ПРАВИЛЬНЫЕ И ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ (ПЛАТОНОВЫ И АРХИМЕДОВЫ ТЕЛА)
Дадим определение правильного многогранника: правильным многогранником является выпуклый многогранник, у которого двугранные углы при всех вершинах равны между собой, а грани являются равными правильными многоугольники.Можно также доказать, что в каждой из вершин правильного многогранника сходится одно и то же число граней и одно и то же число ребер 
Вообще принято считать, что в природе существует пять правильных многогранников 
Это количество можно считать незначительным по сравнению с количеством правильных многоугольников, т.е. для каждого целого n>2 существует один правильный n-угольник, 
Название правильных многогранников определяет число их граней: тетраэдр (4 грани), гексаэдр (6 граней), октаэдр (8 граней), додекаэдр (12 граней) и икосаэдр (20 граней). С греческого "хедрон" переводится как грань, "тетра", "гекса" и т. д. – указанные числа граней. Грани тетраэдра, октаэдра и икосаэдра – правильные треугольники, куба - квадраты, додекаэдра – правильные пятиугольники 
Такие многогранники являются симметричными т.е. для любого на угад выбранного ребра AB и примыкающей к нему грани F можно так повернуть многогранник, что ребро AB перейдет в любой отличное от него ребро CD, точка A – в любой его конец (C или D), а грань F совпадет с одной из двух примыкающих к нему граней. Подобных поворотов всего существует 4P, где P – число ребер многогранника. Причем половина из них – повороты вокруг воображаемых осей, соединяющих центр многогранника с его вершинами, серединами ребер и граней на углы, кратные соответственно 2 / q,  и 2 / p, а другая половина – симметрии относительно плоскостей и "зеркальные повороты". Данное "свойство максимальной симметричности" часто берут как за определение правильного многогранника 
Обозначим количество углов одной грани за q, а количество граней, сходящихся в одной вершине – за p, тогда не сложно получить точные характеристики каждого правильного многогранника: (3;3), (3;4), (4;3), (3;5), (5;3) (первое число – q, второе – p). Но следует помнить, что у куба, октаэдра, икосаэдра и додекаэдра,тетраэдр, p и q являются переставленными. Такие многогранники обычно называют двойственными, количество ребер у которых одинаковое 
Если покопаться в истории, то кубу можно дать такое определение: "родитель" всех правильных многогранников. На основе куба можно построить все другие виды правильных многогранников 
Вершинами октаэдра являются центры граней куба, а если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра. Полученные многоугольники оказываются действительно правильные, так как их грани – правильные треугольники. Это следует из того, что при повороте куба ребро многогранника можно перевести в любое другое 
Для построения икосаэдра необходимо на каждой грани куба построить отрезок длиной x, причем так, чтобы он был обязательно параллелен двум сторонам своей грани и перпендикулярен таким же отрезкам на соседних гранях. И учитывать то, что середина должна совпадать с центром грани. Соединив концы этих отрезков получим двадцатигранник, грани которого – треугольники, и при каждой вершине их пять. Определим такое число x , при котором все ребра этого многогранника равны. Куб симметричен, значит все ребра, не принадлежащие граням куба равны между собой. Обозначим длину ребра куба за a . Рассмотрим треугольник ABC (рис. 2), где AC = a – x , BC 2 = CD 2 + BD 2 = 1/4 a 2 + 1/4 x 2 . По теореме Пифагора получаем: AB 2 = AC 2 + CB 2 = ( x 2 + a 2 + (a – x) 2 ) / 4 . Приравняв AB к x , получаем квадратное уравнение: x 2 + a x – a 2 = 0 , откуда x = a ( Ц 5 – 1) / 2 . Полученный множитель при a есть не что иное, как золотое сечение 
Следующее доказательство посвятим равенству двугранных углов. Необходимо рассмотреть 5 ребер, выходящих из точки A. Концы их равноудалены как от точки A, так и от центра куба O. Это гласит о том, что они лежат на пересечении двух сфер с центрами A и O, а значит – и на окружности, причем ребра, соединяющие их с точкой A, равны. Отсюда следует что, эти пять точек и точка a – вершины правильной пирамиды, а ее двугранные углы при вершине равны 
Додекаэдр из икосаэдра получают так же из куба., путем соединяя середины смежных граней икосаэдра. Общее количество подобных пятиугольников числено равняется 12. Двугранные углы равны, так как трехгранные углы при его вершинах имеют равные плоские углы 
С давних времен, еще до веков Платона, и по сегодняшний день правильные многогранники называют Платоновыми телами. Платон связал правильные многоугольники с четырьмя стихиями: тетраэдр - огонь, куб – земля, октаэдр – воздух, икосаэдр – вода, додекаэдр- пятая стихия – эфир 
13 тел, полученных при усечении правильных многогранников и два бесконечных ряда правильных призм и антипризм с равными ребрами можно связать со знаменитым ученым, имя которого всем известно –Архимед 
Ученые еще в эпоху возрождения сравнивали правильные многогранники со строением Вселенной. Например Иоганн Кеплер с большей или меньшей точностью разместил между сферами, содержащими орбиты шести известных планет, правильные многогранники таким образом, что каждый был описан около меньшей сферы и вписан в большую. Имя Кеплера в геометрии прославлено открытием двух из четырех правильных звездных тел. Два других в 1809 г. нашел француз Луи Пуансо