Рівняння Максвела для Т, ТЕ, ТМ хвиль.
Для однорідного ізотропного середовища в декартовій СК: EMBED Equation.3 .
Т - хвиля розповсюджується зі швидкістю світла, EMBED Equation.3 . Для неї EMBED Equation.3 . Підставимо в рівняння Максвела: EMBED Equation.3 ;
оскільки EMBED Equation.3 , таким чином для Т – хвилі: EMBED Equation.3 - рівняння Лапласа. Для ТЕ та ТМ: EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 (хвиля розповсюджується в напрямку EMBED Equation.3 ). EMBED Equation.3 .
Маємо EMBED Equation.3 - для ТЕ, ТМ.
Ми отримали систему рівнянь Максвела:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Т – хвиля існує там, де є розв’язок рівняння Лапласа (електрика). Ми знаємо, що рівнянням Лапласа описується електростатичне поле, наприклад у конденсаторі. Тому якщо існує електростатичне поле, то може існувати і Т – хвиля. Таким чином вона може існувати у конденсаторі, коаксіальному кабелі.
Оскільки одне рівняння і однакові граничні умови для електростатичного поля і Т – хвиля, то їх силові лінії співпадають.
Для того, щоб розв’язати задачу про хвилю, треба знайти:
Картину полів;
Сталу розповсюдження (швидкість);
EMBED Equation.3
y
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Знайдемо ЕМ – поля між ¦ пластинами:




Тут може існувати Т – хвиля, бо існує розв’язок рівняння Лапласа для конденсатора. Картина полів зображена на малюнку, таким чином ми розв’язали задачу без викладок. А чи може у цій системі розповсюджуватися Е чи Н хвиля? Для того щоб відповісти на це запитання, необхідно розв’язати задачу (розрахувати картину полів і знайти EMBED Equation.3 ):
EMBED Equation.3 , будемо вважати, що EMBED Equation.3 . Ми отримали задачу Коші: EMBED Equation.3 . Її розв’язок EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3 . Де EMBED Equation.3 - довжина хвилі у хвилі у хвилеводі.
Очевидно, що EMBED Equation.3 при EMBED Equation.3 ; тобто існує деяка критична довжина хвилі EMBED Equation.3 - така, що при EMBED Equation.3 хвиля не буде розповсюджуватися у хвилеводі: при EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 - уявне, тобто присутнє затухання.
EMBED Equation.3 ; нижня EMBED Equation.3 .
Таким чином у хвилевід зайде Т – хвиля з будь-яким EMBED Equation.3 і Е – хвиля лише з EMBED Equation.3 . Можна отримати, що EMBED Equation.3 . Якщо зменшувати EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 збільшується. Також змінюється EMBED Equation.3 при зміні EMBED Equation.3 . Існує критична частота, коли EMBED Equation.3 , тоді хвиля не розповсюджується. EMBED Equation.3 - довжина Т – хвилі у вільному просторі EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ;
Таким чином, в результаті розв’язку рівняння Максвела ми знайшли лише одну компоненту хвилі EMBED Equation.3 . Однак для побудови картини необхідно знайти всі інші компоненти (у ТЕ та ТМ хвиль може бути не більше п’яти компонент). Скористаємося рівняннями Максвела: будемо виходити з EMBED Equation.3 .
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
+
-
-
EMBED Equation.3
Аналогічно для EMBED Equation.3 , таким чином, для неоднорідної хвилі ми отримали повний розв’язок: EMBED Equation.3 . Розглянемо пари: EMBED Equation.3 . В нашій Е – хвилі обов’язково EMBED Equation.3 , тоді з системи легко отримати інші компоненти: EMBED Equation.3 . Таким чином маємо картину полів ТМ (Е – хвилі). Для ТЕ – хвилі – аналогічно.