РАСЧЕТ РАЗМЕРНЫХ ЦЕПЕЙ
  
Оглавление. 
  
1. Задание.	 
2. Расчет размерных цепей.	 
2.1. Основные термины и определения.	 
2.2. Характеристики звеньев размерной цепи. 
2.3. Основные формулы и методы решения.	 
2.3.1. Номинальный размер замыкающего звена.	 
2.3.2. Координата середины поля допуска замыкающего звена 
2.3.3. Основные методы расчета размерных цепей.	 
2.3.4. Допуск замыкающего звена.	 
2.3.5. Предельные отклонения составляющих звеньев.	 
2.4. Прямая и обратная задачи размерных цепей.	 
3. Решение прямой задачи размерной цепи.	 
3.1. Определение уменьшающих и увеличивающих звеньев цепи.	 
3.2. Определение номинальных размеров составляющих звеньев и замыкающего звена.	 
3.3. Определение допуска и середины поля допуска замыкающего звена.	 
3.4. Сводная таблица составляющих звеньев.	 
3.5. Выбор метода решения.	 
3.6. Метод максимума-минимума. 
3.6.1. Назначение допусков на составляющие звенья.	 
3.6.2. Назначение координат середин полей допусков составляющих звеньев.	 
3.6.3. Расчет предельных отклонений составляющих звеньев.	 
3.7. Теоретико-вероятностный метод.	 
3.7.1. Расчет значений допусков на составляющие звенья.	 
3.7.2. Назначение координат середин полей допусков составляющих звеньев.	 
3.7.3. Расчет предельных отклонений составляющих звеньев 
3.8. Результаты расчета и их анализ.	 
4. Литература.	 
  
1. Задание 
Решить прямую задачу размерной цепи механизма толкателя, изображённого на рис.1, методами максимума-минимума и теоретико-вероятностным. Выбор способа решения обосновать 

