Тема 4:Математичні моделі детермінованих сигналів. Загальна характеристика сигналів. Узагальнений ряд Фур`є. Сигнал - це фізичний процес, який несе інформацію. Математична модель – дозволяє зробити сигнал об`єктом теоретичного вивчення і розрахунків. Це функціональна залежність, де аргументом являється час. Звичайно вивчають такі властивості сигналу, які об`єктивно виступають як найбільш важливі. Розглянемо деякі основні види сигналів: Одномірні сигнали – напруга чи струм Багатовимірні сигнали – утворюються множиною деяких одномірних сигналів: ?? ?? = {?? 1 ?? , ?? 2 ?? ,…, ?? ?? ?? }, де N-розмірність сигналу. Приклад: система напруг на клемах багатополюсника. Багатовимірний сигнал – впорядкована сукупність одномірних сигналів. { ?? 1 , ?? 2 }?{ ?? 2 , ?? 1 } Застосування багатовимірних сигналів доцільно при використанні для аналізу складних систем, наприклад ЕОМ. а)Детерміновані сигнали – це сигнали , параметри яких можуть бути визначені з ймовірністю рівною одиниці в будь-який момент часу. Приклад: це можуть бути імпульси(пачки імпульсів) відомої форми і розміщення в часі, а також неперервні сигнали із заданими амплітудними і фазними співвідношеннями всередині його спектру. б)Випадкові сигнали – функція часу, значення якої завчасно передбачені бути не можуть(або передбачаються з ймовірністю <1). Приклад: це може бути електрична напруга, яка відповідає мові; послідовність кодів на вході багатоканального приймача тощо. Власне будь-який сигнал, який несе інформацію, повинен розглядатися як випадковий. в)Окремо виділяються випадкові сигнали та шуми. Для аналізу випадкових сигналів визначають: а)Закон розподілу ймовірностей, на підставі якого визначають час прибуття сигналу в певному діапазоні рівнів. б)Спектральний розподіл потужності сигналу(тобто розподіл середньої потужності сигналу по частотам). 3. Періодичні сигнали – задовольняють умову ?? ?? =??(??+?????), де T – період(скінченне число); k – будь-яке ціле число. Неперіодичний сигнал – сигнал, для якого не виконується умова ?? ?? =??(??+?????). Періодичний детермінований сигнал – це гармонічне коливання. ?? ?? =??? cos ((2??????)/?? ???)=??? cos (???? ???) при ??<??<? Спектр такого коливання – одна єдина лінія. У реальних сигналах, які мають початок і кінець, спектр розмивається. Будь – який складний сигнал можна представити у вигляді суми гармонічних коливань з частотами k*?, тобто кратними ?=2*?/T. Це спектральна функція, яка містить інформацію про амплітуди та фази окремих гармонік сигналу. 4. Аналогові, дискретні та цифрові сигнали Аналогові сигнали – це сигнали, значення яких можна виміряти в будь – який момент часу. Дискретний сигнал утворюється скінченною множиною точок на осі часу, де кожній з них відповідають відлікові значення сигналу Si .Цифрові сигнали – відлікові значення представляються у формі чисел.
Динамічне представлення сигналу // а)Сходинки; б)Імпульси Сигнал може бути представлений сумою деяких елементарних сигналів, які виникають в послідовні моменти часу. Вибір елементарних сигналів в принципі довільний. Розглянемо деякі елементарні сигнали. Функція включення(функція Хевісайда) ?(t) – скачок функції здійснюється миттєво. Олівер Хевісайд – англійський фізик (1850-1925). Реально функція включення виглядає так: / ?? ?? = 0 , ??<??? 0.5? ?? ??+1 , ???<??<?? 1, ??>?? Прихід із «нульового» стану в «одиничний» відбувається навпротязі 2*?. Коли параметр ??>0, то процес переходу із одного стану в інший здійснюється миттєво. Це буде вже функція включення, за допомогою якої зручно описувати процеси в електричних колах. ?? ?? = 0 , ??<0 0.5, ??=0 1, ??>0 Наступна відносно початку координат функція включення ?? ??? ?? 0 ?? ??? ?? 0 = 0 , ??< ?? 0 0.5, ??= ?? 0 1, ??> ?? 0 Другий спосіб запису ?? ??
