Диференціальні рівняння.
Задача Коші
ПЛАН
1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними
змінними.
2. Лінійні диференціальні рівняння.
3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.
1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними
змінними
Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються диференціальними рівняннями.
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних порядків:
F(x,y,y?,y?,…)=0
Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.
Приклади.
1. Диференціальне рівняння другого порядку y?+2y?-3y=x2+1 .
2. Диференціальне рівняння третього порядку y??=cos(x).
Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.
Приклади.
1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y?=3x2 є функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…
Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C - довільна стала.
2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y?=sin(x) є сім’я функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 - довільні сталі. Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10, y=  sin(x)+2x+1 тощо.
Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних), наприклад:
u?x(x,y)+u?y(x,y)=2u(x,y)+x+y
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна y?(x):
F(x,y,y?)=0 (8.1)
Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.
Означення. Диференціальне рівняння вигляду
f1(x)??2(y)dx+f2(x)??1(y)dy=0 (8.2)
називається рівнянням з розділеними змінними.
Приклади.
1. Розв’язати диференціальне рівняння EMBED Equation.3.
Виконуємо ділення на вираз EMBED Equation.3, розділивши тим самим змінні:
EMBED Equation.3
Почленно інтегруємо:
EMBED Equation.3,
застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2) та 1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3.
Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального рівняння, який є неявною функцією.
2. Розв’язати диференціальне рівняння y?=7x+y .
Розділяємо змінні:
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3.
Інтегруємо праву та ліву частини:
EMBED Equation.3.
Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні значення), матимемо:
-7y=7x+C .
Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція (що залажить від сталої C)
7y+7x=C .
Розв’язати диференціальне рівняння
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
arctgy=arctgx+C .
Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:
arctgy=arctgx+arctgC.
Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:
EMBED Equation.3 .
(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).
8.2. Лінійні диференціальні рівняння
Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
y?=a(x)?y=0 (8.3)
Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 - загальний розв’язок.
Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
y?+a(x)?y=b(x) (8.4)
Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді
EMBED Equation.3 .
Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння
EMBED Equation.3 .
Розв’язок однорідного рівняння y?+2xy=0 має вигляд
EMBED Equation.3.
Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
EMBED Equation.3,
де C(x) функція від x .
Знайдемо похідну від цього виразу: EMBED Equation.3,
і підставимо відшукані значення y та y? в початкове рівняння:
EMBED Equation.3;
С?(x)=2x ;
dC(x)=2xdx ;
C(x)=x2+C .
Отримуємо загальний розв’язок
EMBED Equation.3.
Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy?-y=3x2.
EMBED Equation.3
Загальним розв’язком однорідного рівняння EMBED Equation.3 є сім’я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від сталої C)
EMBED Equation.3 .
Знаходимо загальний розв’язок початкового рівняння у вигляді EMBED Equation.3. Тоді EMBED Equation.3.
Підставляючи y та y? в рівняння, маємо
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Отже, загальний розв’язок неоднорідного рівняння є таким: EMBED Equation.3.
Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами – це рівняння вигляду
y? + py? + qy=0 , (8.5)
де p та q - сталі величини.
З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння
?2+p?+q=0
Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні дійсні корені ?1 та ?2 , загальний розв’язок диференціального рівняння такий:
EMBED Equation.3,
де C1 та C2 - довільні сталі.
У випадку кратних дійсних коренів ?1=?2=? характеристичного рівняння загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд
EMBED Equation.3
Приклад. Розв’язати рівняння y?+2y?-15y=0.
Будуємо характеристичне рівняння ?2+2?-15=0, звідки ?1=3; ?2=-5.
Отже, загальний розв’язок є такий: EMBED Equation.3
Приклад. Розв’язати рівняння y?+2y?+y=0.
Будуємо характеристичне рівняння ?2+2?+1=0, звідки ?1=?2=-1.
Отже, загальний розв’язок:: EMBED Equation.3 .
8.3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці
Задачею Коші називається задача знаходження часткового розв’язку диференціального рівняння. Для рівнянь першого порядку задача полягає у знаходженні такої функції, яка
задовольняє рівнянню F(x,y,y?)=0;
проходить через точку (x0;y0).
Приклад. Розв’язати задачу Коші
EMBED Equation.3 .
Знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння з розділеними змінними:
EMBED Equation.3 ;
arctgy=lnx+lnC ;
y=tg(ln(Cx)) .
На основі початкової умови y(1)=0 визначаємо конкретне значення константи C:
0=tg(ln(C?1)) ;
C=1 .
Таким чином, розв’язком задачі Коші є функція y=tg(lnx).
Приклад. Розв’язати задачу Коші
EMBED Equation.3 .
Знаходимо загальний розв’язок:
EMBED Equation.3 (заміна y2=t ? 2ydy=dt ? ydy=dt/2);
lnx=(-1/2)ln(1+y2) + lnC;
EMBED Equation.3;
EMBED Equation.3;
x2?(1+y2)=C.
Визначаємо сталу C, виходячи з початкових умов: 12(1+22)=C, звідки C=5.