Рис. 1. Механизм толкателя 
1 - поршень, 2 - ролик, 3 - толкатель, 4 - крышка корпуса, 5 - корпус 
Табл.1. Исходные данные 
  	A1 	A2 	A3 	A4 	A5 	
Номинал, мм 	210 	21 	100 	126 	190 	
Закон распред. 	Гаусса 	Симпсона 	Гаусса 	Равновероят. 	Симпсона 	
a=58 ° ; P = 0,27 % ; AD+0,75 
где 
A1 – длина поршня, 
A2 – радиус ролика, 
A3 – расстояние между осями отверстий в толкателе, 
A4 – расстояние от торца крышки до отверстия крышки, 
A5 – длина корпуса, 
A D – выход поршня за пределы корпуса, 
P – процент риска 
a – угол между горизонталью и прямой, на которой расположены 
отверстия в толкателе 
2. Расчет размерных цепей 
2.1. Основные термины и определения 
Размерной цепью называют совокупность геометрических размеров, расположенных по замкнутому контуру, определяющих взаимоположение поверхностей (или осей) одной или нескольких деталей и непосредственно учавствующих в решении поставленной задачи 
К плоским размерным цепям относят цепи с параллельными звеньями. В моём задании - плоская параллельная цепь 
Размерная цепь состоит из замыкающего звена и составляющих. Замыкающим называется размер, который получается при обработке или сборке размерной цепи последним. Составляющие звенья размерной цепи делятся на увеличивающие и уменьшающие . Увеличивающим звеном называется такое звено размерной цепи, при увеличении которого и постоянстве размеров остальных составляющих звеньев, размер замыкающего звена увеличивается. Уменьшающим звеном называется такое звено размерной цепи, при увеличении которого и постоянстве размеров остальных составляющих звеньев, размер замыкающего звена уменьшается 
Термины, обозначения и определения размерных цепей приведены в ГОСТ 16319-80 
2.2. Характеристики звеньев размерной цепи 
·	 номинальный размер звена Ai 
·	 допуск на звено d i 
·	 координата середины поля допуска D oi 
·	 предельные отклонения размера (верхнее и нижнее) D вi , D нi 
2.3. Основные формулы и методы решения 
Связь характеристик замыкающего звена с характеристиками составляющих звеньев 
2.3.1. Номинальный размер замыкающего звена 
Номинальный размер замыкающего звена размерной цепи вычисляют по формуле: 
m-1 
A D = Sx iAi	(2.1) 
i=1 
где i =1,2,...,m - порядковый номер звена, 
x i - передаточное отношение i-го звена размерной цепи 
Для линейных цепей с параллельными звеньями: 
x i =1 для увеличивающих звеньев, 
x i = –1 для уменьшающих звеньев 
2.3.2. Координата середины поля допуска замыкающего звена 
Координата середины поля допуска замыкающего звена вычисляют по формуле: 
m-1 
D o D = Sx i ЧD oi	(2.2) 
i=1 
где 
D o D = ( D в D + D н D )/2 , D oi = ( D вi+ D нi)/2 
соответствено координаты середин полей допусков замыкающего и составляющих звеньев размерной цепи 
2.3.3. Основные методы расчета размерных цепей 
В размерных цепях, в которых должна быть обеспечена 100%-ая взаимозаменяемость, допуски расчитываются по методу максимума-минимума. Методика расчета по этому методу достаточно проста, однако при этом предъявляются слишком жесткие требования к точности составляющих звеньев (а следовательно увеличиваются затраты на изготовление), однако осуществляется полная взаимозаменяемость 
Размерные цепи, в которых по условиям производства экономически целесообразно назначать более широкие допуски на составляющие звенья размерных цепей, допуская при этом у некоторой небольшой части изделий выход размеров замыкающего звена за пределы поля допуска, должны расчитываться теоретико-вероятностным методом. Количество таких бракованных изделий определяется коэффициентом риска t D 
2.3.4. Допуск замыкающего звена 
Допуск замыкающего звена dD вычисляют по формулам 
						 m-1 
·	 метод максимума-минимума dD = S|x i |Чd i		(2.3) 
						 i=1 
								 _____________ 
								 / m-1 
·	 теоретико-вероятностным метод	 dD ³ t DЧ Ö Sx i2 Чl i2 Чd i2	(2.4) 
								 i=1 
где d i – допуски составляющих звеньев ; 
t D – коэффициент риска, который выбирается из таблиц функции Лапласа в зависимости от принятого процента риска p ; 
l i – коэффициент относительного рассеяния, учитывающий закон распределения размера: 
для нормального распределения (Гаусса) l i2 =1/9 , 
для закона треугольника (Симпсона) l i2 =1/6 , 
для закона равной вероятности или при отсутствии информации о законе распределения l i2 =1/3 
2.3.5. Предельные отклонения составляющих звеньев 
Предельные отклонения составляющих звеньев D вi и D нi вычисляют по формулам: 
D вi = D oi + d i/2 , D вi = D oi - d i/2 	(2.5) 
где D oi – координата середины поля допуска i-го звена, 
d i – допуск i-го звена 
2.4. Прямая и обратная задачи размерных цепей 
Прямая задача – синтез точности размерной цепи – не имеет однозначного решения, т.к. заданный допуск замыкающего звена и координата его середины могут быть получены при различных сочетаниях характеристик составляющих звеньев. В формулах (2.1) – (2.4) мы имеем в каждом уравнении неизвестных столько, сколько составляющих звеньев в рассматриваемой размерной цепи. Поэтому эффективномть решения прямой задачи во многом определяется подготовкой конструктора и его опытом. Он должен назначить координаты полей допусков из конструктивных соображений так, чтобы выполнялось уравнение (2.3) 
Обратная задача – анализ точности размерной цепи – решается исходя из установленных величин составляющих звеньев. При решении обратной задачи определяются величина номинального размера, величина и координата середины поля допуска и предельные отклонения замыкающего звена. Таким образом в формулах (2.1) – (2.4) в каждом уравнении будет по одному неизвестному. Поэтому обратная задача решается однозначно и является проверочной 
3. Решение прямой задачи размерной цепи 
3.1. Определение уменьшающих и увеличивающих звеньев цепи 

A3, A2, A1 - увеличивающие звенья, x 1 = x 2 = x 3 = +1 ; 
A4, A5 - уменьшающие звенья, x 4 = x 5 = –1 
3.2. Определение номинальных размеров составляющих звеньев и замыкающего звена 
	 5 
A D = Sx i Ч Ai = A1+A2+A3 Ч cos a -A4 -A5 = 210+21+100 Ч cos51 ° -126-190 = -32,008 мм 
	 i=1 
Знак “-” означает, что поршень не выходит за пределы корпуса 
3.3. Определение допуска и середины поля допуска замыкающего звена 
dD = 0,75 мм Ю D0D = (0,75+0)/2 = +0,375 мм 
3.4. Сводная таблица составляющих звеньев 
Табл. 2. Сводная таблица составляющих звеньев 
По ном. размеру 	По сложности 	Допуск 	
A1 	A3 	d3 	
A5 	A4 	d4 	
A4 	A5 	d5 	
A3 	A1, A2 	d1 =d2 	
A2 	  	  	
Величина допуска выбирается из конструктивных соображений с учётом размера и сложности изготовления каждого из составляющих звеньев. Наименее сложным в изготовлении является поршень. Далее в порядке увеличения – ролик, корпус. Наиболее сложны в изготовлении расстояни между осями отверстий в толкателе и расстояние от отверстия в крышке до торца крышки 
  