?? ?? ?? =1/(1? ?? ????? ) Чим більше n, тим точніша апроксимація сигналу. Приклад 1: Описати аналітично ?? ?? =15??? ?? ?15??? ???5? 10 ?6
Приклад 2: Джерело ЕРС (електрорушійної сили) e(t)=3*106*t, B під`єднується ідеальним ключем в момент t0=2мкс. Описати напругу на виході. ?? ?? =3? 10 ?6 ??????(???2? 10 ?6 ), B При t<2мкс, U(t)=0. Динамічне представлення довільного сигналу за допомогою функції включення Сигнал при будь – якому t може бути представлений як сума сигналів в момент часу (0,?,2?…). ?? ?? ? ?? 0 ??? ?? + (?? 1 ? ?? 0 )??? ???? + (?? 2 ? ?? 1 )??? ???2? +…= ?? 0 ??? ?? + ??=1 ? (?? ?? ? ?? ???1 )??? ?????? Якщо ?>0, то дискретну змінну k? можна замінити змінною ?. Малі прирости (?? ?? ? ?? ???1 ) диференційні ds=(ds/dt)*d?. І тепер: ?? ?? = ?? 0 ??? ?? + 0 ? ???? ???? ??? ????? ???? Приклад. Нехай S(t)=0 при t<0. А при t>0, S(t)=A*t2. Знайти аналітичне представлення. Тут S0=0 dS/dt=d(A*t2)/d?=2*A*?. Тому S t =2?A? 0 ? ??? t?? d? . Дельта – функція ?? ??,?? = 1 ?? ?[?? ??+ ?? 2 ??? ??? ?? 2 ] П ?? = ?? ? ??????=1 При будь – якому виборі ? площа дельта – функції рівна 1. Якщо ?>0, тоді ??(??) перетворюється в дельта – імпульс. ?? ?? = lim ??>0 ??(??,??)
?? ? ?? ?? ????=1 Розклад сигналу по заданій системі функцій. Ортогональні функції. Важливе значення має розклад сигналу по різних системах ортогональних функцій. Нескінченна система дійсних функцій ?0(x), ?1(x), ?2(x),…, ?n(x).. називається ортогональною на відрізку [a,b], якщо ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ????=0 , при m?n При цьому допускається, що ніяка функція ?n(x) не рівна тотожно, тобто ?? ?? ?? ?? 2 ?? ?????0 Норма функції ?n(x) ?? ?? = ?? ?? ?? ?? 2 ?? ????; Функція називається нормованою, якщо ?? ?? 2=1, тобто ?? ?? ?? ?? 2 ?? ????=1 Система нормованих функцій, з яких кожні дві попарно ортогональні, називається ортонормованою. Узагальнений ряд Фур`є В математиці доведено, що довільна кусково – неперервна функція f(x), для якої виконується умова: ?? ?? [?? ?? ] 2 ????<? може бути представлена за допомогою неперервних ортогональних функцій ?0(x), ?1(x), ?2(x),…, ?n(x).. у вигляді суми ряду ?? ?? = 0 ? ?? ?? ? ?? ?? (??) Ci – коефіцієнт ряду Тобто f(x)= C0 ?0(x)+ C1?1(x)+ C2 ?2(x)+…+ Cn?n(x).. Помножимо обидві частини рівняння на ?? ?? (??) і про інтегруємо в інтервалі [a,b] . Всі доданки виду ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ???? при m?n перетворюються в нуль в силу ортогональності функцій ?? ?? (??) та ?? ?? (??) . В правій частині залишається лише один доданок : ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ????= ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? 2 ?? ????= ?? ?? ? ?? ?? 2 Це дозволяє нам написати : ?? ?? = 1 ?? ?? 2 ? ?? ?? ??(??) ? ?? ?? ?? ???? Ряд, в якому коефіцієнти визначені за наведеною формулою, називається загальним рядом Фур`є по даній системі. Властивості узагальненого ряду Фур`є. Нерівність Бесселя. При заданій системі функцій ?? ?? ?? і фіксованому числі елементів ряду N ряд Фур`є забезпечує найкращу апроксимацію(в сенсі мінімуму середньоквадратичної похибки) даної функції f(x). Середньоквадратична похибка ряду М досягає мінімуму при an=Cn. ??= ?? ?? [?? ?? ? 0 ?? ?? ?? ? ?? ?? (??)] 2 ???? Підставляєм в М значення an=Cn+bn. Тоді : ??= ?? ?? [?? ?? ? 0 ?? ( С ?? + ?? ?? )? ?? ?? (??)] 