Застосування похідної до дослідження функції і побудови графіка
План повного дослідження функції
Область визначення
Точки перетину з осями координат (знаки функції), парність, періодичність.
Неперервність, точки розриву (їхній рід). Вертикальні асимптоти.
Монотонність і точки екстремуму.
Опуклість і точки перегину
Дослідження на нескінченості: горизонтальні та похилі асимптоти.
Побудова графіку
Область значень функції і обмеженість на ОДЗ.
Дослідження на монотонність (проміжки зростання, спадання)
Теорема 1. Якщо функція f неперервна на [a,b], диференційована на (а;b)

, x є(а; b) то f зростаюча (спадна) на [а,b].
Доведення. Нехай <, , є [а,b] . Тоді за теоремою Лагранжа існує точка с є (,) така, що -=(с) (-).
->0, то знак правої частини залежить від знаку (с). Якщо (с)0, то
-
0
, тобто функція зростаюча на [a,b]. Якщо (с)0, то -
0
, тобто функція cпадна на [a,b].
Приклад. =
-
+2x, ОДЗ: х є R
=-3x +2. Знайдемо проміжки сталих знаків . Оскільки елементарна функція, то вона може змінювати знаки тільки в точках, де вона перетворюється в нуль або не існує. Її ОДЗ: х є R. Знайдемо точки, в яких вона рівна нулю:
=0
-3x +2 =0
=1; =2 .
Нанесемо на числову пряму область визначення початкової функції y, і точки, де її похідна може змінювати знак і визначимо знаки . Отже, f зростаюча на (-; 1] і на [2;+), f спадна на [1;2].
Дослідження на екстремуми
Точка називається точкою максимуму функції f на множині А, якщо в цій точці функція приймає найбільше значення:
, x є А (перший малюнок).
Точка називається точкою мінімуму функції f на множині А, якщо в цій точці функція приймає найменше значення:
, x є А (другий малюнок).
Точки максимуму і мінімуму на множині А називаються точками екстремуму функції f на множині А. Такі екстремуми ще називають абсолютними екстремумами на множині А.
Якщо точка є точкою екстремуму (max або min) функції f в деякому своєму околі, то називається точкою локального або місцевого екстремуму (max або min) функції f.
На третьому малюнку точки a,b,c,d є точками локальних екстремумів, точки k,n є точками абсолютних екстремумів функції на області визначення.
Надалі розглядаємо в основному локальні екстремуми.
Теорема 2 (необхідна умова екстремуму). Якщо точка є точкою локального екстремуму f то похідна в цій точці не існує або дорівнює 0.
Доведення. Нехай є точкою локального мінімуму f і існує похідна =.
Розглянемо окремо ліву і праву границю:
, бо чисельник 0, а знаменник < 0; , бо чисельник залишається 0, а знаменник вже > 0. Оскільки ця границя існує, то це можливо тільки коли ліва і права границі рівні нулю, тобто =0.
Означення. Точки в яких похідна дорівнює нулю або не існує називають критичними точками. Ці точки є підозрілими на екстремум.
Теорема 3 (перша достатня умова екстремуму). Якщо f неперервна в деякому околі т. і при переході через цю точку похідна змінює знак , то є точкою екстремуму функції f.
Доведення на малюнку:
Приклад. ОДОДЗ: x єR
. Знаходимо критичні точки: ОДЗ: x є R, тобто існує всюди.
х=0 – точка мінімуму, .
Теорема 4 (друга достатня умова екстремуму). Нехай функція двічі диференційована в деякому околі точки і =0, а >0 (<0), то є точкою мінімуму (максимуму) функції.
Доведення. За теоремою Тейлора в достатньо малому околі точки : . Отже, якщо >0, то
в деякому околі точки , тобто є точкою мінімуму функції.
Приклад. y=3x- D(y): x Є R
D() : x є R 3-3=0 x= 1-критичні точки
= - 6х (1)= - 6 < 0, то х=1 є точкою максимуму функції, y(1)=2,
(-1)= 6 > 0, то х= -1 є точкою мінімуму функції, y(-1)= -2.