3.5. Выбор метода решения 
Учитывая, что сложность изотовления и размеры звеньев размерной цепи неодинаковы, выбираем стандартный метод решения по ГОСТ 16320-80 “Цепи размерные. Методы расчета плоских цепей” 
3.6. Метод максимума-минимума 
3.6.1. Назначение допусков на составляющие звенья 
Расчитаем среднее значение допуска составляющих звеньев по формуле: 
	 dD 
d ср = –––– 
	 m-1 
S |x i | 
i=1 
  	Ra5 	
d3 	0,400 	
d4 	0,250 	
d5 	0,160 	
d1 	0,063 	
d2 	0,063 	
dD 	0,748 	
d ср = 0,75 / 5 = 0,15 мм 
Ориентируясь на средний допуск и учитывая данные таблицы 2 выберем из ряда Ra5 нормальных линейных размеров ГОСТ 6636-69 значения допусков на составляющие звенья 
Проверим правильность назначения по формуле (2.3): 
dD = 0,4+0,25+0,16+0,063+0,063 = 0,748 мм 
Расчитанное значение допуска замыкающего звена меньше заданного по условию. При попытке увеличить какой-либо из допусков составляющих звеньев значением из ряда Ra5 или Ra10, допуск замыкающего звена становится больше заданного. Значит допуски назначены верно 
3.6.2. Назначение координат середин полей допусков составляющих звеньев 
Назначим координаты середин полей допусков составляющих звеньев, руководствуясь конструктивными соображениями: 
	на наружный размер D 0i = - d i/2 , 
	на внутрений размер D 0i = + d i/2 , 
	на прочие D 0i = 0 
Исходя из рисунка 1 получим: 
D 01 = - d 1/2 = -0,0315 мм, 
D 02 = - d 2/2 = -0,0315 мм, 
D 03 = 0, 
D 04 = 0, 
D 05 = - d 5/2 = -0,080 мм 
3.6.3. Расчет предельных отклонений составляющих звеньев 
Расчет предельных отклонений (верхнего и нижнего) составляющих звеньев по формуле (2.5): 
D в1 = D 01 + d 1/2 = -0,035 + 0,035 = 0 ; D н1 = D 01 - d 1/2 = -0,035 - 0,035 = -0,063 мм 
D в2 = D 02 + d 2/2 = -0,035 + 0,035 = 0 ; D н2 = D 02 - d 2/2 = -0,035 - 0,035 = -0,063 мм 
D в3 = D 03 + d 3/2 = 0 + 0,2 = +0,200 мм ; D н3 = D 03 - d 3/2 = 0 - 0,2 = -0,200 мм 
D в4 = D 04 + d 4/2 = 0 + 0,125 = +0,125 мм ; D н4 = D 04 - d 4/2 = 0 - 0,125 = -0,125 мм 
D в5 = D 05 + d5/ 2 = -0,08 + 0,08 = 0 ; D н5 = D 05 - d 5/2 = -0,08 - 0,08 = -0,160 мм 
Правильность выполнения расчетов проверим по формулам 
	 n		m-1	 m-1 
D н D = SD 0iув - SD 0iум - Sd i/2 = 0 , 
	 i=1	i=n+1	 i=1 
	 n		m-1	 m-1 
D в D = SD 0iув - SD 0iум + Sd i/2 = +0,748 мм 
	 i=1	i=n+1	 i=1 
Сопоставление с условием задачи показывает, что допуски установлены верно 
3.7. Теоретико-вероятностный метод 
3.7.1. Расчет значений допусков на составляющие звенья 
По заданному проценту риска p=0,27% определим значение коэффициента риска t D по ГОСТ 16320-80: 
	t D = 3 
Рассчитаем среднее значение допуска составляющих звеньев по формуле: 
  	Ra20 	
d3 	0,400 	
d4 	0,320 	
d5 	0,250 	
d1 	0,220 	
d2 	0,220 	
dD 	0,7446 	
dD 0,75 
d ср = –––– ––––– ; d ср = ––– ––––––––––––––––––– = 0,243 мм 
		 / m-1		 / 
t DЧ Ö Sl i2 3 Ч Ö 2 Ч 1/9 + 2 Ч 1/3 + 1/6 
		 i=1 
Ориентируясь на средний допуск и учитывая данные таблицы 2 выберем из ряда Ra20 нормальных линейных размеров ГОСТ 6636-69 значения допусков на составляющие звенья 
Проверим правильность назначения по формуле (2.4): 
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 
dD ³ 3 Ч Ö ( 1/9) Ч 0,222 + (1/3) Ч 0,222 + (1/9) Ч 0,42 + (1/6) Ч 0,322 + (1/3) Ч 0,252 = 0,7446 мм 
Расчитанное значение допуска замыкающего звена меньше заданного по условию. При попытке увеличить какой-либо из допусков составляющих звеньев значением из ряда Ra20, допуск замыкающего звена становится больше заданного. Значит допуски назначены верно 
  
