МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Р.Ф.
КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной и высшей математики

Лабораторная  работа № 43

на тему:

Решение смешанной задачи для уравнения
гиперболического типа методом сеток

Группа М-2136

Выполнил студент                   _______________________

Проверил преподаватель       Воронова Лилия Ивановна         

Курган 1998
Рассмотрим смешанную задачу для волнового  уравнения            (    2 u/   t2) =  c 2 * (    2u/    x2) (1). Задача состоит в отыскании функции u(x,t) удовлетворяющей данному уравнению при 0 < x < a, 0 < t  T, начальным условиям u(x,0) = f(x),   u(x,0)/  t = g(x) , 0   x   a и нулевыми краевыми условиями u(0,t) = u(1,t)=0.
Так как замена переменных t    ct приводит уравнение (1) к виду (    2 u/   t2) =  (   2u/   x2), то в дальнейшем будем считать с = 1.
Для построения разностной схемы решения задачи строим в области D = {(x,t) | 0   x   a, 0   t   T } сетку xi = ih, i=0,1 ... n , a = h * n, tj = j*   , j = 0,1 ... , m,  m = T и аппроксимируем уравнение (1) в каждом внутреннем узле сетки на шаблоне типа “крест”.
  
    t

  T

j+1
   j

j-1                    

  0           i-1   i    i+1

   

Используя для аппроксимации частных производных центральные разностные производные, получаем следующую разностную аппроксимацию уравнения (1) .

  ui,j+1 - 2uij + ui,j-1           ui+1,,j - 2uij + ui-1, j

                                 2                                        h2              

(4)

Здесь uij - приближенное значение функции u(x,t) в узле (xi,tj). 
Полагая, что    =   / h , получаем трехслойную разностную схему
ui,j+1 = 2(1-     2 )ui,j +    2 (ui+1,j- ui-1,j) - ui,j-1 , i = 1,2 ...  n.    	(5)
Для простоты в данной лабораторной работе заданы нулевые граничные условия, т.е.   1(t)   0,   2(t)   0. Значит, в схеме (5) u0,j= 0, unj=0 для всех j. Схема (5) называется трехслойной на трех временных слоях с номерами j-1, j , j+1. Схема (5) явная, т.е. позволяет в явном виде выразить ui,j через значения u с предыдущих двух слоев.
Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений ui,j решения u(x,t) в узлах (xi,tj) при i =1, ... n, j=1,2, ... ,m . Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое ( j = 2,3,4, ... n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев ( j=0,1,2, ... , n-1) по формуле (5). На нулевом временном слое (j=0) решение известно из начального условия ui0 = f(xi).
Для вычисления решения на первом слое (j=1) в данной лабораторной работе принят простейший способ, состоящий в том, что если положить    u(x,0)/   t    ( u( x,   ) - u(x,0) )/    (6) , то ui1=ui0+       +   (xi), i=1,2, ... n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно применять формулу (5). Решение на каждом следующем слое получается пересчетом решений с двух предыдущих слоев по формуле (5). 
Описанная выше схема аппроксимирует задачу с точностью до О(  +h2). Невысокий порядок аппроксимации по  объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по е в формуле (6).
Схема устойчива, если выполнено условие Куранта     < h. Это означает, что малые погрешности, возникающие, например, при вычислении решения на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условий Куранта схема обладает равномерной сходимостью, т.е. при h       0 решение разностной задачи равномерно стремится к регшению исходной смешанной задачи.
Недостаток схемы в том, что как только выбраная величина шага сетки h в направлении x , появляется ограничение на величину шага      по переменной t . Если необходимо произвести вычисление для большого значения величины T , то может потребоваться большое количество шагов по переменной t. Указанный гнедостаток характерен для всех явных разностных схем. 
Для оценки погрешности решения обычно прибегают к методам сгущения сетки.
Для решения смешанной задачи для волнового уравнения по явной разностной схеме (5) предназначена часть программы, обозначенная Subroutine GIP3 Begn ... End . Данная подпрограмма вычисляет решение на каждом слое по значениям решения с двух предыдущих слоев.
Входные параметры :
hx - шаг сетки h по переменной х;
ht - шаг сетки       по переменной t;
k - количество узлов сетки по x, a = hn;
u1 - массив из k действительных чисел, содержащий значение решений на ( j - 1 ) временном слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решений на j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;
u3 - рабочий массив из k действительных чисел.
Выходные параметры :
u1 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из j - м временном слое, j = 1, 2, ... ;
u2 - массив из n действительных чисел, содержащий значение решения из ( j +1) - м временном слое, j = 1, 2, ...  .
К части программы, обозначенной как Subroutine GIP3 Begin ... End происходит циклическое обращение, пеоред первым обращением к программе элементам массива u2 присваиваются начальные значения, а элементам массива u1 - значения на решения на первом слое, вычислинные по формулам (6). При выходе из подпрограммы GIP3 в массиве u2 находится значение решения на новом временном слое, а в массиве u1 - значение решения на предыдущем слое.
Порядок работы программы:
1) описание массивов u1, u2, u3;
2) присвоение фактических значений параметрам n, hx, ht, облюдая условие Куранта;
3) присвоение начального значения решения элементам массива и вычисленное по формулам (6) значение решения на первом слое;
4) обращение к GIP3 в цикле k-1 раз, если требуется найти решение на k-м слое ( k     2 ).
Пример:

                             1

	       0.5	    0.5
Решить задачу о колебании струны единичной длины с закрепленными концами, начальное положение которой изображено на рисунке. Начальные скорости равны нулю. Вычисления выполнить с шагом h по x, равным 0.1, с шагом       по t, равным 0.05, провести вычисления для 16 временных слоев с печатью результатов на каждом слое. Таким образом, задача имеет вид
(    2 u/   t2) =  (   2 u/   x 2) , x      [ 0 , 1 ] ,  t       [ 0 , T ] ,
u ( x , 0 ) = f (x) , x      [ 0 , a ],      u(x,0)/   t = g(x) ,  x       [ 0 , a ],
u ( 0 , t ) = 0,  u ( 1 , t ) = 0,   t      [ 0 , 0.8 ],
  
                  2x , x      [ 0 , 0.5 ] ,
f(x) =      						g( x ) = 0
                  2 - 2x , x      [ 0.5 , 1 ] ,
Строим сетку из 11 узлов по x и выполняем вычисления для 16 слоев по t. Программа, и результаты вычисления приведены далее.