Дослідження на опуклість
Нехай функція f неперервна на (а,b)
Функція називається опуклою вниз (вгнутою) на інтервалі (а,b), якщо для будь-яких точок із (а,b) графік функції на проміжку () лежить не вище від січної, що проходить через точки з абсцисами . Позначається: f на (а,b).
Функція буде строго опуклою вниз на (а,b), якщо – графік на () лежить нижче від січної.
Функція називається опуклою вверх (опуклою) на інтервалі (а,b), якщо для будь-яких точок із (а,b) графік функції на проміжку () лежить не нижче від січної, що проходить через точки з абсцисами . Позначається: f (а,b).
Функція буде строго опуклою вверх на (а,b), якщо – графік на () лежить вище від січної.
Якщо функція неперервна в деякому околі точки і при переході через точку функція змінює опуклість то ця точка називається точкою перегину функції.
Приклади. - опукла вниз на R. y=ln x – опукла вверх на (0, ).
- опукла вверх на (,0], опукла вниз на [0, ), і точка х=0 є її точкою перегину.

Розглянемо графік опуклої вниз функції. Нехай . Побудуємо дотичні в цих точках. Позначимо кути, які дотичні утворюють з додатнім напрямком Ох , , відповідно.
З малюнка бачимо, що кут зростає при зростанні х:
<< (кут вважаємо з проміжку []).
Функція tg х зростає на () то
tg<tg<tg, тобто . А це означає, що зростаюча функція на даному проміжку.
Для опуклої вверх і диференційованої на (а,b) функції її похідна на (а,b).
Отже, для того щоб дослідити функцію на опуклість потрібно дослідити на монотонність її похідну , а для цього шукають , тобто . Тому справедливі теореми.
Т.1. Якщо f двічі диференційована на (а,b) і 1) (x)>0 на (а,b) то f опукла вниз на (а,b);
2) (х)<0 на (а,b) то f опукла вниз на (а,b).
Т.2. Якщо точкає (а,b), функція f неперервна на (a,b) і існує друга похідназліва і справа від т. , яка при переході через точку змінює знак, то є точкою перегину функції f.
Приклад1. Дослідити на опуклість функцію .
Функція елементарна, тому неперервна на своїй області визначення, тобто на R.
– не існує при х=0.
– немає розв’язків.
Наносимо на числову пряму область визначення початкової функції.
Приклад 2. Дослідити на опуклість функцію .
Функція елементарна, тому неперервна на своїй області визначення,
тобто на R. – існує завжди. .
Дослідження на асимптоти.

Означення. Асимптотою графіка функції f(х) називається пряма, до якої наближається точка графіка функції при нескінченному віддаленні від початку координат: d(M, l ).
Асимптоти можуть бути вертикальні, горизонтальні і похилі.
Вертикальна пряма з рівнянням буде вертикальною асимптотою графіка функції f, якщо в точці є нескінченний розрив, тобто хоча б одна ліва або права границя в цій точці є нескінченністю: .
Нехай точка графіка М(х,у), y=f(x). Тоді при d=x-
а OM=.
Приклад. Функція . ОДЗ:. В точці 0 – розрив. – нескінченний розрив (ІІ рід). Вертикальна асимптота х=0. (В такому випадку корисно знайти окремо ліву і праву границю функції в точці розриву.)
Горизонтальна пряма з рівнянням у=b буде асимптотою графіка функції f, якщо (границя може бути тільки на одній з нескінченостей на + чи на -).
Нехай точка графіка М(х,у), y=f(x). Тоді при d=f(x)-b а OM=.
Приклад.
, – горизонтальна асимптота на .
,
– горизонтальна асимптота на .
Похила пряма з рівнянням y=kx+b є асимптотою графіка функції f(x), якщо існують і є числами границі , (границі можуть бути тільки на одній з нескінченостей на + чи на -).
Приклад. Дослідити на асимптоти на нескінченності функцію .
ОДЗ: . Можна шукати границю на нескінченності. – не число, немає горизонтальної асимптоти. Але може бути похила.
