23. D - трапеція з вершина ми в точках ((1;1), (5;1), (10; 2), (2; 2); 24. D - трикутник з вершинами в точках (0;0), (1;1), (0;1); 25. D - трикутник з вершинами в точках (1;3), (-1;1), (2;-4); 26.
27.
28.3. Обчислити подвійний інтеграл, переходячи до полярної системи координат. 1.
2.
3.
4.
5. 6. ; 7. 8. ; 9. 10.; 11. 12.; 13.; 14., 15.; 16.; 17. 18.; 19.; 20.; 21. 22.; 23.; 24.; 25.; 26. 27. 28. 4· За допомогою подвійного інтеграла обчислити площу фігури, обмеженої лініями. 1.; 2. 3. 4. 5. 6. 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.? 13.; 14.; 15. 16.(фігура, що лежить між площинами); 17.(меншого сегмента); 18. (меншого сегмента); 19. (меншого сегмента); 20.; 21. (частин, що не містять початок координаті); 22. 23. 24.; 25.; 26.( меншої фігури); 27. 28. 5. Застосування подвійних інтегралів. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями. 1. ; 2. 3. 4. 5.? 6.; 7.? Обчислити площу. 8. Частини площини, яка міститься в І октанті. 9. Частини поверхні параболоїда» яка міститься ніж циліндромі площиною Частини поверхні циліндра, яка міститься між площинамиі Частини поверхні циліндра, яка вирізується з нього сферою Частини поверхні, яка знаходиться над прямокутником, що лежить у площині і обмежений прямими Знайти масу. Круглої пластини радіуса Я, якщо її густина у кожній точці пропорційна до відстані цієї точки від центра і дорівнює 3 на краю пластини. Квадратної пластини зі стороною 2а, густина якої у кожній точці пропорційна до квадрата відстані цієї точки від центра пластини і дорівнює 1 наш кутах. Плоского кільця, обмеженого двома концентричними колами з радіусами R і r (R > r), якщо густина обернено пропорційна до відстані від центра кіл і на колі внутрішнього круга дорівнює 1. Еліпса , густина якого в кожній точці пропорційна до відстані її від великої осі й дорівнюєна відстані від цієї осі, що становить одиницю. Знайти координати центра мас однорідної плоскої фігури D, обмеженої лініями. 17. 18. 19. Круговий сектором (бісектрисою якого в вісь Ох) з вершиною в початку координат, центральним кутом а і радіусом R. 20. Обчислити момент інерції однорідних плоскихфігур (густина )21. Прямокутника зі сторонами а і b відносно точки перетину його діагоналей. і 22 Еліпса відносно центра. 23. Квадрата зі стороною а відносно вершини. 24. Круга радіуса R відносно точки яка лежить на колі. Обчисляти момент інерції однорідних плоских фігур 25. Трикутника обмеженого прямими відносно осі Ох.
Круга радіуса R відносно дотичної. Кругового кільця з радіусами R і r (R > r) відносно його діаметра. 28. Квадрата зі стороною а відносно прямої, яка проходить через його вершину перпендикулярно до діагоналі квадрата. 6. Обчислити потрійний інтеграл за областю V:1. 235. 6· 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. ) 16. ; 17. 18. ; 19. 20. 21. ; 22. 23. ; 24.; 25.; 26. 27. 28. 7· Застосування дотрійних інтегралів. Користуючись потрійним інтегралом, обчислити об9«м тіла, обмеженого поверхнями. 1. 2. 3. 4. 5.; 6. 7. ; 8. 9. 10.; 11.; 12.. Знайти момент інерції однорідного тіла (густіна якого ). Прямокутного паралелепіпеда з ребрами а, Ь і с відносно ребра а і точки перетину діагоналей. Кулі радіуса R відносно дотичної прямої. Параболоїда обертання з радіусом основи R і висотою H відносно його осі. і Тетраедра x+y+z = 1, x = 0, у = 0, z= 0 відносно площини Оху. Тіла, обмеженого циліндромта площинами z=2, у = 0,у= 1, z = 0. Знайти координати центра тяжіння однорідного () тіла, обмеженого поверхнями. 18. 19. 20.Знайти масу тіла, Циліндра, якщо об'ємна густина в кожній точці циліндра пропорційна до квадрата відстані цієї точки від осі. Сферичного шару, якщо густина в кожній точці обернено пропорційна відстані цієї точки від початку координат. Піраміди, утвореної площинами x+y+z= а, x = 0, у = 0, z = 0,якщо густина в кожній точці дорівнює аплікаті цієї точки. 24. Куба, якщо, в кожній точці об’ємна густина дорівнює сумі її відстаней від трьох граней цього куба, які проходять через задану його вершину. 25.