3.7.2. Назначение координат середин полей допусков составляющих звеньев 
Действуем аналогично как в пункте 3.6.2. Назначим координаты середин полей допусков составляющих звеньев, руководствуясь конструктивными соображениями: 
	на наружный размер D 0i = - d i/2 , 
	на внутрений размер D 0i = + d i/2 , 
	на прочие D 0i = 0 
Исходя из рисунка 1 получим: 
D 01 = - d 1/2 = -0,110 мм, 
D 02 = - d 2/2 = -0,100 мм, 
D 03 = 0, 
D 04 = 0, 
D 05 = - d 5/2 = -0,125 мм 
3.7.3. Расчет предельных отклонений составляющих звеньев 
Расчет предельных отклонений (верхнего и нижнего) составляющих звеньев по формуле (2.5): 
D в1 = D 01 + d 1/2 = -0,11 + 0,11 = 0 ; D н1 = D 01 - d 1/2 = -0,11 - 0,11 = -0,220 мм 
D в2 = D 02 + d 2/2 = -0,1 + 0,1 = 0 ; D н2 = D 02 - d 2/2 = -0,1 - 0,1 = -0,200 мм 
D в3 = D 03 + d 3/2 = 0 + 0,2 = +0,200 мм ; D н3 = D 03 - d 3/2 = 0 - 0,2 = -0,200 мм 
D в4 = D 04 + d 4/2 = 0 + 0,16 = +0,160 мм ; D н4 = D 04 - d 4/2 = 0 - 0,16 = -0,160 мм 
D в5 = D 05 + d5/ 2 = -0,125 + 0,125 = 0 ; D н5 = D 05 - d 5/2 = -0,125 - 0,125 = -0,250 мм 
Правильность выполнения расчетов проверим по формулам 
					_____________ 
	 n		m-1	 / m-1 
D н D = SD 0iув - SD 0iум - t DЧ Ö Sx i2 Чl i2 Ч ( d i/2)2 = 0 , 
	 i=1		i=n+1		i=1 
					 _____________ 
	 n		m-1	 / m-1 
D в D = SD 0iув - SD 0iум + t DЧ Ö Sx i2 Чl i2 Ч ( d i/2)2 = +0,7446 мм 
	 i=1		i=n+1		 i=1 
Сопоставление с условием задачи показывает, что допуски установлены верно 
  
3.8. Результаты расчета и их анализ 
Табл. 3. Размеры и допуски звеньев, рассчитанные разными методами, мм 
  	A1 	A2 	A3 	A4 	A5 	
метод максимума-минимума 	210-0,063 	21-0,063 	100 ± 0,200 	126 ± 0,125 	190-0,160 	
Теоретико-вероятностный метод 	210-0,220 	21-0,200 	100 ± 0,200 	126 ± 0,160 	190-0,250 	
Метод максимума-минимума предъявляет жёсткие требования к точности составляющих звеньев это связано с предположением, что реализуются предельные значения погрешностей составляющих звеньев и они сочетаются наихудшим образом. Отсюда маленькие допуски 
В реальной ситуации чаще всего экономически целесообразно пользуясь теоретико-вероятностным методом назначать более широкие допуски на составляющие звенья, допуская при этом у некоторой небольшой части изделий выход размеров замыкающего звена за пределы поля допуска 
4. Литература 
1. Методические указания к курсовой работе по курсу ”Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения”. Расчет размерных цепей. Расчет кинематической точности кинематических передач и цепей 
2. ГОСТ 6636-69 “Нормальные линейные размеры” 
3. ГОСТ 16320-80 “Цепи размерные. Методы расчета плоских цепей.”