Часть 1.
Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях.

Дано:
Для схемы:
U0(t)= U0=const	U0=5 В
i0(t)=I01(t)		I0=2 A

1.1	Составить уравнения состояния для цепи при t0.

Переменными состояния для данной схемы будут являться напряжения на емкостях С1 и С4. Для нахождения уравнений состояния запишем уравнения по I и II законам Кирхгофа:

(1)				

Для нахождения производных переменных состояния решим следующую систему, полученную из системы (1), приняв за неизвестные все токи, участвующие в системе (1) и первые производные переменных состояния. Переменные состояния примем за известные величины для получения их в правой части уравнений состояния:

(2)

Решаем эту систему в матричном виде с помощью MathCad:

Таким образом, уравнения состояния будут иметь вид:

1.2 Найти точные решения уравнений состояния.
Сначала найдем корни характеристического уравнения как собственные числа матрицы, составленной из коэффициентов при переменных состояния в уравнениях состояния:

Общий вид точных решений уравнений состояния:

Вынужденные составляющие найдем как частное решение уравнений состояния, учитывая то, что если в цепи включены только постоянные источники питания, значит, и принужденные составляющие будут константами, соответственно производные принужденных составляющих будут равны нулю. Учитывая выше сказанное, найдем их из уравнений состояния следующим способом:

Начальные условия (находятся из схемы):

Для нахождения постоянных интегрирования A1, A2, A3, A4 требуется 4 уравнения. Первые два уравнения получим из выражений точного решения уравнений состояния, учитывая законы коммутаций: переменные состояния не меняют своего значения в момент коммутации.

     При t=0:

Далее найдем значения производных переменных состояния при t=0 из уравнений состояния:

Выражения эти производных найденные из выражений решения уравнений состояния:

При t=0:

Таким образом имеем 4 уравнения для нахождения постоянных интегрирования, находим их:

Точные решения уравнений состояния:

1.2	Найти решения уравнений состояния, используя один из численных методов.
Для численного решения уравнений состояния воспользуемся алгоритмом Эйлера:

Подставляя выражения производных из уравнений состояния:

h – шаг расчета =2*10-6 с. i=1…100. Переменными с нулевыми индексами являются значения начальных условий.

1.2.2 Найти точные решения уравнений состояния.(второй способ)

e(A)t = a0 + a1(A)                                 e(A)t=

(X) = [e(A)t-1][A]-1[B][V]

1.4 Построить точные и численные решения уравнений состояния, совместив их попарно на одном графике для каждой из переменной состояния.

Часть 2.
Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии.

Анализу подлежит следующая цепь:

Параметры импульса:	Um=10 В	tu=6*10-5 c
Форма импульса:

2.1 Определить функцию передачи:	
воспользуемся методом пропорциональных величин и определим u(t)=1(t), его Лапласово изображение U0(s)=1/s.
Запишем уравнения по законам Кирхгофа в операторной форме, учитывая, что начальные условия нулевые:

Решаем эту систему:

Таким образом:

Функция передачи:

2.2 Найти нули и полюсы функции передачи и нанести их на плоскость комплексной частоты.Полюсы:

Нули:

Плоскость комплексной частоты:

2.3 Найти переходную и импульсную характеристики для выходного напряжения.

Импульсная характеристика: 

Выделим постоянную часть в HU(s):

Числитель получившейся дроби:

Упрощенное выражение HU(s):

Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой о разложении. Для этого найдем производную знаменателя:

Коэффициенты разложения:

Оригинал импульсной характеристики:

Переходная характеристика: 

Этим же методом находим оригинал характеристики:

2.4 Определить изображение по Лапласу входного импульса.

Изабражение по Лапласу фукции f(t):

Входной импульс представляет собой функцию 

Поэтому изображение входного сигнала будет

2.5 Найти напряжение на выходе схемы, используя HU(s).