Речовини, що заповнює спільну частину 2-х куль, , , якщопропорційна до відстані точки від площини Оху. Знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями. 26. 27. 28. 8. Обчислити криволінійні інтеграли 1-го роду за дугою кривої l 1. 2. 3. 4., l – дуга циклоїди 5., l — перший виток гвинтової лінії 6. , l — верхня половина кола 7., l — відрізок прямої від т. А(0;0) до т.B(4;3); 8., l - відрізок прямої від т. ?(3;2) до B(4;4); 9. , l- ламана OАB; O(0;0), А(2;О),В(4;2); 10., l - відрізок прямої від т. А(0; 1) до т. 2?(2; 3); 11. , l -параболавід т. Л(0;0) до т. В(2;4); 12. , l - дуга гіперболи; 13., l - випуклий контур, обмежений кривими
14. , l - частина спіралі Архімеда , що лежить всередині круга р = R; 15. ; 16., l - дуга астроїди; 17. ; 18. ; 19.; 20., l - дуга параболи, відтяті параболою ; 21., l - контур прямокутника; 22., l - відрізок прямої вік т. A(0;0) до т. B(1;2); 23. l - дуга півкубічної параболивід т. до т.; 24. l - ланцюгова лінія 25. ( половина лемніскати Бернулі ) 26. , l – астроїда 27. 28. 9. Обчислити криволінійні інтеграли II-го роду за дугою кривої l. 1. l – дуга параболи від т. А(-1; 1) до т. В(1; 1); 2. l – відрізок прямої AB, А(1;1;1), В(2;3;4);
3., l — верхня половина еліпса x=2cos t і, у=sin t 4., l- відрізок прямої OА,0(0;0),A(2;1); 5., l- дуга параболивід т. О(0;0) до т. A(2; 1); , 6. , l - дуга параболивід т. 0(0; 0) до т. A(2; 1); І 7. l- ламана ??A, O(0;0), ?(2;0), A(2;1); І 8. l - відрізок прямої АВ, A(2; -2), В(-2; 2); 9., l - чверть дуги кода радіуса R, що лежить у: І квадранті й проходиться за годинниковою стрілкою ; 10., l - дуга астроїди від т. А(1;0) до т. В(0; 1); 11. ; 12., l - дуга кривої, , що проходиться від точки перетину цієї кривої з площиною z=0 до точки перетину її з площиною z=a; 13., l- відрізок прямої AB,A(1;0), В(0; 2); 14., І- відрізок прямої АВ, A(0;0;0), B(-2;4;5); 15. ; 16., l- відрізок прямої ОА, O(0;0), ?(1;2); 17. , l - контур фігури, що обмежена
лініями 18., l - дуга параболи від т. A(1;0) до т, B(0;2); 19., l - дуга кривої від т. О(0; 0) до т. Л(1;2); 20., 1 - відрізок прямої від т.до т.; 21. ; 22., l - відрізок прямої від т. А(1; 1) до т. В(3; 4); 23. l - чверть кола радіуса R, шо лежить у І квадранті й проходиться проти годинникової стрілки; 24., l - контур, що складається з частин парабол і проходиться проти годинникової стрілки; 25., l - дуга еліпса від т. A(1; 0) до т. В(0; 2); 26., l - контур AВС: A(-1;0), B(0;2), C(2;0); 27., l - дуга кривоївід т. О(0; 0) до т. B(1;2); 28. 10. Застосування криволінійних інтегралів. Знайти площу області D за допомогою криволінійного інтеграла. 1. 2. ; 3. (астроїда); 4. (кардіоїда); 5. 6·? 7. ; 8. Знайти довжину дуги кривої l за допомогою криволінійного інтеграла. * 9. l - кардіоїда; 10. l - дуга ланцюгової лінії; 11. l - крива; 12. l - дуга кривої·, 13. l - дуга трактриси т. A(0;a) до т. ; 14.l - дуга кривої Знайти масу. 15. Дуги параболи якщо лінійна густина
16. Дуги кривої, якщо лінійна густина Кардіоїди, якщо, де ? - довільна точка кардіоїди. Дуги АВ кривої, якщо Знайти координати центра тяжіння. Дуги однорідної кривої від т. A(0;а) до т. B (b;h). Дуги однорідної циклоїди Однорідної дуги кривої Знайти момент інерції. 22. Однорідного колавідносно діаметра. Частини однорідного кола радіуса 2, що лежить в І квадранті, відносно координатних осей і початку координат. Однорідного колавідносно точки к(1;0). Знайти роботу сили при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії L від т. ? до т. N. 25.; L - відрізок прямої, M(-4;0), N(0;2). 26. 27. 28. 11. Знайти похідну скалярного поляв точці в напрямку вектора. 1. 2. 3.і 4.' 5·; 6·; 7.; 8. і 9. 10.; 11.; 12.; 13.; 14.; Знайти кут між градівяташі скалярних подів u(х, у, z) i v(x, у, z) в точці 15.; 16.; 17. 18. 19.; 20.; 21.; 22. 23.; 24. 25.; 26. 27.; 28. 12. Обчислити потік векторного поля. Нормаль зовнішня. 1. Через прямий круговий циліндр з висотою h, радіусом основи R (основа лежить в площині z = 0) та віссю симетрії Oz,. 2. Через сферу радіуса R з центром у початку координат,, . 3. Через частину поверхні, відтяту площиною