Розв’язок задачі Коші, отже, такий: x2(1+y2)=5.
Ріст при постійному темпі приросту.
Нехай в початковий момент часу t0=0 кількість населеня деякої країни становить P0. Нехай темп приросту кількості цього населення є сталим (зазначимо, що приріст може бути як додатнім, так і від’ємним) і дорівнює величині T.
Нагадавши, що темп приросту функції y=y(t) обчислюється за формулою EMBED Equation.3 , приходимо до такої задачі Коші:
EMBED Equation.3
Розділяємо змінні і знаходимо загальний розв’язок:
EMBED Equation.3 ;
lny=T?t+lnC ;
y=C?eT?t .
Оскільки при t=0 величина y(0)=P0 , то P0=CeT?0 =C і далі
y(t)=P0 eT?t (розв’язок задачі Коші).
Знайдена функція y(t)=P0?eT?t дозволяє прогнозувати кількість населення в довільний момент часу. Наприклад, при річному темпі приросту T = -2% (темпі спаду в розмірі 2%) через t=25 (років) кількість населення становитиме P0? e-0,02?25 = P0? e-0,5 ?0,607P0.
Зазначимо, що ця ж функція y(t)=P0?eT?t описує динаміку росту цін при постійному темпі інфляції.
Ріст при спадному темпі приросту.
Нехай деяка фірма починає випускати на продаж новий товар. Нехай на момент часу t0=0 на ринку вдалося продати y(t0)=y(0)=y0 одиниць товару. Позначимо через y(t) кількість проданого товару в довільний момент часу t і поставимо задачу визначення (прогнозування) цієї величини y(t).
В теорії маркетингу досліджено, що темп приросту Ty кількості проданого товару лінійно спадає в залежності від обсягу y продажу цього товару. Нехай темп приросту (спаду) Ty залежно від величини y є такою лінійною функцією: Ty = b-ay.
Отже, для для знаходження функції y=y(t) потрібно розв’язати задачу Коші:
EMBED Equation.3 .
Розв’язуємо дифренціальне рівняння
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 (дріб EMBED Equation.3 розкладено на суму
дробів EMBED Equation.3 та EMBED Equation.3) ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 (отримано загальний розв’язок) .
При конкретному значенні y(0)=y0 отримуємо конкретну криву (функцію) вигляду EMBED Equation.3 . Цю функцію (логістичну функцію, рис. 8.1) було розглянуто в темі 4. Вона описує динаміку кількості y проданого товару залежно від часу t. Відщукання конкретних параметрів ?, ? та ? - завдання дисципліни “Економетрія”.
y
b/a
y0=Cb/(1+Ca)
x
Рис. 8.1.
Попит при постійній еластичності.
Нехай Q - розмір попиту на деякий товар залежно від його ціни p. Нехай Q(p0)=Q0 . Нехай еластичність попиту за ціною EQp=E є сталою на деякому інтервалі. Для побудови функції попиту Q=Q(p) зі сталою еластичністю розв’язуємо задачу Коші (оскільки еластичність EQp обчислюються за допомогою похідної: EQp=Q??(p/Q) ):
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
EMBED Equation.3 ;
Q=C?pE .
З урахуванням початкових умов отримуємо явний вигляд функції попиту
EMBED Equation.3 .
Зокрема, при еластичності E = -1 (збільшення ціни на 1% приводить до зменшення попиту на 1%) попит залежно від ціни описує функція
EMBED Equation.3 , тобто обернена функція.
Корисність при постійній схильності до ризику.
Схильність особи до ризику (дисципліна “Економічний ризик”) r(x) залежно від кількості багатства x обчислюють за формулою EMBED Equation.3 , де U(x) - функція корисності цієї особи. Побудуємо функцію корисності для особи зі сталою (незалежною від x ) схильністю до ризику r(x)=r (як звичайно, r<0).
Потрібно розв’язати диференціальне рівняння r(x)= EMBED Equation.3 за умов U(0)=0, U?(0)=k.
Маємо задачу Коші
EMBED Equation.3 ,
тобто лінійне однорідне рівняння другого порядку U?-rU?=0.
Будуємо характеристичне рівняння ?2-r?=0, коренями якого є числа ?1 = 0 та ?2 = r.
Отримуємо загальний розв’язок:
U(x)=C1e0?x+C2er?x =C1+C2 er?x .
Враховуючи першу початкову умову U(0)=0, маємо C1= -C2, отже
U(x)=C-C erx .
Друга початкова умова U?(0)=k дає
- C?r?er?0 =k, звідки C=(-k)/r .
Отже, функція корисності клієнта має вигляд EMBED Equation.3
Зокрема, при r = -0,2 та k=1
EMBED Equation.3 = 5-5e-0,2x .
U(x)
5

x
Рис. 8.2.
Отже, у разі сталої схильності до ризику r = -0,2 (незалежно від кількості багатства x) функція корисності клієнта має вигляд U(x)=5-5e-0,2x (рис. 8.2).