2 ????= ?? ?? ?? 2 ?? ?????2? ?? ?? ?? ?? ? 0 ?? С ?? + ?? ?? ? ?? ?? ?? + ?? ?? [ 0 ?? С ?? + ?? ?? ? ?? ?? ?? ] 2 ????= ?? 2 ?2? 0 ?? С ?? + ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ????+ [ 0 ?? С ?? + ?? ?? ] 2 ? 0 ?? 0 ?? ?? ?? 2 ?? ???? Переписуємо цей вираз з врахуванням того , що: ?? ?? ?? ?? 2 ?? ???? = ?? ?? 2 ; ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ???? = ?? ?? ? ?? ?? 2 ??= ?? 2 ?2? 0 ?? С ?? + ?? ?? ? С ?? ? ?? ?? 2 + [ 0 ?? С ?? + ?? ?? ] 2 ? ?? ?? 2 Зауваження: ?? ?? ( 0 ?? С ?? + ?? ?? ? ?? ?? (??) ) 2 ???? буде містити складові виду ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ???? в силу ортогональності. Тому надалі будемо рахувати, що у цьому виразі залишаються лише ?? ?? [ 0 ?? С ?? + ?? ?? ] 2 ? ?? ?? 2 ?? ???? Тому: ??= ?? 2 ? 0 ?? 2?С ?? 2 + 2??? ?? ? ?? ?? ? ?? ?? 2 + 0 ?? ( ?? ?? 2 +2? ?? ?? ? ?? ?? + ?? ?? 2 ) ? ?? ?? 2 = ?? 2 ? 0 ?? ?? ?? 2 ? ?? ?? 2 + 0 ?? ?? ?? 2 ? ?? ?? 2 Звідси слідує, що похибка апроксимації М буде мінімальною при рівності 0 останнього члена виразу. Тобто: ?? ?????? = ?? ?? [?? ?? ? 0 ?? ?? ?? ? ?? ?? (??)] 2 ???? – мінімальна СК похибка . Враховуючи цю обставину, що ?? ?????? >=0, можна записати наступну рівність: ??=0 ? ?? ?? 2 ? ?? ?? 2 ? ?? 2 Це є нерівність Бесселя, яка справедлива для будь – якої системи ортогональних функцій. Ортогональна система є повною, якщо зі збільшенням числа її членів середньоквадратичну похибку апроксимації М можна зробити скільки завгодно малою. Умова повної системи: ??=0 ? ?? ?? 2 ? ?? ?? 2 = ?? 2 При виконанні умови повноти можна рахувати, що ортогональний ряд Фур`є сходиться в середньому, тобто що : lim ??>? [?? ?? ? ??=0 ? ?? ?? ? ?? ?? (??)] 2 ????=0 Узагальнений ряд Фур`є для сигналів часу s(t) Застосовуючи до сигналів s(t) ряд Фур`є можна записати так: S(t)= ??=0 ? ?? ?? ? ?? ?? (??) Тоді цей вираз може мати енергетичний зміст. Дійсно можна записати: ?? 2 = ?? 1 ?? 2 ?? 2 ?? ????=?? Коли рахувати, що S(t) це струм чи напруга, тоді ?? є не що інше, як енергія сигналу в проміжку ?? 2 ? ?? 1 на опорі 1Ом. Таким чином енергію сигналу можна представити в системі ортогональних функцій. ??= 0 ? ?? ?? 2 ? ?? 2 , а при використанні ортонормованої системи: ??= 0 ? ?? ?? 2 При цьому інтервал ?? 2 ? ?? 1 повинен бути інтервалом ортогональності для вибраної системи функцій. Очевидно, що середня за час ?? 2 ? ?? 1 потужність сигналу: ?? ?? 2 = ?? ?? 2 ? ?? 1 = 1 ?? 2 ? ?? 1 ? ??=0 ? ?? ?? 2 ? ?? 2 Лінійний простір сигналів Лінійний простір сигналів існує при виконанні наступних систем: 1.Будь – який сигнал u?M при будь – яких t приймає лише дійсні значення. 2.Для будь – яких u?M і v?M існує сума ?=u+v, при чому ? також міститься в М. При цьому операція додавання: - комутативна : u+v=v+u; -асоціативна: u+(v+x)=(u+v)+x 3.Для будь – якого сигналу s?M і будь – якого зважуваного числа ? визначений сигнал f=ds?M. 4.Множина М містить особливий нульовий елемент ?, такий що u+?