=1+0=1 – число, k=1,
– число, b=0. Отже, у=х – похила асимптота на , тобто одночасно на + і на -.
Повне дослідження функції
Приклад. Дослідити функцію і побудувати її графік .
1) ОДЗ: 1-x0
x1
ОДЗ: х є (-; 1) (1; ).
2) Функція загального вигляду (ні парна ні непарна), тому що ОДЗ не симетрична відносно точки 0. Неперіодична бо область визначення неперіодична (розрив періодично не повторюється).
х=0 у= =0 А(0;0) у=0 <0 x=0 та ж точка А(0;0).
Знаки функції. Функція елементарна, тому може змінювати знак тільки в точках, де вона дорівнює нулю, або не існує. Нанесемо на числову пряму область визначення і точку, де функція дорівнює нулю:
3) Функція елементарна, то неперервна на ОДЗ, тобто на . Розрив х=1
- розрив 2-го роду (нескінченний), тому є вертикальна асимптота в точці 1, х=1 – рівняння вертикальної асимптоти.
4)
Критичні точки:
ОДЗ х1
х=1- критична точка
х=0 ; х=3- критичні точки.
5)=
=
Критичні точки: х=1, 6х=0, х=0, т.х=0 є точкою перегину, у(0)=0.
6) немає горизонтальної асимптоти, але може бути похила.
k=. b=Отже, є похила асимптота y=x+2 на і на.
7. Графік функції.
8) , як бачимо з графіка.
Функція необмежена на області визначення.
Дослідження функції на найменше і найбільше значення на відрізку
Якщо функція неперервна на [а,b] то за теоремою Вейєрштраса існує найбільше і найменше значення на цьому відрізку, тобто існують точки такі, що
, х є . Із теорем про монотонність і екстремуми отримуємо наступний план дослідження функції на найменше та найбільше значення на відрізку.
План
Знайти і її критичні точки (точки, в яких похідна не існує або дорівнює нулю).
Знайти значення функції f в цих точках і на кінцях відрізка.
Порівняти знайдені значення, вибрати найменше і найбільше.
Приклад. Дослідити функцію на абсолютні екстремуми (найбільше і найменше значення) на .
ОДЗ: D(y) є R. Функція елементарна, тому неперервна на R і, зокрема на [0,2].
ОДЗ: D(y) є R -1=0 =1 x= 1 -1 -відкидаємо.
- найменше значення.
y(0)=0
y(2)= - найбільше значення.
Можна також вказати область значень функції на даному проміжку – [-2/3;2/3].
Зауваження. Якщо треба дослідити функцію на найбільше та найменше значення на скінченому інтервалі (а,b), чи на нескінченному, то в плані замість значень функції на кінцях проміжку шукають відповідні односторонні границі: замість f(a) шукають f(a+)=f(x) , замість f(b) шукають f(b-). Так можна знайти область значень функції на проміжку, бо абсолютні екстремуми не обов’язково існують в даному випадку.
Застосування похідної до розв’язування прикладних задач на екстремум деяких величин
1.Виражають дану величину через інші величини з умови задачі так, щоб вона була функцією тільки від однієї змінної (якщо це можливо).
2.Визначають проміжок зміни цієї змінної.
3.Досліджують цю функцію на найбільше і найменше значення на проміжку.
Задача. Потрібно побудувати прямокутну площадку, використавши а метрів сітки, біля стіни так, щоб з одного боку вона прилягала до стіни, а з інших трьох була огороджена сіткою. При якому співвідношенні сторін площа такої площадки буде найбільшою?
S=xу – функція двох змінних. L=x+у+x=a у=a-2x
S=x (a-2x ) – функція однієї змінної х; х є .
S=x (a-2x)=а x - 2x S’=a-4x, x є R, S’=0 a- 4x=0 x=
x= S()= – найбільше значення. S(0)=0, S(. Знайдемо другу сторону прямокутника: у = a - . Співвідношення сторін: .
Відповідь. Найбільша площа буде дорівнювати , якщо сторона паралельна до стіни в два рази більша від іншої сторони.