Изображение выходного сигнала:
Найдем отдельно оригиналы части выражения при  и при части, не имеющей этого множителя:

Для части выражения при ,используя теорему о разложении:

Для части выражения не имеющей множителя ,используя теорему о разложении:

Функция напряжения на выходе схемы, получена с использованием теоремы о смещении оригинала:

2.6 Построить на одном графике переходную и импульсную характеристики цепи, на другом – входной и выходной сигналы.

Переходная h1(t) и импульсная h(t) характеристики.

Входной и выходной сигналы.

Часть 3.
Анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии.

3.1 Найти и построить амплитудно-фазовую (АФХ), амлитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики функций передачи HU(s).

амплитудно-фазовая характеристика:

амплитудно-частотная характеристика:

фазо-частотная характеристика:

График АЧХ:

График ФЧХ:
3.2 Определить полосу пропускания цепи по уровню 0.707

.

Из графика АЧХ находим полосу пропускания цепи: с-1.

3.3 Найти и построить амплитудный и фазовый спектры входного сигнала по уровню 0.1.
Амплитудный спектр входного сигнала:

Фазовый спектр входного сигнала:

График амплитудного и фазового спектра входного сигнала:

Ширина спектра с-1 .

3.4 Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, дать предварительные заключения об ожидаемых искажениях сигнала на выходе цепи.

Существенная часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу пропускания, исключая полосу 0-5*104 с-1, где и будут наблюдаться основные амплитудные искажения. Фазо-частотная характеристика цепи нелинейна, поэтому здесь будут иметь место фазовые искажения, что видно на рис.

3.5 Найти и построить амплитудный и фазовый спектр выходного сигнала.

Получаются по формулам:

3.6 Определить выходной сигнал по вещественной частотной характеристике, используя приближенный метод Гиллемина.
Вещественная характеристика:

Существенную часть этой характеристики кусочно-линейно аппроксимируем. Начертим первую и  вторую производную кусочно-линейной аппроксимирующей функции.

График вещественной характеристики:

Тогда: 

График напряжения, вычисленного по этой формуле, и полученный в ч.2.

Часть 4.
Анализ цепи частотным методом при периодическом воздействии.

Дано: T=18*10-5c. Um=10 В. tu=6*10-5c.
форма сигнала u0(t):

4.1 Разложить в ряд Фурье заданную периодическую последовательность импульсов и построить ее амплитудный и фазовый спектры.
Коэффициенты ряда Фурье для u0(t) найдём из следующего соотношения:

где 1 = 2/Т , k=0, 1, 2, ... 1=3.491*104с.
Значения Ak и k приведены в табл. ,на рис. ,  построены соответственно амплитудный и фазовый спектры заданной периодически последовательности сигналов u0(t).
k	Ak	k	
0	0	0	
1	2.067	0.524	
2	3.308	-0.524	
3	2.774	-1.571	
4	2.363	-2.618	
5	1.034	2.618	
6	0	1.571	
7	0.413	-2.618	
8	0.301	2.618	
9	0	1.571	

Таким образом, в соответствии с шириной спектра .

4.2 Построить на одном графике заданную периодическую последовательность импульсов и ее аппроксимацию отрезком ряда Фурье, число гармоник которого определяется шириной амплитудного спектра входного сигнала, найденной в п 3.3.

4.3 Используя рассчитанные в п. 3.1 АЧХ и ФЧХ функции передачи цепи, определить напряжение или ток на выходе цепи в виде отрезка ряда Фурье.
Для определения коэффициентов ряда Фурье выходного напряжения вычислим значения АЧХ и ФЧХ функции передачи для значений k1, k=0, 1, 2, ..., 8. Тогда

k	Ak	k	
0	0	0	
1	0.208	1.47	
2	0.487	-0.026	
3	0.436	-1.355	
4	0.361	-2.576	
5	0.15	2.554	
6	0	1.443	
7	0.054	-2.785	
8	0.037	2.429	
9	0	1.371	
В итоге получим:

4.4 Построить напряжение на выходе цепи в виде суммы гармоник найденного отрезка ряда Фурье.