=u для всіх u?M. Елементи лінійних просторів називаються векторами, щоб підкреслити аналогію між об`єктами лінійних просторів, векторами в математиці. Коли розглядати математичні моделі сигналів, які приймають комплексні значення, і припустити в аксіомі 3 перемноження на комплексні числа, це – комплексний лінійний простір. Координатний базис Лінійний простір сигналу – це простір, де над сигналами можуть виконуватися лінійні операції. Лінійний простір може бути доповнений спеціальною структурою, яка відіграє роль системи координат. Лінійно незалежним координатним базисом називається сукупність векторів {e1,e2,e3…}, які належать простору М, якщо ?? ?? ?? ? ?? ?? =?? Лише у випадку одночасного перетворення в нуль всіх числових коефіцієнтів ?? ?? . Якщо дано розклад деякого синалу S(t) у вигляді ?? ?? = ?? ?? ?? ? ?? ?? , то числа {C1,C2….} являються проекціями сигналу S(t) відносно вибраного координатного базису. Коли число базисних векторів наближено велике, то такий скінченний простір називають безмежним. Приклад: Якщо лінійний простір утворено сигналами, які описуються многочленами n-го порядку ?? ?? = ??=0 ? ?? ?? ? ?? ?? , то координатним базисом буде система одночленів {e0=1;e1=t;e2=t2;…..}. Нормований лінійний простір Норма – аналог довжини вектора в математиці. Лінійний простір сигналів L є нормованим, якщо кожному сигналу s(t)?L однозначно співставлено число ?? - норма цього вектора, при цьому мають виконуватися аксіоми: Норма невід`ємна, тобто ?? ?0, при чому ?? =0 тоді і лише тоді, коли s=?. Для будь – якого сигналу, помноженого на деяке число ? –
????? = ?? ? ?? Коли s(t) та p(t) - два сигнали з простору L , то виконується нерівність трикутника: ??+?? = ?? + ?? В радіотехніці ?? = ?? ? ?? 2 ?? ???? , при чому беруться лише додатні значення кореня. Для комплексних сигналів: ?? = ?? ? ?? ?? ? ?? ? (??)???? Квадрат норми сигналу рівний його енергії: ?? = ?? ? ?? 2 ?? ???? =?? Приклад: Обчислимо енергію і норму сигналу s(t)=u*t/?n
?? = ?? ?? =U? ?? ?? 3 ; Метричні простори Введення поняття МП дозволяє узагальнити нашу уяву про відстань між точками в просторі. Лінійний простір L стає метричним, якщо кожній парі елементів u та v співставлень невід`ємне число ?(u,v), яке називається метрикою чи відстанню між цими елементами. Метрика повинна відповідати аксіомам: Рефлективність метрики ?(u,v) = ?(v,u); ?(u,u)=0 при будь – яких u?L; Коли елемент ??L, тоды завжди ?(u,v)? ?(u,v)+ ?(?,v); Звичайно метрику визначають як норму різниці двох сигналів: ?(u,v)= ????? І тоді норму можна розуміти як відстань між вибраним елементом та нульовим елементом: ?? = ?(u,?)= ????? = ?? Поняття метрики дозволяє говорити про те, наскільки один сигнал добре апроксимує інший. Приклад: u(t) – відрізок синусоїди u(t)=u? sin ??t T , при 0?t?T Вибрати амплітуду прямокутного імпульсу так, щоб забезпечити мінімальну відстань між цими сигналами. Квадрат відстані між сигналами: ?? 2 ??,?? = 0 ?? (??? sin ????? ?? ???) 2 ???? = ?? 2 ? ?? 2 ?4??????? ?? ?? + ?? 2 ??? Дослідження цього виразу на екстремум показує, що мінімальна відстань буде досягатися при: A=2*u/?=0.637*u. При цьому : ?? ?????? 2 = ?? 2 ???? 1 2 ? 4 ?? 2 =0.095? ?? 2 ???; ?? ?????? =0.308???? ?? Відзначимо, що енергія синусоїдального імпульса: ?? ?? = ?? 2 ? 0 ?? ?????? 2 ( ????? ?? ???)????= ?? 2 ???/2(тобто квадрат норми). А норма : ?? =0.707???? ?? ; Тобто в рамках вибраної нами метрики мінімальна відстань між двома сигналами складає 44% від норми синусоїдального імпульсу. Теорії ортогональних сигналів. Скалярний добуток сигналів. Коли в звичайному тривимірному просторі відомі два вектори ?? і ?? , тоді квадрат модуля їх суми: ??+?? 2 = ?? 2 + ?? 2 +2 ???? / де ( ??
