УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
  
Введение 
  
Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания".   Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает"   автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы 
Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать    случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных 
В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях 
Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m , который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы 
Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову" 
В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов,     с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре 
В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль 
  
§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки. 
Уравнение, которое нас будет интересовать: 

  При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение 
  
Рассмотрим случай, когда    m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде: 
Начальные условия   выберем так: 
F 2 - степенной ряд по b 1 b 2 , m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1): 

		
Сравнивая коэффициенты при      b 1 b 2 , m   получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3) 

Решая задачи Коши, получим: 

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы 
  
    Введем обозначения   ; для остальных функций аналогично 
Тогда (6) запишется в виде: 

Если в этой системе можно b 1 b 2   представить в виде функции   m так, чтобы b 1 b 2 , m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых   m служит неравенство 0 Якобиана. 

  
    В нашем случае: 
Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых   m и любых f . Искомое периодическое решение может быть найдено в виде 
  
§ 2 Исследование устойчивости периодического решения 
  
Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф( t ) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x   и x ' 

		
Воспользуемся тем фактом, что Ф ( t ) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения: 

  
  Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде     функции времени Удовлетворяют тому же уравнению, что и   x , то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом 
; аналогичным образом можно показать, что    (11) 
Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по   m 

будем искать в виде:      (12) 
Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим: 
  
Начальные условия для А о , В о , …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m , получим 
  
Для В ' о и В о аналогично. Для остальных   же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак: 
  
(14) 
  
Решение (13) можно найти при помощи квадратур: 
  
(15) 
  
Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид: 

S 1 , S 2 - периодические функции с тем же периодом, что и Ф ( t ). a 1 , a 2 - характеристические показатели 
Если все       , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого   приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:   
  
  =0 (16)   Полагаем   ; 

  
Тогда определитель будет: 

  
Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R e ( a ),   или что все равно ÷ l ÷ . Если ÷ l ÷ < 1 имеет место устойчивость ÷ l ÷   = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷ l ÷ > 1 имеет место неустойчивость 
При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р 2 ; q < р 2 ; В первом случае   l -комплексные; ½ l 2 ½ = q ; (20) если q <1; устойчивость q >1 - неустойчивость 
Случай второй - l - действительные:   ; (21) устойчивость соответствует   p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19)   (12) 
  
(22) 
Если принять во внимание (15) 
  
(22 a ) 
  
(23) 
  
Мы видим, что при достаточно малом m и w ¹ n ; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной   q   и следовательно знаком b , если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость 
В нашем случае b имеет вид: 
     (23 a ) 
  
§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса. 
Тогда l = m l о ; w 2 = 1+ a о m , (24) ( a о , m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при a о ¹ 0) 
Тогда исследуемое уравнение имеет вид : 
  
  (25) 
  
При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : (26) 
Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде: 
  
  (27); 
  
Начальные условия возьмем как и раньше: 

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая   коэффициенты при b 1 b 2 , m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A , B , C , D , E , F .    Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27) 
  
  (29) 
  
Запишем условия периодичности для (27): 
  
Делим на m : 
  
   ( 30 a ) 
  
Необходимым условием существования периодического решения является: 
  
Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме : 

(31) 
  
Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1) 

D , Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить   b 1, b 2 , в виде рядов по степеням m . Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда 
  
(33) 
  
P , Q -определяются формулами (31) (32) 
  
  § 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса 
  
Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33) 

Решение опять будем искать в виде . Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв : 
   
Из формул (22)        (34) , тогда   D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его: 

  (36) 
  
; 
Тогда, зная функцию f , мы можем вычислить   D в виде функции   P , Q и a о 
Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид: 
  
  ;   (37) 
  
Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m ) 
  
1)   p 2 - q < 0   
2)   p 2 - q > 0   
В первом случае устойчивость характеризуется условием q < 1 или, что то же самое b < 0 
Во втором случае   (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а   D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0,    D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ) 

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола. 
Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Р о sin w 1 t 
Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее: 
  (39) 
Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола: 
(40) 
S -крутизна характеристики, К - напряжение насыщения   
Далее, вводя обозначения: 
Получим дифференциальное уравнение для х: 
   (41) 
  
А: (случай далекий от резонанса) 
Для него применяем результаты § 1, полагая 
Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее: 
Если w > 1, т.е. w о > w 1 , то разность фаз равна 0, если   w < 1, то разность фаз равна p . В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b ( b < 0).   
  
(42) 
Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы 
  
В:   (область резонанса , § 3, 4) 
В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t     ( P , Q - const ) 
Запишем уравнение, определяющее эти P и Q , т.е. соотношение (31) для нашего случая 

Или преобразовав их, получим следующее: 

Полагая Р = R sin j ; Q = R cos j . Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения,   в близости   к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их : 
  
Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0,    D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37) 
(46) 

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**).   В заключение выпишем формулы для вычисления a о, соответствующего     ширине захватывания для рассматриваемого случая 
  
1) 
a 0 - является общим корнем уравнений 

2) 
  
Сама ширина D w , отсчитанная от одной границы захватывания   до другой выражается следующим образом: D w = a о w 2 о ( MS - c r ). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях: 
а) l 2 о << 1;    D w = w о Р о / V о g 
б) для очень сильных сигналов    ( V о g - амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы) 
  
  Список литературы 
Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956 
Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956 
Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892