экономическую формулировку транспортной задачи по критерию стоимости:
Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1, А2, ..., Аm соответственно в количествах а1, а2, ..., аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn  соответственно в количествах b1, b2, ..., bn единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукта из Ai в Bj известна для всех маршрутов AiBj и равна Cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз  из пунктов отправления вывозиться и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются  (закрытая модель), а суммарные транспортные расходы минимальны.
Условия задачи удобно располагать в таблицу, вписывая в клетки количество перевозимого груза из Ai в Bj  груза Xij > 0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы Cij:

8. 	Математическая модель транспортной задачи.
Из предыдущей таблицы легко усматривается и составляется математическая модель транспортной задачи для закрытой модели 

Число r = m + n - 1, равное рангу системы (1), называется рангом транспортной задачи. Если число заполненных клеток (Xij ¹ 0) в таблице равно r, то план называется невырожденным, а если это число меньше r, то план вырожденный - в этом случае в некоторые клетки вписывается столько нулей (условно заполненные клетки), чтобы общее число заполненных клеток было равно r.
Случай открытой модели Σаi ¹ Σbj  легко сводится к закрытой модели путем введения фиктивного потребителя Bn+1 c потребностью bn+1=Σai-Σbj, либо - фиктивного поставщика Аm+1 c запасом am+1=Σbj-Σai ; при этом тарифы фиктивных участников принимаются равными 0.
9. 	Способы составления 1-таблицы (опорного плана).
I. 	Способ северо-западного угла (диагональный). Сущность способа заключается в том, что на каждом шаге заполняется левая верхняя клетка (северо-западная) оставшейся части таблицы, причем максимально возможным числом: либо полностью вывозиться груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Bj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы ai и не удовлетворяются потребности bj . В заключение проверяют, что найденные компоненты плана Xij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям и что выполняется условие невырожденности плана.
II. 	Способ наименьшего тарифа. Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.
10. 	Метод потенциалов решения транспортной задачи.
Определение: потенциалами решения называются числа ai®Ai, bj®Bj, удовлетворяющие условию ai+bj=Cij (*) для всех заполненных клеток (i,j).
Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n неизвестными, имеющую бесчисленное множество решений; для ее определенности одному неизвестному придают любое число (обычно a1=0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.
Критерий оптимальности. Если известны потенциалы решения X0 транспортной задачи и для всех незаполненных клеток выполняются условия ai+bj £ Ci j, то X0 является оптимальным планом транспортной задачи. 
Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы не увеличились.
Определение: циклом пересчета таблицы называется последовательность клеток, удовлетворяющая условиям:
1) 	одна клетка пустая, все остальные занятые;
2) 	любые две соседние клетки находятся в одной строке или в одном столбце;
3) 	никакие 3 соседние клетки не могут быть в одной строке или в одном столбце .
Пустой клетке присваивают знак “ + ”, остальным - поочередно знаки “ - ” и “ + ”.
Для перераспределения плана перевозок с помощью цикла перерасчета сначала находят незаполненную клетку (r, s), в которой ar+bs>Crs, и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число X=min{Xij}. Далее составляют новую таблицу по следующему правилу:
1) 	в плюсовые клетки добавляем X;
2) 	из минусовых клеток отнимаем Х;
3) 	все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.
Получим новую таблицу, дающее новое решение X, такое, что f(X1) £ f(X0); оно снова проверяется на оптимальность через конечное число шагов обязательно найдем оптимальный план транспортной задачи, ибо он всегда существует.

11. 	Алгоритм метода потенциалов.
1) 	проверяем тип модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой;
2) 	находим опорный план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшего тарифа;
3) 	проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений и на невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью “ 0 ”;
4) 	проверяем опорный план на оптимальность, для чего:
а) составляем систему уравнений потенциалов по заполненным клеткам;
б) находим одно из ее решений при a1=0; 
в) находим суммы ai+bj=C¢ij (“косвенные тарифы”) для всех пустых клеток;
г) сравниваем косвенные тарифы с истинными: если косвенные тарифы не превосходят соответствующих истинных(C¢ij £ Cij) во всех пустых клетках, то план оптимален (критерий оптимальности). Решение закончено: ответ дается в виде плана перевозок последней таблицы и значения min f.
    Если критерий оптимальности не выполняется, то переходим к следующему шагу.
5) 	Для перехода к следующей таблице (плану):
а) выбираем одну из пустых клеток, где косвенный тариф больше истинного (C¢ij= ai+bj > Cij );
б) составляем цикл пересчета для этой клетки и расставляем знаки “ + ”, “ - ” в вершинах цикла путем их чередования, приписывая пустой клетке “ + ”;
в) находим число перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij - числа в заполненных клетках со знаком “ - ”;
г) составляем новую таблицу, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла
6) 	См. п. 3 и т.д.
Через конечное число шагов (циклов) обязательно приходим к ответу, ибо транспортная задача всегда имеет решение.