?? )= ?? ? ?? ? cos ?? - скалярний добуток цих векторів, який залежить від кута ? між ними. За аналогією обчислимо енергію суми двох сигналів u та v: ?? = ?? ? (??+??) 2 ????= ?? ?? + ?? ?? +2? ?? ? ?????????? , тобто ?? 2 ????+ ?? 2 ????+2? ????? ???? / На відміну від самих сигналів їх енергія неадитивна – енергія сумарного сигналу містить в собі взаємну енергію. ?? ???? =2? ?? ? ?? ?? ??? ?? ???? Порівнюючи формули 1 та 2 визначимо скалярний добуток сигналів u та v: ??,?? = ?? ? ?? ?? ??? ?? ???? / А також косинус кута між ними: cos ?? ???? =(??,??)/ ?? ? ?? Скалярний добуток володіє наступними очевидними властивостями: (u,v)?0; (u,v)=(v,u); (?u,v)=?(u,v), де ? – будь – яке число; / (u+v,?)=(u,?)+(v,?). Девід Гільберт (1862-1943) – німецький математик. Дійсний гільбертовий простір – це такий простір, в якому введено сумарний добуток 3, при чому справедливі умови 4. Н – позначення гільбертового простору. В математиці доведено, що в гільбертовому просторі справедлива нерівність Коші - Буняковського. (??,??) ? ?? ? ?? Якщо ці сигнали приймають комплексні значення, то визначають комплексний гільбертовий простір. ??,?? = ?? ? ?? ?? ??? ?? ???? Приклад: Є два зміщених в часі експоненційних імпульса напруги u1(t)= ?? ?10 5 ?? ??? ?? ; u2(t)= ?? ?10 5 (???2? 10 ?6 ) ??? ???2? 10 ?6 ; Знайти скалярний добуток а також кут між ними./ Енергія цих сигналів однакова: ?? 1 2 = ?? 2 2 =25? 0 ? ?? ?2?10 5 ?? ????=1.25? 10 ?4 Скалярний добуток: ?? 1 , ?? 2 =25? 0 ? ?? ?10 5 ?? ? ?? ?10 5 ?(??+2? 10 ?6 ) ????=1.023? 10 ?4 Звідки: cos ?? ?? 1 ?? 2 =0.819 та ?? ?? 1 ?? 2 = 35 ° Ортогональні сигнали та узагальнені ряди Фур`э Два сигнали u та v називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток рівний нулю(а значить і взаємна енергія). ??,?? = ?? ? ?? ?? ??? ?? ????=0 Ці сигнали «гранично» не подібні один на одного. Узагальнений ряд Фур`є дає можливість характеризувати сигнали скінченою(але, взагальному, нескінченною) системою коефіцієнтів узагальненого ряду Ck, які представляють собою проекції вектора s(t) в гільбертовому просторі Н на базисні напрямки. Приклад ортогонального базису Сукупність гармонічних сигналів складає ортогональний координатний базис. sin ?? 1 ??, cos ?? 1 ??, sin 2?? 1 ??, cos 2?? 1 ??, …,sin ???? 1 ??, cos ?? ?? 1 ?? ,… Інтервал ортогональності рівний періоду: T=2*?/?1 Квадрат норми ?????? 2 = ?????? 2 = ???/2 ??/2 sin ?? ?? 1 ?? 2 ????= 1 2 ???? 1 4???? ?? 1 ? sin 2???? 1 ??)| ? ?? 2 ; ?? 2 =( 1 2 ? ?? 2 + 1 2 ? ?? 2 ? 1 4???? ?? 1 ?( sin 2???? 1 ???/2) + sin 2???? 1 ? ?? 2 = ?? 2 ? 1 4???? ?? 1 ?( sin 2???? + sin 2???? ) =??/2 Норма гармонічного ортогонального сигналу: ?????? = ?????? = ??/2 Ортонормовані базиси Способи побудувати нескінченні системи функцій детально вивчені в математиці. Вибір найбільш раціональної ортогональної системи функції залежить від мети, яку потрібно досягнути при розкладі складної функції(сигналу) в ряд. Серед різноманітних задач, які вимагають розкладу складного сигналу, найбільш важливими є: Точний розклад на дискретні ортогональні складові; Апроксимація сигналу мінімальною кількістю складових( при заданій допустимій похибці). При першій постановці задачі найбільше розповсюдження отримала ортогональна система основних тригонометричних функцій – синуса і косинуса. Гармонічне коливання зберігає свою форму при проходженні через лінійні кола, а розклад на синус і косинус дозволяє використовувати символьні методи. При другій постановці задачі застосовуються різноманітні ортогональні і ортонормовані системи функцій : поліноми Чебешева, Еліта, Лагерра, функції Хаара, Уолша та інші. Ортонормована система гармонічних сигналів Систематригонометричних функцій з крайніми частотами, доповнена постійним в часі сигналом u0 утворює ортонормований базис. ?? 0 =1/ ?? Квадрат норми кожної з цих ?? 1 = 2/?? ? sin (2????)/?? функцій =1 незалежно від
?? 2 = 2/?? ? cos (2????)/??
….. номера функцій. ?? 2???1 = 2/?? ? sin (2??????)/??
?? 2?? = 2/?? ? cos (2??????)/??
Система функцій Уолша В інтервалі свого існування (-T/2;T/2) вони приймають лише значення ?1. Введемо безрозмірний час ?=t/T; будемо позначати k-y функцію Уолша wal(k,?). Номер функції k рівний числу змін знаку на інтервалі її існування. //// Рис.Графіки перших чотирьох функцій Уолша. Умова нормування функцій Уолша при будь – якому значенні k: wal(k,?) 2 = ? 1 2 1 2 wal 2 k,? d?=1 Ортогональність забезпечується принципом їх побудови і може бути перевірена безпосередньо: ?1/2 1/2 wal 1,? ?wal(2,?)d ?= ?1/2 ?1/4 (?1) 2 d?+ ?1/4 0 ?1 ?1d?+ 0 ?1/4 1?1d?+ 1/4 1/2 1? ?1 d?=0 Розклад сигналу із скінченною енергією , заданою на інтервалі часу [-T/2;T/2] в узагальнений ряд Фур`є по функції Уолша має вигляд: ?? ? = k=0 ? C k ? wal(k,?) ?=t/T Приклад: знайти перші два коефіцієнти в розкладі імпульса трикутної форми по системі функцій Уолша. В інтервалі [-T/2;T/2] сигнал описується S(t)=(u/T)*(t+T/2) / ?? 0 = ?1/2 1/2 ??( ?)?wal 0,? d?=u? ?1/2 1/2 ?+ 1 2 d?=u/2 ?? 1 = ?1/2 1/2 ??( ?)?wal 1,? d?=?u? ?1/2 0 ?+ 1 2 d?+u? 0 1/2 ?+ 1 2 d?=u/4 Тобто при апроксимації ми отримуємо ступінчасту криву, але з точки зору енергетичної ця похибка не така вже велика. Дійсно, енергія імпульса: E s =u 2 ? ?1/2 1/2 ?+ 1 2 ? ?+ 1 2 d?=u?u/4 Енергія різниці: ?? ? ? C 0 ?wal 0,? ? C 1 ?wal 1,? =4? ?? 2 ? 0 1/4 ?? 2 ???? =?????/3.16 І складає лише 1/16 або 6.25% від енергії синусоїдального імпульсу.